Felix Klein

Todos saben qué es una curva, hasta que ha estudiado lo suficiente en matemáticas para confundirse por el número incontable de posibles excepciones.

Christian Felix Klein fue un matemático alemán y educador de matemáticas, conocido por su trabajo con teoría de grupos, análisis complejo, geometría no euclidiana, y por las asociaciones entre geometría y teoría de grupos. Su programa de Erlangen de 1872, clasificando geometrías por sus grupos de simetría básicos, fue una síntesis influyente de gran parte de las matemáticas de la época.

Vida

Felix Klein nació el 25 de abril de 1849 en Düsseldorf, de padres prusianos; su padre, Caspar Klein 1809–1889, era secretario de un funcionario del gobierno prusiano destinado en la Provincia del Rin. La madre de Klein era Sophie Elise Klein 1819–1890, de soltera Kayser. Asistió al Gymnasium en Düsseldorf, luego estudió matemáticas y física en la Universidad de Bonn, 1865–1866, con la intención de convertirse en físico. En ese momento, Julius Plücker ocupaba la cátedra de matemáticas y física experimental de Bonn, pero cuando Klein se convirtió en su asistente, durante 1866, el interés de Plücker era la geometría. Klein recibió su doctorado, supervisado por Plücker, de la Universidad de Bonn durante 1868.

Plücker murió durante 1868, dejando su libro sobre la base de la geometría de líneas incompleto. Klein era la persona obvia para completar la segunda parte de la Neue Geometrie des Raumes de Plücker, y así se familiarizó con Alfred Clebsch, quien se había trasladado a Göttingen durante 1868. Klein visitó a Clebsch al año siguiente, junto con visitas a Berlín y París. Durante julio de 1870, al comienzo de la Guerra Franco-Prusiana, estaba en París y tuvo que abandonar el país. Por un breve tiempo sirvió como camillero médico en el ejército prusiano antes de ser nombrado profesor en Göttingen a principios de 1871.

Erlangen nombró a Klein profesor durante 1872, cuando tenía solo 23 años. Por esto, fue respaldado por Clebsch, quien lo consideraba probable que se convirtiera en el mejor matemático de su época. Klein no deseaba una escuela en Erlangen donde había pocos estudiantes, por lo que se alegró de que le ofrecieran una cátedra en la Technische Hochschule de Munich durante 1875. Allí él y Alexander von Brill enseñaron cursos avanzados a muchos excelentes estudiantes, incluyendo a Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi, y Gregorio Ricci-Curbastro.

Durante 1875 Klein se casó con Anne Hegel, la nieta del filósofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel.

Después de cinco años en la Technische Hochschule, Klein fue nombrado a una cátedra de geometría en Leipzig. Allí sus colegas incluyeron a Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study y Friedrich Engel. Los años de Klein en Leipzig, 1880 a 1886, cambiaron fundamentalmente su vida. Durante 1882, su salud se derrumbó; durante 1883–1884, fue afligido por la depresión. Sin embargo, su investigación continuó; su trabajo seminal sobre funciones sigma hiperelpípticas data de alrededor de este período, siendo publicado durante 1886 y 1888.

Klein aceptó una cátedra en la Universidad de Göttingen durante 1886. Desde entonces hasta su retiro en 1913, buscó restablecer Göttingen como el principal centro de investigación matemática del mundo. Sin embargo, nunca logró transferir desde Leipzig a Göttingen su propia primacía como desarrollador de geometría. En Göttingen, enseñó una variedad de cursos, principalmente concernientes a la interfaz entre matemáticas y física, como mecánica y teoría del potencial.

La instalación de investigación que Klein estableció en Göttingen sirvió como modelo para las mejores instalaciones de este tipo en todo el mundo. Introdujo reuniones de discusión semanales, y creó una sala de lectura matemática y biblioteca. Durante 1895, Klein contrató a David Hilbert lejos de la Universidad de Königsberg; este nombramiento resultó fatídico, porque Hilbert continuó la buena reputación de Göttingen hasta su propio retiro durante 1932.

Con la edición de Klein, Mathematische Annalen se convirtió en una de las mejores revistas de matemáticas del mundo. Fundada por Clebsch, solo con la gestión de Klein primero rivalizó y luego superó el Crelle's Journal basado en la Universidad de Berlín. Klein estableció un pequeño equipo de editores que se reunían regularmente, tomando decisiones democráticas. La revista se especializó en análisis complejo, geometría algebraica, y teoría invariante al menos hasta que Hilbert terminó el tema. También proporcionó una salida importante para análisis real y la nueva teoría de grupos.

Durante 1893 en Chicago, Klein fue un orador importante en el Congreso Matemático Internacional celebrado como parte de la Exposición Colombina Mundial. Debido en parte a los esfuerzos de Klein, Göttingen comenzó a admitir mujeres durante 1893. Supervisó la primera tesis de Ph.D. en matemáticas escrita en Göttingen por una mujer; fue Grace Chisholm Young, una estudiante inglesa de Arthur Cayley, a quien Klein admiraba. Durante 1897 Klein se convirtió en miembro extranjero de la Real Academia Holandesa de Artes y Ciencias.

Alrededor de 1900, Klein comenzó a interesarse en la instrucción matemática en escuelas. Durante 1905, fue decisivo en formular un plan recomendando que la geometría analítica, los rudimentos del cálculo diferencial e integral, y el concepto de función se enseñaran en las escuelas secundarias. Esta recomendación se implementó gradualmente en muchos países alrededor del mundo. Durante 1908, Klein fue elegido presidente de la Comisión Internacional sobre Instrucción Matemática en el Congreso Internacional de Matemáticos en Roma. Bajo su dirección, la parte alemana de la Comisión publicó muchos volúmenes sobre la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles en Alemania.

La Sociedad Matemática de Londres otorgó a Klein su Medalla De Morgan durante 1893. Fue elegido miembro de la Royal Society durante 1885, y recibió su Medalla Copley durante 1912. Se retiró al año siguiente debido a problemas de salud, pero continuó enseñando matemáticas en su casa durante algunos años más.

Klein fue uno de los 93 signatarios del Manifiesto de los Noventa y Tres, un documento escrito en apoyo de la invasión alemana de Bélgica en las primeras etapas de la Primera Guerra Mundial.

Klein tenía el título de Geheimrat consejero de confianza.

Murió en Göttingen durante 1925.

Trabajo

La disertación de Klein, sobre geometría de líneas y sus aplicaciones a la mecánica, clasificó complejos de líneas de segundo grado usando la teoría de divisores elementales de Weierstrass.

Los primeros descubrimientos matemáticos importantes de Klein se hicieron durante 1870. En colaboración con Sophus Lie, descubrió las propiedades fundamentales de las líneas asintóticas en la superficie de Kummer. Luego investigaron curvas W, curvas invariantes bajo un grupo de transformaciones proyectivas. Fue Lie quien introdujo a Klein en el concepto de grupo, que tendría un papel importante en su trabajo posterior. Klein también aprendió sobre grupos de Camille Jordan.

Klein ideó la "botella de Klein" llamada así por él, una superficie cerrada de un lado que no puede ser incrustada en el espacio euclidiano tridimensional, pero puede ser inmersa como un cilindro doblado hacia atrás a través de sí mismo para unirse con su otro extremo desde el "interior". Puede ser incrustada en el espacio euclidiano de dimensiones 4 y superiores. El concepto de una botella de Klein fue ideado como una banda de Möbius tridimensional, con un método de construcción siendo la unión de los bordes de dos bandas de Möbius.

Durante los años 1890, Klein comenzó a estudiar física matemática más intensamente, escribiendo sobre el giroscopio con Arnold Sommerfeld. Durante 1894, inició la idea de una enciclopedia de matemáticas incluyendo sus aplicaciones, que se convirtió en la Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Esta empresa, que perduró hasta 1935, proporcionó una referencia estándar importante de valor duradero.

Programa de Erlangen

Durante 1871, mientras estaba en Göttingen, Klein hizo descubrimientos importantes en geometría. Publicó dos artículos Sobre la Llamada Geometría No Euclidiana mostrando que las geometrías euclidiana y no euclidiana podrían considerarse espacios métricos determinados por una métrica de Cayley-Klein. Este insight tuvo el corolario de que la geometría no euclidiana era consistente si y solo si la geometría euclidiana lo era, dando el mismo estado a las geometrías euclidiana y no euclidiana, y terminando toda controversia sobre geometría no euclidiana. Arthur Cayley nunca aceptó el argumento de Klein, creyendo que era circular.

La síntesis de Klein de la geometría como el estudio de las propiedades de un espacio que es invariante bajo un grupo dado de transformaciones, conocida como el programa de Erlangen 1872, influyó profundamente en la evolución de las matemáticas. Este programa fue iniciado por la lección inaugural de Klein como profesor en Erlangen, aunque no fue el discurso real que dio en la ocasión. El programa propuso un sistema unificado de geometría que se ha convertido en el método moderno aceptado. Klein mostró cómo las propiedades esenciales de una geometría dada podrían ser representadas por el grupo de transformaciones que preservan esas propiedades. Por lo tanto, la definición de geometría del programa abarcaba tanto la geometría euclidiana como la no euclidiana.

Presentemente la importancia de las contribuciones de Klein a la geometría es más que evidente, pero no porque esas contribuciones ahora se consideren extrañas o incorrectas. Al contrario, esas contribuciones se han convertido en parte tan integral de nuestro pensamiento matemático actual que es difícil para nosotros apreciar su novedad, y la forma en que no fueron inmediatamente aceptadas por todos sus contemporáneos.

Análisis complejo

Klein vio su trabajo sobre análisis complejo como su principal contribución a las matemáticas, específicamente su trabajo en:

• El vínculo entre ciertas ideas de Riemann y la teoría invariante,
• Teoría de números y álgebra abstracta;
• Teoría de grupos;
• Geometría con más de 3 dimensiones y ecuaciones diferenciales, especialmente ecuaciones que él inventó, a saber, funciones modulares elípticas y funciones automórficas.

Klein mostró que el grupo modular mueve la región fundamental del plano complejo de modo que teselaría ese plano. Durante 1879, examinó la acción de PSL2,7, considerada como una imagen del grupo modular, y obtuvo una representación explícita de una superficie de Riemann ahora llamada la cuártica de Klein. Mostró que esa superficie era una curva en el espacio proyectivo, que su ecuación era x3y + y3z + z3x = 0, y que su grupo de simetrías era PSL2,7 de orden 168. Su Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale 1882 trata el análisis complejo de una manera geométrica, conectando teoría del potencial y mapeos conformes. Este trabajo se basó en nociones de dinámica de fluidos.

Klein consideró ecuaciones de grado > 4, y estaba especialmente interesado en usar métodos trascendentales para resolver la ecuación general de quinto grado. Basándose en los métodos de Charles Hermite y Leopold Kronecker, produjo resultados similares a los de Brioschi y luego resolvió completamente el problema por medio del grupo icosaédrico. Este trabajo le permitió escribir una serie de artículos sobre funciones modulares elípticas.

En su libro de 1884 sobre el icosaedro, Klein estableció una teoría de funciones automórficas, asociando álgebra y geometría. Sin embargo, Poincaré publicó un esquema de su teoría de funciones automórficas durante 1881, lo que resultó en una rivalidad amistosa entre los dos hombres. Ambos buscaban enunciar y probar un gran teorema de uniformización que establecería la nueva teoría de manera más completa. Klein tuvo éxito en formular tal teorema y en describir una estrategia para probarlo. Pero mientras hacía este trabajo su salud disminuyó, como se mencionó anteriormente.

Klein resumió su trabajo sobre funciones automórficas y modulares elípticas en un tratado de cuatro volúmenes, escrito con Robert Fricke durante un período de aproximadamente 20 años.

Obras seleccionadas

• 1882: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale JFM 14.0358.01
• e-text en Project Gutenberg, también disponible en Cornell
• 1884:Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade Traducción al inglés de G. G. Morrice 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree vía Internet Archive
• Traducción al inglés de G. G. Morrice 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree vía Internet Archive
• 1886: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323–356, Mathematische Annalen Bd. 27,
• 1888: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357–387, Math. Annalen, Bd. 32,
• 1894: Über die hypergeometrische Funktion
• 1894: Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung
• 1897: con Arnold Sommerfeld Theorie des Kreisels volúmenes posteriores: 1898, 1903, 1910
• 1890: con Robert Fricke Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen 2 volúmenes y 1892
• 1894: Evanston Colloquium 1893 reportado y publicado por Ziwet New York, 1894
• Fricke, Robert; Klein, Felix 1897, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen en alemán, Leipzig: B. G. Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01 Zweiter Band. 1901.
• 1901: Gauss' wissenschaftliches Tagebuch, 1796—1814. Mit Anwendungen von Felix Klein
• Fricke, Robert; Klein, Felix 1912, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere