Samuel James Patterson: Ein Maß, zweimal benannt

Ein acht- und zwanzigjähriger Mathematiker, der an Grenzmengen Fuchsscher Gruppen arbeitete – den komplexen, oft fraktalen Randmustern, die bestimmte Symmetriegruppen auf der hyperbolischen Ebene hinterlassen –, führte 1976 eine Methode ein, diesen Rändern ein präzises Maß zuzuordnen. Drei Jahre später entdeckte der amerikanische Mathematiker Dennis Sullivan dieselbe Idee unabhängig voneinander wieder und entwickelte sie in einem anderen Kontext drastisch weiter. Das Werkzeug, das die beiden gemeinsam schufen, das Patterson-Sullivan-Maß, ist seither von zentraler Bedeutung für die hyperbolische Geometrie und die Ergodentheorie. Samuel James Patterson schuf die erste Hälfte dieser Geschichte fast allein, bevor Sullivans Name je damit verknüpft wurde.

Von Belfast nach Cambridge

Patterson wurde am 7. September 1948 im nordirischen Belfast geboren und besuchte die Grosvenor High School im Osten der Stadt, bevor er an das Clare College in Cambridge wechselte, wo er 1970 seinen Bachelor of Arts in Mathematik machte. Er blieb für seine Doktorarbeit in Cambridge und arbeitete dabei mit Alan Beardon zusammen, einem Spezialisten für Komplexe Analysis und hyperbolische Geometrie. Seine Dissertation mit dem Titel „The Limit Set of a Fuchsian Group“ – der direkte Keim seiner späteren, bekannteren Arbeit – schloss er 1974 ab; der Doktortitel wurde ihm 1975 formal verliehen. Sein Bruder David Joseph Patterson wurde ein bekannter Taxonom, was die familiäre Neigung zu exakter, klassifizierender Wissenschaft zeigt, die in zwei völlig unterschiedlichen Disziplinen zum Ausdruck kam.

Von Fuchsschen Gruppen zu einer neuen Art von Maß

Eine Fuchssche Gruppe ist eine diskrete Gruppe von Symmetrien der hyperbolischen Ebene, und ihre „Grenzmenge“ – die Randpunkte, zu denen sich ihre Bahnen hin anhäufen – ist oft ein empfindliches fraktales Objekt, das sich einer gewöhnlichen geometrischen Messung entzieht. Im Jahr 1976, während seiner Tätigkeit in Göttingen kurz nach seiner Promotion, führte Patterson eine Konstruktion ein, die heute als Patterson-Maß bezeichnet wird. Diese weist genau solchen Grenzmengen ein natürliches, gutartiges Maß zu, das aus der Eigendynamik der Gruppe konstruiert ist, anstatt von außen auferlegt zu werden. Dennis Sullivan verallgemeinerte die Konstruktion ab 1979 auf Kleinsche Gruppen – das dreidimensionale Gegenstück zu Fuchsschen Gruppen, die auf dem hyperbolischen Raum statt auf der hyperbolischen Ebene operieren – sowie auf die breitere Theorie der geodätischen Flüsse, und die kombinierte Konstruktion wurde als das Patterson-Sullivan-Maß bekannt. Es bildet heute das Fundament eines großen Bereichs der modernen Ergodentheorie und der hyperbolischen Geometrie und bietet Mathematikern eine Möglichkeit, Fragen zur Geometrie und Dynamik der Gruppenwirkung in Fragen zu einem konkreten, berechenbaren Maß zu übersetzen – eines der Standardwerkzeuge zur Untersuchung der Verteilung geschlossener Geodäten, der Entropie und der feinen Struktur hyperbolischer Mannigfaltigkeiten.

Die Widerlegung einer Vermutung von Kummer

Patterson anderer großer Erfolg stammte aus einem völlig anderen Bereich der Zahlentheorie. 1978 widerlegte er gemeinsam mit dem britischen Zahlentheoretiker Roger Heath-Brown die Kummer-Vermutung über kubische Gaußsche Summen – eine Vorhersage aus dem 19. Jahrhundert, die auf Ernst Kummer zurückgeht und die statistische Verteilung der Argumente bestimmter kubischer Exponentialsummen betrifft, die beim Studium der kubischen Reziprozität auftreten. Eine jahrhundertealte Vermutung eines Mathematikers von Kummers Statur umzuwerfen, ist an sich ein bedeutendes Resultat; doch Patterson und Heath-Brown gingen noch weiter und schlugen als Ersatz eine eigene, überarbeitete Vermutung vor – eine Vorhersage, die über vier Jahrzehnte Bestand hatte, bis sie 2021 schließlich von Alexander Dunn und Maksym Radziwiłł bewiesen wurde. Dies ist ein bemerkenswertes Beispiel dafür, dass eine Vermutung ihren Urheber um Jahrzehnte überdauert, bevor sie sich als richtig erweist.

Eine Karriere in Göttingen

Nach seiner Promotion bekleidete Patterson eine Reihe prestigeträchtiger, aber befristeter Positionen – in Göttingen (1974–1975), zurück in Cambridge (1975–1979) und dann an der Harvard University, wo er die Benjamin Peirce Lectureship innehatte (1979–1981) –, bevor er sich 1981 auf eine Professur für Mathematik an der Universität Göttingen berufen ließ. Diese deutsche Universität blickt auf eine der geschichtsträchtigsten Traditionen der Mathematik zurück, die von Gauß und Riemann über Hilbert bis hin zu Emmy Noether reicht. Patterson blieb dreißig Jahre lang bis zu seiner Emeritierung im Jahr 2011 in Göttingen und arbeitete über diskontinuierliche Gruppen, Fuchssche und Kleinsche Gruppen, Ruelle- und Selberg-Zeta-Funktionen, metaplektische Gruppen, Thetafunktionen und Exponentialsummen. Dieses Forschungsspektrum, das die hyperbolische Geometrie und die analytische Zahlentheorie umspannt, zeugt von einer für eine einzelne Karriere ungewöhnlich großen technischen Bandbreite. Von 1982 bis 1994 gab er das Crelle-Journal heraus, eine der ältesten und angesehensten mathematischen Forschungszeitschriften, und wurde 1998 zum Mitglied der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen gewählt, wo er seither dem Vorstand des Leibniz-Archivs in Hannover angehört. Die London Mathematical Society verlieh ihm 1984 den Whitehead-Prize, der an Mathematiker in der frühen Phase ihrer Karriere für herausragende Beiträge vergeben wird, und Kollegen würdigten seinen sechzigsten Geburtstag im Juli 2009 mit einer Konferenz, gefolgt von einer Festschrift zu seinen Ehren im Jahr 2012.

Warum Samuel als Genie bezeichnet wird

Die spezifische Leistung, die Patterson dieses Etikett einbringt, ist die in jungen Jahren und weitgehend unabhängig erfolgte Konstruktion eines wahrhaft neuen mathematischen Objekts – des Patterson-Maßes –, das dynamische Informationen auf eine Weise geometrisch erfasst, wie es kein früheres Werkzeug vermocht hatte, und das ein anderer führender Mathematiker, Dennis Sullivan, für wichtig genug erachtete, um es nur drei Jahre später unabhängig wiederzuentdecken und eine ganze weitere Theorie darauf aufzubauen. Diese Art von konvergenter Wiederentdeckung durch einen unabhängigen Mathematiker ersten Ranges ist eines der zuverlässigsten externen Signale dafür, dass eine Idee ihrer Zeit tatsächlich voraus und nicht nur clever war. Die Widerlegung der Kummer-Vermutung liefert ein zweites, unzusammenhängendes Indiz: Eine etablierte Vorhersage aus dem 19. Jahrhundert umzuwerfen und sie durch eine bessere zu ersetzen, die selbst über vierzig Jahre überlebte, bevor sie bewiesen wurde, zeigt denselben Instinkt dafür, Strukturen zu erkennen, die andere übersehen hatten – diesmal angewandt auf die Zahlentheorie statt auf die Geometrie. Die ehrliche Einschränkung besteht darin, dass Pattersons Anerkennung – ähnlich wie bei mehreren aktiven Mathematikern seiner Generation – (ein relativ früh in seiner Karriere verliehener Whitehead-Preis, die Mitgliedschaft in der Akademie, Redaktionsämter) unterhalb der allerhöchsten mathematischen Auszeichnungen liegt und ein Großteil seines Wirkens über einen technischen Apparat (Grenzmaßnahmen, Zeta-Funktionen diskreter Gruppen) erfolgt, der außerhalb der Spezialgeometrie und Zahlentheorie weitgehend unsichtbar bleibt.

Vermächtnis

Das Patterson-Sullivan-Maß ist heute ein Standardwerkzeug, das weltweit in Graduiertenkursen zur hyperbolischen Geometrie und Ergodentheorie gelehrt wird. Es wird in Arbeiten zitiert, die weit über die Fuchsschen Gruppen hinausgehen, in denen Patterson es ursprünglich untersucht hatte, und der Beweis der Patterson-Heath-Brown-Vermutung durch Dunn und Radziwiłł im Jahr 2021 bestätigte fast ein halbes Jahrhundert später, dass Pattersons Instinkt bezüglich des tatsächlichen Kerns des Kummerschen Problems von Anfang an richtig gewesen war.