Salomon Bochner: Der Mann mit sechs Namen in der Mathematik

Zählen Sie die Objekte, die seinen Namen tragen, und die Form seiner Karriere wird sofort deutlich: das Bochner-Integral, der Bochner-Satz, die Bochner-Riesz-Mittel, die Bochner-Formel, die Bochner-Martinelli-Formel. Ein sechstes — der Bergman-Kern, der aus seiner eigenen Doktorarbeit hervorging — ist nach jemand anderem benannt. Dieses letzte Detail ist keine Fußnote. Es ist der Schlüssel zum Verständnis eines Mathematikers, der immer ein wenig früher bei der richtigen Struktur ankam, als die Welt einen Namen dafür hatte.

Podgórze und eine Familie, die nach Westen floh

Bochner wurde am 20. August 1899 in Podgórze bei Krakau, damals Österreich-Ungarn und heute Polen, in eine jüdische Familie geboren. 1914 zog die Familie nach Deutschland, aus Angst vor einer russischen Invasion Galiziens und auf der Suche nach mehr Sicherheit. Es war die erste von zwei Fluchten, die seine Geografie bestimmen sollten, und das Muster ist im Rückblick düster: Er zog nach Westen, um einem Krieg zu entkommen, und würde erneut nach Westen ziehen, um den Folgen des nächsten zu entkommen.

Er war ein orthodoxer Jude und blieb es auch, eine Tatsache, die erwähnenswert ist, weil sie seltsam zum Standardbild des mathematischen Modernisten der Zwischenkriegszeit passt. Bochner besuchte ein Berliner Gymnasium und dann die Friedrich-Wilhelms-Universität zu Berlin, wo er bei Erhard Schmidt promovierte.

München, 1924–1933

Er lehrte von 1924 bis 1933 an der Ludwig-Maximilians-Universität München, und dieses Jahrzehnt war das erfinderischste seines Lebens. 1925 vereinfachte er Harald Bohrs Ansatz zu fastperiodischen Funktionen durch den Einsatz von Kompaktheitsargumenten – ein für Bochner charakteristischer Schritt, bei dem komplizierte Konstruktionen durch eine strukturelle Beobachtung ersetzt wurden. 1932 veröffentlichte er Vorlesungen über Fouriersche Integrale, das Buch, das den heutigen Bochner-Satz enthält, ein Ergebnis über Fourier-Transformationen, das zu einer der tragenden Säulen der harmonischen Analysis werden sollte. 1933 definierte er das Bochner-Integral und erweiterte die Integration auf vektorwertige Funktionen.

Dann kamen die Nazis an die Macht und er verließ Deutschland. Er war dreiunddreißig und hatte bereits genug geleistet, um in Erinnerung zu bleiben.

Princeton und der lange zweite Akt

Er ging 1933 an die Princeton University. Von 1945 bis 1948 war er Gastwissenschaftler am Institute for Advanced Study. 1959 wurde er zum Henry Burchard Fine Professor in Princeton ernannt, dem angesehensten Lehrstuhl des Fachbereichs.

Die amerikanischen Jahrzehnte brachten eine andere Art von Arbeit hervor – breiter, geometrischer, kollaborativer. 1946 erschien die Bochner-Formel zur Krümmung, die das eröffnete, was später als Bochner-Technik in der Differentialgeometrie bezeichnet wurde. Es gab die Bochner-Martinelli-Formel in mehreren komplexen Variablen, das Thema seines Buches von 1948 mit W. T. Martin. Es gab die Bochner-Riesz-Mittel, die das Verhalten mehrfacher Fourier-Reihen unter Rotation betreffen. 1953 veröffentlichte er mit Kentaro Yano Curvature and Betti Numbers und 1955 Harmonic Analysis and the Theory of Probability.

Er emeritierte 1968 mit siebzig Jahren in Princeton – und nahm sofort den Edgar Odell Lovett Lehrstuhl für Mathematik an der Rice University an, wo er von 1969 bis 1976 den Fachbereich leitete und bis zu seinem Tod blieb.

Warum die Namen weiterhin zahlten

Das Auffällige an Bochners Ergebnissen ist nicht ihre Schwierigkeit, sondern ihr Nachleben. Seine Techniken wurden grundlegend, als sich die Pontrjagin-Dualität und die Darstellungstheorie lokal kompakter Gruppen entwickelten – Gebiete, deren Reife erst nach seinen Beiträgen dazu kam. Seine differentialgeometrische Arbeit mit Yano beeinflusste die Kodaira-Verschwindungssätze und das Studium von Spin-Mannigfaltigkeiten, wiederum nachgelagert zum Schwerpunkt seines eigenen Lebens.

Dieses Muster hat eine Ursache. Bochner hatte einen ungewöhnlichen Instinkt für den richtigen Abstraktionsgrad. Konfrontiert mit einer Konstruktion, die in einem speziellen Umfeld funktionierte, identifizierte er das strukturelle Merkmal, das die Arbeit tatsächlich leistete – Kompaktheit, positive Definitheit, Vektorwertigkeit – und formulierte das Ergebnis auf dieser Ebene neu. Ergebnisse, die auf dem richtigen Grad der Allgemeinheit formuliert sind, gelten weiterhin für Probleme, die sich ihr Autor nie vorgestellt hat. Deshalb tragen fünf Dinge seinen Namen in der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie und Geometrie, Disziplinen, die in der Karriere eines anderen Mathematikers nicht miteinander kommuniziert hätten.

Der Historiker des Wissens

Spät im Leben wandte er sich der Geschichte und Philosophie seines Fachs zu und veröffentlichte 1966 The Role of Mathematics in the Rise of Science und 1969 Eclosion and Synthesis: Perspectives on the History of Knowledge. Dies waren keine Zeitvertreibe eines Ruheständlers. Es waren Argumente darüber, wozu Mathematik dient – geschrieben von jemandem, der vierzig Jahre lang beobachtet hatte, wie abstrakte Strukturen die physische Welt beschreiben, und der offensichtlich etwas über das Warum sagen wollte.

Warum Salomon ein Genie genannt wird

Die fragliche Qualität ist eine spezifische und wenig glamouröse: zu wissen, auf welcher Höhe man einen Satz formuliert. Die meisten starken Mathematiker lösen das Problem, das vor ihnen liegt. Bochner bemerkte wiederholt, dass das Problem vor ihm ein Spezialfall von etwas Saubererem war, bewies das Sauberere und machte weiter. Seine Behandlung der fastperiodischen Funktionen von 1925 tat dies mit Bohrs Theorie. Sein Integral von 1933 tat dies mit der Integration. Seine Formel von 1946 tat dies mit einer Krümmungsberechnung. Der Beweis, dass dieser Instinkt richtig war, ist kein Zeugnis, sondern Arithmetik: Seine Methoden wurden zur wesentlichen Infrastruktur in Bereichen – Pontrjagin-Dualität, Darstellungstheorie lokal kompakter Gruppen, Kodaira-Verschwindung, Spin-Mannigfaltigkeiten –, die erst gebaut wurden, nachdem er den Raum verlassen hatte.

Das Gegenargument verdient es, genannt zu werden. Niemand in den Aufzeichnungen nennt Bochner ein Genie; das Wort muss von anderen geliefert werden. Seine Ehrungen waren dotierte Lehrstühle – die Fine-Professur, die Lovett-Professur –, die eher institutionelle Anerkennung als wettbewerbsorientierte Preise sind, und keine große Medaille erscheint in seiner Akte. Er gründete kein eigenes Fachgebiet; er lieferte Werkzeuge für Fachgebiete, die andere gründeten. Und die schärfste Ironie ist die erste: Der Kern, der aus seiner eigenen Dissertation hervorging, wird allgemein als Bergman-Kern bezeichnet. Ein Mathematiker, dessen bestimmendes Talent darin bestand, früh dort zu sein und es allgemein zu formulieren, ist auch ein Mathematiker, den man im Zitationsverzeichnis leicht umgehen kann. Ein hervorragender Techniker und Synthetiker, kein Prophet.

Vermächtnis

Bochner starb am 2. Mai 1982 in Houston, Texas, im Alter von zweiundachtzig Jahren, immer noch an Rice gebunden, vierzehn Jahre nachdem Princeton ihn in den Ruhestand geschickt hatte. Er ist eine jener Figuren, deren Namen ein arbeitender Mathematiker mehrmals pro Woche ausspricht, ohne an den Mann zu denken – in einem Seminar über Fourier-Analysis, in einem Wahrscheinlichkeitskurs, in einem differentialgeometrischen Aufsatz. Das ist die dauerhafte Form des Einflusses: kein Denkmal, das jeder besucht, sondern ein Vokabular, ohne das niemand arbeiten kann.