Maxim Kontsevich: Der Mathematiker, der die Physik rigoros machte

1990 saß ein 25-jähriger sowjetischer Forscher ohne Universitätsabschluss in einem Hörsaal in Bonn und hörte Michael Atiyah zu – „einem bedeutenden britischen Mathematiker, der von wunderbaren Dingen sprach“, wie er später sagte –, als dieser eine gewagte Vermutung von Edward Witten über die Geometrie von Kurven beschrieb. Wenige Tage später, auf einem Bootsausflug auf dem Rhein, erklärte Kontsevich seinen Kollegen, wie er sie beweisen wollte. Er wurde für ein ganzes Jahr zurück nach Bonn eingeladen. Zwei Jahre später war der Beweis seine Doktorarbeit.

Chimki, Koreanisch und eine Olympiade

Er wurde am 25. August 1964 in Chimki bei Moskau in eine Familie von ausgeprägter Gelehrsamkeit hineingeboren. Sein Vater, Lev Rafailovich Kontsevich, war ein führender Koreanist am Institut für Orientalistik der Russischen Akademie der Wissenschaften und Autor des Kontsevich-Systems, der bis heute gängigen Methode zur Transliteration des Koreanischen in das kyrillische Alphabet. Seine Mutter war Ingenieurin; sein älterer Bruder Leonid ging in die Computerbildforschung nach San Francisco. Kontsevich schreibt seinem Bruder und „einigen sehr guten Büchern“ zu, ihn zur Mathematik und Physik hingeführt zu haben.

Die Bücher wirkten früh. Mit sechzehn Jahren belegte er den zweiten Platz bei der nationalen Mathematik-Olympiade, was ihm die Zulassung zur Moskauer Staatlichen Universität ohne Aufnahmeprüfung einbrachte. Dort studierte er von 1980 bis 1985 unter einer beeindruckenden Fakultät, vor allem unter Israil Gelfand. Mit neunzehn Jahren veröffentlichte er bereits: „The growth of the Lie algebra generated by two generic vector fields“ mit A. A. Kirillov im Jahr 1983, gefolgt von „Algebras of intermediate growth“ mit Kirillov und A. I. Molev.

Der Student, der ging

1985 verließ er die Moskauer Staatliche Universität ohne Abschluss und trat dem Institut für Probleme der Informationsübertragung der Akademie der Wissenschaften bei, wo er bis 1988 über die Virasoro-Algebra und verwandte Strukturen veröffentlichte. Es lohnt sich, hier innezuhalten: Der Mann, der später die Fields-Medaille gewinnen sollte, verbrachte seine frühen Zwanziger als Forscher ohne Abschluss in einem sowjetischen Institut für Informationstheorie. Er besuchte 1988 zum ersten Mal das Institut des Hautes Études Scientifiques und vergaß es nie.

Vier Probleme

Die Bonner Dissertation, die 1992 unter der Betreuung von Don Zagier eingereicht wurde, trug den Titel „Intersection Theory on the Moduli Space of Curves and the Matrix Airy Function“. Sie bewies Wittens Vermutung: dass Schnittzahlen stabiler Klassen auf kompaktifizierten Modulräumen algebraischer Kurven der integrierbaren Korteweg-de-Vries-Hierarchie gehorchen – eine Aussage, die die Geometrie von Riemannschen Flächen mit der Mathematik von Flachwasserwellen verknüpft, was eigentlich nicht hätte wahr sein dürfen. Der Gutachter Clifford Henry Taubes bemerkte, dass „viele Schritte in diesem Beweis Kontsevichs einzigartiges Talent für kombinatorische Berechnungen zeigen“.

Danach gelang ihm dies innerhalb von fünf Jahren noch dreimal. Sein Artikel von 1993 über Vassiliev-Knoteninvarianten führte das ein, was heute als Kontsevich-Integral bekannt ist, eine universelle Invariante von Knoten und Verschlingungen; die Gutachterin Joan Birman schrieb, dass er das Thema „sehr frisch und originell betrachtet“ und eine komplizierte Theorie „sowohl natürlich als auch klar erscheinen lassen“ habe. Er bewies, dass jede Poisson-Mannigfaltigkeit eine formale Deformationsquantisierung zulässt, lieferte explizite Formeln für den flachen Fall und löste eine grundlegende Frage der mathematischen Physik. Mit Yuri Manin schrieb er 1994 „Gromov–Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry“ und führte den Modulraum stabiler Abbildungen ein, der ein rigoroses Zählen von Kurven ermöglichte – der Mechanismus hinter Sätzen über rationale Kurven in Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten, die sich als entscheidend für die Spiegelsymmetrie erwiesen. Er schrieb auch „Formal (non)commutative symplectic geometry“ und bewies später zusammen mit Alexei Belov-Kanel die Äquivalenz der Dixmier- und der Jacobischen Vermutung.

Spiegelsymmetrie als Kategorien-Theorie

Auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1994 in Zürich schlug er die Idee vor, die heute mehr als jede andere seinen Stempel trägt: homologische Spiegelsymmetrie. Stringtheoretiker hatten bemerkt, dass Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten in Spiegelpaaren vorkommen, deren komplexe und symplektische Strukturen sich zu vertauschen scheinen. Kontsevichs Vermutung besagt, dass dies eine Äquivalenz von Kategorien ist – dass die abgeleitete Kategorie der kohärenten Garben auf X, ein Objekt der reinen algebraischen Geometrie, äquivalent zur abgeleiteten Fukaya-Kategorie ihres Spiegels Y, einem Objekt der reinen symplektischen Geometrie, ist. Dies verwandelte eine von Physikern beobachtete Koinzidenz in eine präzise strukturelle Behauptung und hat seitdem weite Teile der Geometrie organisiert.

Bures-sur-Yvette

Er durchlief Harvard, das Institute for Advanced Study in Princeton, Rutgers und eine Professur in Berkeley Mitte der 1990er Jahre, lehnte es dann aber ab, sich in Amerika niederzulassen, obwohl sein Bruder dort war. Er nahm eine ständige Professur am IHES in Bures-sur-Yvette an, der Einrichtung, die er seit 1988 bewunderte, und ist dort geblieben. Er hält auch eine Distinguished Professorship an der Universität von Miami, erhielt 1999 die französische Staatsbürgerschaft und besitzt sowohl einen russischen als auch einen französischen Pass.

Die Preise häuften sich: der Henri-Poincaré-Preis 1997; die Fields-Medaille beim Berliner Kongress 1998, verliehen für Arbeiten in algebraischer Geometrie und algebraischer Topologie; der Daniel-Iagolnitzer-Preis; der Crafoord-Preis 2008, geteilt mit Edward Witten, „für ihre wichtigen Beiträge zur Mathematik, die von der modernen theoretischen Physik inspiriert sind“; der Shaw-Preis 2012; der Breakthrough Prize in Fundamental Physics im selben Jahr; der Breakthrough Prize in Mathematics 2015; Mitglied der Pariser Akademie der Wissenschaften und auswärtiges Mitglied der U.S. National Academy of Sciences.

Warum Maxim ein Genie genannt wird

Zwei unterschiedliche Fähigkeiten sind am Werk, die selten zusammen anzutreffen sind. Die erste ist eine rohe Rechenkraft einer sehr speziellen Art – Taubes’ Phrase „einzigartiges Talent für kombinatorische Berechnungen“ ist eine technische Einschätzung, kein Kompliment, und beschreibt den Mechanismus, der den Beweis der Witten-Vermutung ermöglichte, als es sonst niemand konnte. Die zweite ist ein struktureller Instinkt dafür, was Physiker wirklich sagen. Stringtheoretiker produzierten während der 1980er und 1990er Jahre schillernde, nicht-rigorose Behauptungen; Kontsevichs Gewohnheit war es, das mathematische Objekt zu finden, um das es in diesen Behauptungen im Geheimen ging, und es dann in einer Form auszudrücken, mit der Mathematiker arbeiten konnten. Die homologische Spiegelsymmetrie ist das reinste Beispiel: eine physikalische Koinzidenz, die in eine kategorische Äquivalenz verwandelt wurde. Birmans Beobachtung, dass er komplizierte Theorie „sowohl natürlich als auch klar erscheinen lässt“, deutet aus einem anderen Blickwinkel auf dieselbe Fähigkeit hin.

Das ehrliche Gegenargument hat drei Teile. Ein Großteil des Rohmaterials war nicht sein Eigen – Witten vermutete, Vassiliev definierte die Invarianten, die Physiker fanden die Spiegelsymmetrie; Kontsevichs Rolle war es, die Dinge rigoros zu machen, was unverzichtbar, aber von der Konstruktion her abgeleitet ist. Zweitens bleibt seine berühmteste einzelne Idee eine Vermutung: Die homologische Spiegelsymmetrie ist mehr als dreißig Jahre später im Allgemeinen unbewiesen, und Vermutungen sind im Vergleich zu Theoremen billig. Drittens ist „Genie“ eine Währung, die in der Mathematik frei zirkuliert, und die spezifischen öffentlichen Zeugnisse über Kontsevich tendieren eher dazu, Technik und Originalität zu loben, als nach dem Wort zu greifen. Die vertretbare Behauptung ist enger und dennoch außergewöhnlich: Etwa ein Jahrzehnt lang war er der zuverlässigste Übersetzer zwischen theoretischer Physik und rigoroser Mathematik, den eines der beiden Gebiete je hatte.

Vermächtnis

Ganze Forschungsprogramme basieren heute auf seinen Definitionen – stabile Abbildungen, das Kontsevich-Integral, Deformationsquantisierung, der Fukaya-Kategorien-Rahmen der Spiegelsymmetrie. Er bleibt am IHES, arbeitet immer noch, und die Vermutung, die er 1994 auf einer Bühne in Zürich äußerte, generiert weiterhin mehr Mathematik als die meisten abgeschlossenen Beweise.