Marc Lackenby: Der Mann, der den Unknoten entwirrte

"Es ist noch keine systematische Methode bekannt, mit der man feststellen kann, ob zwei Knoten gleich sind." Das sagte Alan Turing 1954 und markierte damit eines der hartnäckigsten konkreten ungelösten Probleme der Mathematik: Entscheiden, ob ein ineinander verschlungenes Seil mit verbundenen Enden tatsächlich verknotet ist. Max Dehn hatte das Problem 1910 aufgeworfen. Wolfgang Haken lieferte 1961 den ersten Algorithmus, der jedoch bei komplizierten Knoten hoffnungslos langsam war. Am 2. Februar 2021 kündigte Marc Lackenby an der UC Davis an, dass die Frage in n hoch c log n Schritten gelöst werden könne — quasi-polynomiale Zeit, nur knapp entfernt von der Effizienz, die Informatiker als Zeichen für ein wirklich lösbares Problem betrachten. Die Mathematiker in Oxford nannten es ein gordisches Bravourstück.

Cambridge und die Lickorish-Schule

Lackenby ging 1990 zum Mathematikstudium nach Cambridge und blieb dort für seine Promotion, die er 1997 unter W. B. R. Lickorish mit einer Arbeit mit dem Titel "Dehn Surgery and Unknotting Operations" abschloss. Lickorish ist eine der zentralen Figuren der Knotentheorie des zwanzigsten Jahrhunderts, und die Themen der Arbeit — Dehn-Chirurgie und Entknoten — sollten auch ein Vierteljahrhundert später noch als Lackenbys Kernthemen erkennbar sein. Nur wenige Mathematiker wählen ihr Gebiet so früh und finden dann immer wieder neue Dinge darin.

Er hielt ein Miller Research Fellowship an der UC Berkeley und ein Forschungsstipendium zurück in Cambridge, bevor er 1999 als Dozent und Fellow des St Catherine's College nach Oxford wechselte. Die Beförderung zum Professor folgte 2006. Seine Arbeit erstreckt sich über Knotentheorie, niedrigdimensionale Topologie und Gruppentheorie — drei Themen, die sich in drei Dimensionen als mehr oder weniger dasselbe Thema erweisen, das aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet wird.

Die Löcher füllen

Die Dehn-Chirurgie ist die zentrale Operation der dreidimensionalen Topologie: Man schneidet eine feste Röhre um einen Knoten heraus und klebt sie anders wieder ein. Fast jede Drei-Mannigfaltigkeit kann auf diese Weise erzeugt werden, daher bedeutet das Verständnis der Operation das Verständnis der Objekte.

Die wichtige Frage ist, wann das Ergebnis hyperbolisch bleibt — wobei die hyperbolische Geometrie die Struktur ist, die eine Drei-Mannigfaltigkeit starr und analysierbar macht, und deren Abwesenheit der Ort ist, an dem die Wildnis beginnt. Der 2π-Satz liefert ein geometrisches Kriterium, das garantiert, dass die Chirurgie die Hyperbolizität bewahrt. Lackenby bewies eine verstärkte Version davon. Das ist eine für ihn charakteristische Art von Ergebnis: nicht die Entdeckung einer neuen Landschaft, sondern das Schärfen einer bestehenden Grenzlinie, gut genug gemacht, damit viel mehr Territorium auf die nützliche Seite fällt.

Alternierende Knoten und Volumen

Ein zweiter Strang verbindet das Bild eines Knotens mit seiner Geometrie. Zeichnen Sie einen Knoten als Diagramm auf eine Seite und Sie haben Kombinatorik — Kreuzungen, Bögen, Regionen. Betrachten Sie den Raum um den Knoten und Sie haben Geometrie, mit einem daran hängenden hyperbolischen Volumen. Dies sind völlig unterschiedliche Arten von Informationen, und sie in Beziehung zu setzen, ist eines der tiefgründigen Projekte des Fachgebiets.

Lackenby erstellte Schranken für das hyperbolische Volumen von Knotenergänzungen für alternierende Knoten — die Klasse, in der die Kreuzungen beim Durchlaufen abwechselnd über, unter, über, unter verlaufen — und verknüpfte damit eine geometrische Invariante mit etwas, das man buchstäblich auf einer Zeichnung zählen kann. Ergebnisse dieser Art machen die Knotengeometrie berechenbar, anstatt sie nur betrachtbar zu machen.

Reidemeister-Bewegungen, gezählt

Jedes Diagramm eines Knotens kann durch eine Sequenz von drei elementaren Manipulationen, den Reidemeister-Bewegungen, in jedes andere Diagramm desselben Knotens verwandelt werden. Das ist seit den 1920er Jahren bekannt und für sich genommen nutzlos: Nichts sagt einem, wie viele Züge erforderlich sind, und die Sequenz muss möglicherweise Diagramme durchlaufen, die weitaus unordentlicher sind als die Endpunkte, bevor sie sich vereinfacht. Genau deshalb ist das Entknoten schwer — man muss ein Wirrwarr oft verschlimmern, bevor es besser werden kann.

Lackenby zeigte, dass ein Diagramm des Unknotens in einer Anzahl von Reidemeister-Bewegungen entwirrt werden kann, die polynomial in der Anzahl der Kreuzungen ist. Der Pessimismus war unbegründet. Es gibt immer einen einigermaßen kurzen Weg zum trivialen Kreis, auch wenn das Finden ein anderes Problem ist.

Quasi-polynomiale Zeit

Was uns zum Jahr 2021 bringt. Das Problem der Unknotenerkennung hatte nach Haken viele Algorithmen angesammelt, die auf Topologie und Geometrie basierten, und fast alle waren katastrophal langsam, sobald die Knoten kompliziert wurden. Ob ein Algorithmus in polynomialer Zeit existierte, war eine der berühmten offenen Fragen an der Grenze zwischen Topologie und Informatik geworden. William Thurston sagte es 2011 klar: "Viele Leute haben über diese Frage nachgedacht ... aber das war eine sehr schwer zu lösende Frage."

Lackenbys n^(c log n)-Schranke löst das Problem nicht ganz. Quasi-polynomial ist langsamer als polynomial. Aber die Lücke zwischen quasi-polynomial und allem, was vorher kam, ist riesig, und die Lücke zwischen quasi-polynomial und polynomial ist in praktischer und konzeptioneller Hinsicht klein. Ein Problem, das Turing zu den Unbezähmbaren gezählt hatte, ist nun im Wesentlichen bezähmt.

Warum Marc ein Genie genannt wird

Die Qualität, die hier gezeigt wird, ist nicht Schnelligkeit und nicht Breite. Es ist eine Art geduldige Tiefe: fünfundzwanzig Jahre lang bei derselben Gruppe von Fragen zu bleiben — Dehn-Chirurgie, Entknoten, die Geometrie von Knotenergänzungen —, Technik anzuhäufen, bis Probleme, die Generationen widerstanden hatten, erreichbar wurden. Das Unknoten-Ergebnis ist der klarste Beweis, weil es nicht durch einen cleveren Trick fiel. Es fiel durch jemanden, der eine Karriere damit verbracht hatte, die erforderliche spezifische Maschinerie aufzubauen und sehen konnte, wo andere es nicht konnten, welche Kombination aus topologischen und geometrischen Werkzeugen zusammenpassen würde.

Die Anerkennung durch seine Kollegen war eher beständig als sensationell: der Whitehead-Preis der London Mathematical Society im Jahr 2003, ein Philip Leverhulme-Preis für Mathematik und Statistik im Jahr 2006, eine Einladung als Redner beim Internationalen Mathematikerkongress 2010 — das zuverlässigste Signal der Disziplin, dass ein Werk von Bedeutung ist. Die Ankündigung von 2021 zog die stärkste Sprache nach sich, wobei Oxford zum Begriff "Bravourstück" griff.

Das Gegenargument muss dargelegt werden. Keine Quelle verzeichnet, dass irgendjemand Lackenby ein Genie genannt hätte, und die mathematische Kultur, der er angehört, geht bemerkenswert sparsam mit diesem Wort um. Seine Arbeit baut direkt auf Haken, Thurston, Lickorish und der gesamten Normalflächen-Tradition auf; der quasi-polynomiale Algorithmus ist eine spektakuläre Verbesserung innerhalb eines etablierten Rahmens, kein neuer Rahmen. Er ist auch nicht polynomial, was bedeutet, dass die Hauptfrage technisch gesehen immer noch offen ist. Und die niedrigdimensionale Topologie ist trotz all ihrer Schönheit ein Fachgebiet — seine Ergebnisse sind unter Topologen berühmt und außerhalb weitgehend unbekannt. Was unbestreitbar ist, ist, dass er etwas geknackt hat, das sich ein Jahrhundert lang widersetzt hat, und er hat es getan, indem er sein eigenes Fachgebiet gründlicher kannte als jeder andere.

Vermächtnis

Was Lackenby über alle vier Stränge seiner Arbeit hinweg getan hat, ist, die Knotentheorie effektiv zu machen. Volumina durch Zählen von Kreuzungen begrenzen, Entknoten durch Zählen von Bewegungen begrenzen, Erkennung durch Zählen von Schritten begrenzen — in jedem Fall wurde aus einem betrachtbaren Objekt ein berechenbares Objekt. Dieser Wandel macht eine schöne Theorie zu einer nutzbaren, und das ist der Grund, warum das Ergebnis von 2021 weit über die Topologie hinaus in die theoretische Informatik ausstrahlte. Dehn stellte die Frage 1910. Es dauerte 111 Jahre und einen Professor in Oxford, der sich weigerte, an etwas anderem zu arbeiten.