Kiyoshi Itō: Der Mathematiker, der dem Zufall eine Analysis gab

Mehr als ein Jahrzehnt, nachdem Kiyoshi Itō die Arbeit veröffentlicht hatte, die die moderne stochastische Analysis begründete, las sie fast niemand. „Ich kenne niemanden, der diese Arbeit damals gründlich gelesen hätte, außer meinem Freund G. Maruyama“, räumte er später ein. Sechs Jahrzehnte später lief die Formel in diesem papier — eine Methode zur Durchführung von Analysis auf Prozessen, die zu unregelmäßig für die gewöhnliche Analysis sind — im Stillen an jedem Optionshandelstisch aller Banken weltweit, und im Jahr 2006 wurde Itō im Alter von 91 Jahren als erster Mensch überhaupt mit dem Gauss-Preis ausgezeichnet, der neuesten Auszeichnung der Mathematik speziell für Arbeiten, deren reale Auswirkungen die Erwartungen ihres Autors weit übertrafen.

Das Nebenprojekt eines Statistiker im Krieg

Itō wurde am 7. September 1915 in Hokusei-cho in der japanischen Präfektur Mie geboren. Er studierte Mathematik an der Kaiserlichen Universität Tokio und schloss das Studium 1938 ab. Als Student war er unzufrieden mit der damaligen Literatur zur Wahrscheinlichkeitstheorie, die seiner Ansicht nach keine strenge Definition einer Zufallsvariablen aufwies. Diese Unzufriedenheit wurde zu einem Forschungsprogramm. Ab 1938 arbeitete er beim Statistischen Kabinettsbüro Japans, einer zivilen Kriegsdienstposition, die ihm ungewöhnlicherweise institutionellen Rückhalt bot, um nebenbei reine theoretische Forschung zu betreiben; dort schrieb er 1942 die Arbeit „On Stochastic Processes“ (Über stochastische Prozesse), die die Theorie der stochastischen Integration – das Integrieren bezüglich eines zufällig fluktuierenden Prozesses anstelle einer glatten Kurve – von Grund auf neu aufbaute.

Aufbau einer Analysis für die Brownsche Bewegung

Das mathematische Objekt, das Itō bändigen musste, war die Brownsche Bewegung, das erratische Zickzackmuster, das erstmals zur Modellierung des Zitterns von Pollenkörnern in Wasser verwendet wurde: ein Pfad, der so rauh ist, dass er eine unbeschränkte Variation aufweist und im gewöhnlichen Sinne nicht differenziert werden kann. Itōs Lösung bestand aus drei miteinander verknüpften Teilen. Er definierte eine neue Art von Integral, heute Itō-Integral genannt, das die Integration bezüglich der Brownschen Bewegung sinnvoll machte. Er nutzte es dann, um stochastische Differentialgleichungen zu formulieren – Ausdrücke der Form dX(t) = σ(X(t))dB(t) + b(X(t))dt –, die es Mathematikern ermöglichen, einzelne zufällige Stichprobenpfade direkt zu beschreiben und zu manipulieren, anstatt nur die Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die diese Pfade erzeugen könnten. Und er leitete das her, was das Fachgebiet heute das Itō-Lemma nennt, eine Formel, df(X(t)) = f′(X(t))dX(t) + ½f″(X(t))σ²(X(t))dt, darüber, wie sich eine Funktion eines stochastischen Prozesses selbst im Laufe der Zeit verändert – die Kettenregel der gewöhnlichen Analysis, umgebaut, um dem zusätzlichen Term des Zufalls Rechnung zu tragen. Zusammen fassten diese Ergebnisse zwei zuvor getrennte Traditionen zusammen: das intuitive, stichprobenpfad-orientierte probabilistische Denken des französischen Mathematikers Paul Lévy und die rigorosen, maßtheoretischen Grundlagen von Andrei Kolmogorov.

Eine Karriere über Kontinente hinweg

Itō promovierte 1945 und lehrte nach dem Krieg von 1943 bis 1952 als Assistenzprofessor an der Kaiserlichen Universität Nagoya. 1952 wechselte er an die Universität Kyoto, wo er bis 1979 eine Professur innehatte, unterbrochen von internationalen Aufenthalten: zwei Jahre am Institute for Advanced Study in Princeton ab 1954, eine Professur an der Universität Aarhus in Dänemark von 1966 bis 1969 und eine an der Cornell University von 1969 bis 1975. Nach 1979 lehrte er an der Gakushuin-Universität. Durch diese Stationen baute sich seine einst übersehene Arbeit von 1942 langsam eine internationale Anhängerschaft auf, und Itōs eigene Studenten in Japan – darunter Shinzo Watanabe, Masatoshi Fukushima und Hiroshi Kunita – erweiteten seine Methoden auf unendlich-dimensionalen Räume und allgemeine symmetrische Markow-Prozesse, wodurch Japan zu einem der weltweit führenden Zentren für Wahrscheinlichkeitstheorie wurde.

Anerkennung und der Gauss-Preis

In Itōs späterer Karriere häuften sich die Ehrungen stetig: der japanische Asahi-Preis 1978, im selben Jahr der Kaiserliche Preis und der Preis der Akademie von Japan, der Fujiwara-Preis 1985, der Wolf-Preis für Mathematik 1987 und der Kyoto-Preis für Grundwissenschaften 1998. Er wurde in die United States National Academy of Sciences und die französische Académie des Sciences gewählt und erhielt Ehrendoktorwürden der University of Warwick und der ETH Zürich. Der Höhepunkt kam 2006, als die Internationale Mathematische Union den Carl-Friedrich-Gauss-Preis ins Leben rief, speziell um mathematische Arbeit von herausragender praktischer Bedeutung zu ehren, und Itō – damals 91 Jahre alt – auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Madrid zu ihrem ersten Empfänger ernannte. Itō selbst schien von der Rahmung der Ehrung überrascht zu sein: „Die Tatsache, dass meine Arbeit für den Gauss-Preis für Anwendungen der Mathematik ausgewählt wurde, ist wirklich unerwartet und tiefgreifend erfreulich“, sagte er und fügte hinzu, dass er seine Forschung immer der reinen Mathematik zugeordnet habe.

Von der Tafel zum Handelsboden

Diese Bescheidenheit unterschätzte die Tragweite dessen, was er aufgebaut hatte. Die Itō-Analysis wurde zur mathematischen Infrastruktur hinter der modernen quantitativen Finanzwirtschaft: das Black-Scholes-Optionspreismodell und das breitere Feld der stochastischen Finanzmathematik basieren direkt auf der Lösung stochastischer Differentialgleichungen vom Itō-Typ für Vermögenswerte. Über die Finanzwelt hinaus wurde sein Rahmen zu einem Standardwerkzeug in der Filtertheorie und Signalverarbeitung, in der Populationsgenetik zur Modellierung genetischer Drift und in der statistischen Physik zur Beschreibung von Systemen, die von zufälligem Rauschen getroffen werden. Wenige mathematische Ergebnisse des 20. Jahrhunderts, die in einem staatlichen Statistikbüro entstanden und in einer Arbeit veröffentlicht wurden, die anfangs fast niemand las, können von sich behaupten, heute in der Software jeder großen Bank zu stecken.

Warum Kiyoshi ein Genie genannt wird

Das Argument für Itōs Genie ist schmal, aber stark: Er hat nicht einfach ein offenes Problem gelöst, sondern die Sprache geschaffen – das Integral, die Gleichung, die Differenziationsregel –, die ein ganzes nachfolgendes Feld benötigte, bevor es überhaupt seine Fragen stellen konnte. Mathematiker, die in seiner Tradition arbeiteten, beschreiben seine Konstruktion von 1942 als den Moment, in dem die stochastische Analysis rigoros statt heuristisch wurde und Lévys Intuition mit Kolmogorows Formalismus in Werkzeugen vereint wurde, die präzise genug waren, um das Gewicht zu tragen, das ihnen später Ökonomen und Physiker auferlegten. Die ehrliche Komplikation ist, dass dies kein blitzartiger, soforterkannter Einblick war – es dauerte laut Itōs eigener Darstellung über ein Jahrzehnt, bis sich mehr als ein oder zwei Mathematiker ernsthaft mit der Arbeit beschäftigten, und ihre explosive praktische Bedeutung im Finanzwesen wurde erst Jahrzehnte später sichtbar, maßgeblich angetrieben durch Ökonomen (Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton), die von Itō für andere Zwecke entwickelte Werkzeuge anwendeten. Sein Genie war mit anderen Worten die geduldige, einsame Konstruktion einer exakten Maschinerie, deren vollen Wert nicht einmal er vorausahnte – eher vergleichbar mit der grundlegenden Infrastruktur eines Ingenieurs als mit einem einzigen blendenden Beweis.

Vermächtnis

Itō starb am 10. November 2008 in Kyoto im Alter von 93 Jahren. Das von ihm eingeführte Vokabular – Itō-Integral, Itō-Prozess, Itō-Lemma – ist heute so fest in der Wahrscheinlichkeitstheorie, Physik und Finanzwirtschaft verankert, dass es Graduiertenstudenten kaum mit einer Erwähnung seines Ursprungs in einem japanischen Statistikbüro zur Kriegszeit gelehrt wird. Der Gauss-Preis, der seine Karriere krönte, geht heute jährlich an Mathematiker, deren theoretische Arbeit ein externes Feld umgestaltet hat; Itōs eigenes Leben lieferte die Vorlage, zu deren Ehrung der Preis erfunden wurde.