Georg Cantor: Der Mann, der das Unendliche zählbar machte

Im Januar 1874 stellte Cantor seinem Freund Richard Dedekind eine Frage: „Kann eine Fläche (sagen wir ein Quadrat, das die Grenze mit einschließt) eindeutig auf eine Linie bezogen werden... so dass für jeden Punkt der Fläche ein entsprechender Punkt der Linie existiert und umgekehrt?“ Er nahm an, die Antwort sei offensichtlich nein. Drei Jahre später bewies er, dass sie ja lautete – dass ein ganzes Quadrat und sogar ein Raum mit beliebig vielen Dimensionen genau so viele Punkte enthält wie ein einzelnes Liniensegment. Er schrieb sofort an Dedekind: „Ich sehe es, aber ich glaube es nicht!“

Ein Kaufmannssohn in St. Petersburg

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor wurde am 3. März 1845 in St. Petersburg geboren. Sein Vater, Georg Waldemar Cantor, war ein erfolgreicher Kaufmann; seine Mutter, Maria Anna Böhm, war Russin und bemerkenswert musikalisch. Im Jahr 1856, als Georg elf Jahre alt war, zwang die Gesundheit seines Vaters die Familie nach Deutschland, wo sie sich zuerst in Wiesbaden niederließen.

Er besuchte das Gymnasium in Frankfurt und die Realschule in Darmstadt und schloss 1860 mit hervorragenden Noten in Mathematik und Trigonometrie ab. Sein Vater wollte, dass er Ingenieur wird; Cantor erwirkte die Erlaubnis, stattdessen Mathematik zu studieren. Er trat 1862 in das Zürcher Polytechnikum ein und wechselte nach dem Tod seines Vaters im Juni 1863 an die Universität Berlin, wo er bei Weierstrass, Kummer und Leopold Kronecker studierte und sich mit Hermann Schwarz anfreundete. Seine Dissertation über unbestimmte Gleichungen wurde 1867 abgeschlossen.

Halle und Heines Problem

Nach einer Lehrtätigkeit an einer Berliner Mädchenschule trat Cantor 1869 in die Universität Halle ein – die provinzielle Institution, an der er seine gesamte Karriere verbringen sollte. Sein Kollege Heine gab ihm ein langjähriges Problem über die Eindeutigkeit von trigonometrischen Reihenentwicklungen. Cantor löste es bis April 1870.

Dieses Problem ist der Keim für alles. Die Verfolgung der außergewöhnlichen Punkte, an denen sich eine solche Reihe problematisch verhalten könnte, zwang ihn dazu, intensiv über unendliche Mengen von Punkten nachzudenken, und bis 1872 hatte er die irrationalen Zahlen mittels konvergenter Folgen rationaler Zahlen definiert und die Korrespondenz mit Dedekind begonnen, die ihn ein Jahrzehnt lang tragen sollte.

Mehr als ein Unendlich

1874 veröffentlichte Cantor das Ergebnis, das die Welt erschütterte. Er bewies, dass die rationalen Zahlen in eine Eins-zu-eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen gebracht werden können – sie sind abzählbar –, während die reellen Zahlen das nicht können. Es gibt nicht ein Unendlich; es gibt mindestens zwei, und sie haben unterschiedliche Größen.

Die Methode war das Kriterium, das er erfunden hatte: Zwei Mengen sind gleich groß, wenn ihre Mitglieder exakt gepaart werden können, egal wie groß sie sind. Es sah aus wie ein Trick, und seine Konsequenzen waren unmittelbar und ungeheuerlich. Cantor beobachtete, dass daraus folgte, dass „fast alle“ Zahlen transzendent und nicht algebraisch sind – ein Existenzbeweis für eine ganze Klasse von Zahlen, zu dem er gelangte, ohne eine einzige aufzuzeigen.

Das Transfinite

Sein Artikel von 1878 im Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) führte den Begriff „abzählbare Mengen“ ein. Kroneckers Feindseligkeit blockierte fast dessen Veröffentlichung und Dedekind musste intervenieren; Cantor reichte nie wieder bei Crelle ein.

Zwischen 1879 und 1884 veröffentlichte er sechs Artikel in den Mathematischen Annalen, die die Mengenlehre begründeten. Die Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre von 1883 präsentierten die transfiniten Zahlen als „eine autonome und systematische Erweiterung der natürlichen Zahlen“ – nicht als Notbehelfe oder Grenzwerte, sondern als Zahlen, die man ordnen und mit denen man rechnen kann. Er wusste, was er tat: „Ich bin mir bewusst, dass ich mich in diesem Unterfangen in einen gewissen Gegensatz zu den weit verbreiteten Ansichten über das mathematische Unendliche begebe.“

Er bezeichnete die transfiniten Kardinalzahlen mit dem hebräischen Buchstaben Aleph, wobei ℵ₀ das kleinste war, und drückte die Größe der reellen Zahlen als 2^ℵ₀ aus. Das warf die Frage auf, die den Rest seines Lebens verzehrte. Ist das Kontinuum das nächste Unendliche nach dem abzählbaren – ist 2^ℵ₀ = ℵ₁? Gegen Kroneckers Konstruktivismus gab er sein Manifest heraus: „Das Wesen der Mathematik liegt gerade in ihrer Freiheit.“

Zusammenbruch, Bacon und der Papst

Cantor erlitt seine erste aufgezeichnete Depression im Mai 1884. Die alte Geschichte besagt, dass Kroneckers Verfolgung ihn in den Wahnsinn trieb; die moderne Lesart kehrt die Kausalität um und hält fest, dass die Depression seine mathematischen Sorgen vergrößerte, anstatt durch sie erzeugt zu werden. Er wechselte jahrelang zwischen dem Glauben, er habe die Kontinuumshypothese als wahr bewiesen, und dem Glauben, er habe sie als falsch bewiesen, wobei er jedes Mal den Fehler fand.

1885 überzeugte ihn Mittag-Leffler, einen Artikel aus den Acta Mathematica zurückzuziehen, mit der Begründung, er sei etwa hundert Jahre zu früh. Cantors Witz war bitter: „Hätte Mittag-Leffler seinen Willen bekommen, hätte ich bis zum Jahr 1984 warten müssen, was mir wie eine zu große Zumutung erschien!“ Ihre Korrespondenz endete effektiv, und mit ihr der zwölfjährige kreative Schub, der die Mengenlehre aufgebaut hatte.

In seinen depressiven Phasen wandte er sich der Philosophie und Literatur zu, fixierte sich auf die Theorie, dass Francis Bacon Shakespeares Stücke geschrieben habe, und veröffentlichte 1896–97 Broschüren darüber. Er war auch zutiefst religiös und glaubte, dass ihm die transfiniten Zahlen von Gott mitgeteilt worden seien. Er korrespondierte mit katholischen Theologen über die Natur des Unendlichen und schrieb direkt an Papst Leo XIII., in der Hoffnung, seine Mathematik könne die kirchliche Lehre informieren.

Die letzten Jahrzehnte

Er gründete um 1890 die Deutsche Mathematiker-Vereinigung und diente als deren erster Präsident. Seine letzten wichtigen Arbeiten, 1895 und 1897, behandelten transfinite Arithmetik und wohlgeordnete Mengen. Auf dem Internationalen Mathematiker-Kongress in Zürich 1897 wurde er öffentlich von Hurwitz und Hadamard gelobt und versöhnte sich mit Dedekind.

Bis dahin hatte er selbst die Risse gefunden und informierte Hilbert 1896 über Paradoxien, die in der Mengenlehre lauern; Burali-Forti veröffentlichte 1897 unabhängig eine davon. Persönliche Verluste trafen ihn schnell – seine Mutter im Oktober 1896, sein Bruder im Januar 1899 und sein jüngster Sohn am 16. Dezember 1899. Depressionen beherrschten den Rest seines Lebens, und nach 1900 verbrachte er lange Zeit in der Nervenklinik in Halle und beurlaubte sich in den Wintern 1902–03, 1904–05 und 1907–08 vom Unterricht. Er erhielt die Copley-Medaille der Royal Society und einen Ehrengrad aus St. Andrews, wohin er 1911 zum 500-jährigen Jubiläum der Universität reiste. Er starb am 6. Januar 1918 in Halle an einem Herzinfarkt.

Warum Georg ein Genie genannt wird

Hilbert selbst lieferte das Wort und nannte Cantors Arbeit „das schönste Produkt mathematischen Geistes und eine der höchsten Leistungen rein geistiger menschlicher Tätigkeit“. Die spezifische Qualität war eine Bereitschaft, einer Definition mehr zu vertrauen als einer Intuition. Jeder vor ihm behandelte das Unendliche als eine Richtung, nicht als eine Menge. Cantor schlug ein Kriterium für die Gleichheit der Größe – exakte Paarung – vor, wandte es ohne Zögern auf unendliche Mengen an und folgte ihm, wohin auch immer es führte, einschließlich zu Schlussfolgerungen, die er selbst nicht glauben konnte. „Ich sehe es, aber ich glaube es nicht“ ist der Satz eines Mannes, der von seiner eigenen Logik mitgerissen wird und trotzdem weitergeht.

Das Gegenargument ist es wert, genannt zu werden. Er hat die Kontinuumshypothese nie geklärt und sich wiederholt selbst davon überzeugt, er hätte es getan – in beide Richtungen –, bevor er seine Fehler fand, was sowohl auf sein Urteilsvermögen als auch auf die Tiefe des Problems zurückfällt. Gödel und Cohen zeigten schließlich, dass die Hypothese unabhängig von den Standardaxiomen ist, also war das Ding, das er dreißig Jahre lang jagte, nicht da, um gefangen zu werden. Was er baute, war auch unvollendet und inkonsistent: Er entdeckte Paradoxien in seinem eigenen System, und es brauchte Zermelos Axiomatisierung und später Fraenkel und von Neumann, um die Mengenlehre sicher zu machen. Seine Überzeugung, dass die transfiniten Zahlen von Gott kamen, sein Lobbying beim Vatikan und seine Bacon-Broschüren deuten auf eine Gewissheit hin, die nicht immer gut kalibriert war. Und er erhielt nie den prestigeträchtigen Lehrstuhl, den er wollte, und verbrachte vierzig Jahre in Halle.

Vermächtnis

Die Mengenlehre wurde zum Fundament, auf dem die moderne Mathematik ruht, von den Principia Mathematica bis zu den Zermelo-Fraenkel-Axiomen, die Mathematiker immer noch verwenden. Hilberts Tribut ist derjenige, der blieb: Niemand soll uns aus dem Paradies vertreiben, das Cantor geschaffen hat.