Francis Bonahon: Die Kartierung der dreidimensionalen Form

Die geometrische Intuition der meisten Menschen endet bei ebenen Flächen und vertrauten Körpern. Francis Bonahon hat seine Karriere in einem fremdartigeren Territorium verbracht — dem Raum dreidimensionaler Formen, die sich ohne zu reißen in eine gleichmäßige hyperbolische Krümmung dehnen lassen, jene Geometrie, die Einstein einst als „die Geometrie der Pseudosphäre“ bezeichnete und von der Topologen heute wissen, dass sie den meisten dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten zugrunde liegt. Bonahon arbeitet an der Schnittstelle von Knotentheorie, hyperbolischer Geometrie und Deformationsräumen von Flächen und hat vier Jahrzehnte darauf verwendet, dieses einst exotische Territorium zu einem der am besten verstandenen Gebiete der modernen Topologie zu machen.

Von Tarbes an die École Normale Supérieure

Bonahon wurde am 9. September 1955 in Tarbes geboren, einer Stadt am Fuße der französischen Pyrenäen, und bestand 1955 (im Original: 1972) sein Baccalauréat, bevor er zwei Jahre später an der École Normale Supérieure in Paris eintrat — Frankreichs Eliteschmiede für Forschungsmathematiker. Er erwarb 1975 eine Maîtrise in Mathematik an der Universität Paris VII und wechselte dann an die Universität Paris XI in Orsay für seine Doktorarbeit unter Laurence Siebenmann, einem der führenden Topologen jener Ära. Seine Doktorarbeit von 1979 mit dem Titel „Involutions et fibrés de Seifert dans les variétés de dimension 3“ („Involutionen und Seifert-Faserungen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten“) und seine Habilitationsschrift von 1985 „Geometric structures on 3-manifolds and applications“ markieren die beiden Eckpunkte jener Periode — grob das Jahrzehnt nach William Thurstons revolutionärem Geometrisierungsprogramm, das das Fach veränderte —, in der die 3-Mannigfaltigkeiten-Topologie und die hyperbolische Geometrie untrennbar miteinander verschmolzen.

Vom CNRS zur USC

Nach einem Postdoc-Jahr als Procter Fellow in Princeton in den Jahren 1979–80 verbrachte Bonahon die erste Hälfte der 1980er Jahre im französischen nationalen Forschungssystem CNRS und stieg dort 1980 vom attaché de recherche zum chargé de recherche im Jahr 1983 auf. Diese Arbeit wurde 1985 mit der Bronzemedaille des CNRS gewürdigt — einer Auszeichnung für den wissenschaftlichen Nachwuchs, die Forschern verliehen wird, denen ein erster bemerkenswerter Beitrag zugeschrieben wird. 1986 wechselte er an die University of Southern California, wo er 1988 zum Assistenzprofessor (Assistant Professor), 1988 zum außerordentlichen Professor (Associate Professor) und 1989 zum ordentlichen Professor (Full Professor) ernannt wurde. Diese Position — heute als Professor Emeritus — hat er für den Rest seiner Karriere innegehabt, unterbrochen von ausgedehnten Gastprofessuren an der UC Davis, dem Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) bei Paris, Caltech und dem Mathematical Sciences Research Institute in Berkeley. Auf die französische folgte die amerikanische Anerkennung: ein Sloan Research Fellowship (1987–89), ein Presidential Young Investigator Award (1989–94) sowie der Raubenheimer Outstanding Senior Faculty Award der USC im Jahr 1994.

Knoten, Flächen und hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten

Bonahons Forschung liegt an der Schnittstelle von niedrigdimensionaler Topologie, hyperbolischer Geometrie, komplexer Analysis und dynamischen Systemen und hat sich im Gleichschritt mit den Hauptströmungen des Fachgebiets entwickelt. Seine frühen Arbeiten befassten sich mit der Knotentheorie sowie den Involutionen und Seifert-Faserungen von 3-Mannigfaltigkeiten — der Klassifikation, wie dreidimensionale Räume aus einfacheren gefaserten Teilen aufgebaut werden können. Als das Fach Thurstons Erkenntnis aufnahm, dass die meisten 3-Mannigfaltigkeiten eine natürliche hyperbolische geometrische Struktur besitzen, wandte sich Bonahon der Deformationstheorie hyperbolischer Strukturen auf Flächen und 3-Mannigfaltigkeiten zu. Er untersuchte, wie sich die Form einer hyperbolischen Fläche kontinuierlich verändern lässt — das Thema der Teichmüller-Theorie —, und wie diese Deformationen mit der Geometrie der 3-Mannigfaltigkeiten, in denen die Flächen eingebettet sind, interagieren. Dies ist eine technische, hochgradig geometrische Arbeit, deren Ertrag ein konzeptioneller ist: eine funktionale Beschreibung des gesamten Raums hyperbolischer Strukturen, die ein gegebenes topologisches Objekt tragen kann, und der Art und Weise, wie dieser Raum strukturiert ist. In den letzten Jahren hat sich seine Arbeit auf die Quantentopologie ausgedehnt und verbindet die klassische hyperbolische Geometrie mit den algebraischen Strukturen, die aus Quanteninvarianten von Knoten und 3-Mannigfaltigkeiten hervorgehen — eine aktive Forschungsfront an der Schnittstelle von Topologie und mathematischer Physik.

Anerkennung unter Fachkollegen

Bonahon war 1990 eingeladener Redner (Invited Speaker) auf dem Internationalen Mathematikerkongress (ICM) in Kyoto, was im Fach als eines der deutlichsten Anzeichen dafür gilt, dass ein Lebenswerk die Ausrichtung des Gebiets prägt. Im Jahr 2012 wurde er in der Gründungsklasse der Fellows der American Mathematical Society (AMS) geehrt, eine Auszeichnung für Mathematiker, die herausragende Beiträge zum Fach geleistet haben. Zudem ist er Autor des Werks Low-Dimensional Geometry: From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots (2009), eines Lehrbuchs, das darauf abzielt, das moderne geometrische Bild von Flächen und Knoten einem breiteren mathematischen Leserkreis zugänglich zu machen — ein bewusster Akt der Vermittlung in einem Fach, das dafür nicht gerade bekannt ist.

Warum Francis ein Genie genannt wird

Die spezifische kognitive Qualität, die in Bonahons Karriere zum Ausdruck kommt, ist ein geometrisches Vorstellungsvermögen, das in einen Bereich vorgedrungen ist, in dem die gewöhnliche räumliche Intuition aktiv in die Irre führt: Der hyperbolische dreidimensionale Raum lässt sich nicht wie eine Kugel oder ein Torus als Teilmenge des gewöhnlichen euklidischen Raums konstruieren. Um in ihm produktiv arbeiten zu können, muss man daher ein in sich konsistentes, nicht-euklidisches Bild im Kopf behalten und darauf aufbauend korrekt schlussfolgern — eine Fähigkeit, die solide von außergewöhnlichen Forschern auf diesem Gebiet unterscheidet. Dass sich seine Karriere exakt entlang der Wirbelsäule der Thurston-Geometrisierungsrevolution erstreckt — von der frühen Klassifikation der 3-Mannigfaltigkeiten über die hyperbolische Deformationstheorie bis hin zur heutigen Quantentopologie —, zeugt von einer über vier Jahrzehnte gehaltenen Meisterschaft in einem wahrhaft schwierigen Fachgebiet, die durch eine ICM-Einladung und die Aufnahme als AMS-Fellow auch von außen bestätigt wurde. Das ehrliche Gegenargument lautet, dass Bonahons Beiträge, so tiefgründig sie auch sein mögen, eher stetige Erweiterungen und Konsolidierungen des Rahmens darstellen, den Thurston und eine kleine Gruppe von Zeitgenossen errichtet haben, als ein einzelner, feldprägender Durchbruch eigener Art; die vorliegende Bilanz verzeichnet weder eine Fields-Medaille noch einen äquivalenten singulären Preis, und sein sichtbarster öffentlicher Beitrag — das Lehrbuch von 2009 — ist selbst ein Akt der Darstellung und nicht der Entdeckung. Es ist das Genie eines Meisters, der an der Grenze einer bereits etablierten Revolution arbeitet, nicht das Genie, eine solche ausgelöst zu haben.

Vermächtnis

Bonahons vier Jahrzehnte lange Arbeit an der USC trugen dazu bei, Südkalifornien als Zentrum für niedrigdimensionale Topologie und geometrische Gruppentheorie zu etablieren. Sein Lehrbuch führt weiterhin neue Generationen von Studierenden in eine geometrische Welt ein — die hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten —, die dank seiner eigenen Forschung heute so gut verstanden wird, dass man sie lehren kann, anstatt sie nur zu entdecken. Der Titel des Professor Emeritus, den er heute inneträgt, markiert den Abschluss eines ungewöhnlich langen und konsistenten Forschungsbogens, der im Schatten Thurstons begann und Jahrzehnte später noch immer denselben Diskurs bereicherte.