Ernest Michael: Wie man wählt, ohne schlecht zu wählen

Im Jahr 1956 veröffentlichte ein junger Topologe an der University of Washington einen Satz über das Treffen von Entscheidungen. Gegeben eine Regel, die jedem Punkt nicht einen einzelnen Wert, sondern eine ganze Menge akzeptabler Werte zuordnet: Wann kann man aus jeder Menge einen Wert auswählen — und zwar stetig, sodass nahe beieinander liegende Punkte auch nahe beieinander liegende Auswahlen erhalten? Die Antwort, die er gab, wird heute jedes Mal verwendet, wenn ein Ökonom die Existenz eines Gleichgewichts beweist oder ein Regelungstechniker beweist, dass ein System gesteuert werden kann. Fünfzig Jahre später widmete eine Fachzeitschrift dem daraus entstandenen Werk eine ganze Sonderausgabe und nannte 1956 „das Geburtsjahr dieser Theorie“.

Zürich, Berlin, Den Haag, New York

Michael wurde am 26. August 1925 in Zürich als Sohn von Jacob und Erna Michael, einer aschkenasischen jüdischen Familie, geboren.

Die nächsten vierzehn Jahre lesen sich wie die Karte eines Kontinents, der aus den Fugen gerät. Die Familie zog 1932 aus Berlin weg — das Jahr, bevor Hitler die Macht übernahm, was bedeutet, dass sie die Situation früh und richtig einschätzten. Sie gingen nach Den Haag. 1939, als die Niederlande nur noch Monate von der Invasion entfernt waren, wanderten sie erneut aus, nach New York. Michael wurde später als Amerikaner schweizerischer und deutscher Herkunft beschrieben; jedes dieser Worte wurde mit einem Abschied erkauft.

Er absolvierte die Horace Mann School mit fünfzehn Jahren. Er ging nach Cornell, aber der Krieg unterbrach ihn: Er diente von 1944 bis 1946 an Bord der USS Kwajalein und kehrte zurück, um 1947 seinen Bachelor-Abschluss zu machen. Ein Master von Harvard folgte 1948 und 1951 ein Doktortitel von der University of Chicago unter Irving Segal mit einer Dissertation über lokal multiplikativ-konvexe topologische Algebren.

Einundvierzig Jahre in Seattle

1952 trat Michael in die Mathematikabteilung der University of Washington ein. Er war von 1952 bis 1956 Assistant Professor, von 1956 bis 1960 Associate Professor und von 1960 bis zu seinem Ruhestand 1993 Professor — einundvierzig Jahre in einer Abteilung, in einem Leben, dessen erste vierzehn Jahre drei Länder umfasst hatten.

Er reiste von dieser Basis aus, anstatt erneut umzuziehen: vier getrennte Perioden als Gastwissenschaftler am Institute for Advanced Study, ein Jahr an der ETH Zürich 1973–74 — zurück in die Stadt seiner Geburt — und ein Jahr an der Universität Stuttgart 1978–79.

Der Selektionssatz

Das Ergebnis von 1956 betrifft mengenwertige Abbildungen, manchmal auch Korrespondenzen oder Multifunktionen genannt.

Eine gewöhnliche Funktion liefert einen Ausgangswert pro Eingangswert. Eine mengenwertige Abbildung liefert eine ganze Menge davon: für jeden Preis die Menge der Mengen, die ein Unternehmen optimal produzieren könnte; für jeden Zustand einer Maschine die Menge der zulässigen Steuerungen. Eine Selektion ist eine gewöhnliche Funktion, die aus jeder dieser Mengen ein Element auswählt. Selektionen existieren immer, wenn man das Auswahlaxiom akzeptiert — aber sie sind im Allgemeinen extrem unstetig, und eine unstetige Wahl ist für die Zwecke, die Menschen tatsächlich haben, nutzlos.

Michaels Selektionssatz gibt Bedingungen an, unter denen eine stetige Selektion existiert: grob gesagt, dass der Definitionsbereich parakompakt ist und die Abbildung unterhalbstetig mit abgeschlossenen konvexen Werten ist. Der Satz ist der Grund, warum ein Großteil der modernen Analysis funktioniert. Fixpunktargumente in der mathematischen Ökonomie, die Theorie der Differentialinklusionen, Optimierung und Regelung hängen alle an einem Punkt davon ab, stetig aus einer sich bewegenden Menge wählen zu können.

Er blieb nicht bei dem Satz stehen. Er begründete die gesamte Theorie der stetigen Selektionen um ihn herum, und das Papier von 1956 wird zu Recht als der Ursprung dieses Fachgebiets angesehen.

Die Michael-Gerade

Seine andere berühmte Konstruktion ist ein Gegenbeispiel, und es ist eines der meistzitierten in der allgemeinen Topologie.

Topologen wollten schon lange, dass sich Eigenschaften bei Produkten gut verhalten — wenn zwei Räume gutartig sind, sollte ihr Produkt auch gutartig sein. Die Michael-Gerade zerstört diese Hoffnung für eine spezifische und wichtige Paarung. Es ist ein parakompakter Raum, dessen Produkt mit dem Raum der irrationalen Zahlen nicht einmal normal ist.

Gegenbeispiele dieser Qualität leisten in der Mathematik eine besondere Arbeit. Sie markieren die Grenze des Möglichen und bewahren alle Nachfolgenden davor, Jahre mit dem Versuch zu verschwenden, etwas Falsches zu beweisen. Michaels Name ist auch mit der Michael-Produkttopologie und Ergebnissen über abgeschlossene Unterräume verbunden, und er veröffentlichte über hundert Arbeiten zur allgemeinen Topologie in den Transactions, den Annals und Duke über Hyperräume von Teilmengen, Parakompaktheit, stetige Selektionen und das Verhalten normaler Räume.

Warum Ernest als Genie bezeichnet wird

Der stärkste Beweis ist die Beständigkeit einer spezifischen und ungewöhnlichen Art. Ein einziges Papier, das 1956 veröffentlicht wurde, erzeugte fünfzig Jahre später noch genug neue Mathematik, dass Topology and Its Applications dem Jubiläum eine Sonderausgabe widmete. Sehr wenige Ergebnisse erreichen das.

Die damit verbundene kognitive Qualität ist es wert, präzise benannt zu werden, denn es ist keine rohe Rechenleistung. Michaels Gabe war es, die exakten Hypothesen zu finden — die minimalen Bedingungen, unter denen eine wünschenswerte Sache wahr ist, gepaart mit den scharfen Beispielen, die zeigen, was passiert, sobald man sie lockert. Der Selektionssatz und die Michael-Gerade sind dasselbe Talent, das in entgegengesetzte Richtungen blickt: Der eine kartiert, wo der Boden fest ist, der andere markiert genau, wo er nachgibt. Mathematiker dieses Typs sind seltener als Problemlöser und nützlicher für die langfristige Gesundheit eines Fachgebiets, weil sie dessen Geographie definieren.

Das ehrliche Gegenargument ist, dass Michaels berühmtes Werk oberflächlich betrachtet eng begrenzt ist. Die allgemeine Topologie in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts war nicht der Schwerpunkt der Disziplin; seine größte Auszeichnung war die Aufnahme in die erste Klasse der Fellows der American Mathematical Society im Jahr 2012, eine große und kollektive Auszeichnung, die sechsundfünfzig Jahre nach dem Satz kam. Er gewann keinen Wolf-Preis, keinen Steele-Preis und keine Mitgliedschaft in einer nationalen Akademie, die in zugänglichen Quellen verzeichnet ist. Kein Kollege ist aktenkundig, der ihn als Genie bezeichnet hat. Ein Großteil des Ruhms seines Selektionssatzes wird von nachgelagerten Nutzern geliehen — Ökonomen und Regelungstechnikern, die ihn als Lemma zitieren, ohne sich überhaupt mit seiner Topologie zu befassen. Ein faires Urteil ist, dass Michael ein Mathematiker von außergewöhnlicher Präzision war, der einen Satz so exakt richtig fand, dass er die Mode seines eigenen Fachgebiets überlebte.

Vermächtnis

Michael ging 1993 in den Ruhestand und starb am 29. April 2013 im Alter von siebenundachtzig Jahren in Seattle.

Der Satz steht in jedem Lehrbuch für Fortgeschrittene über mengenwertige Analysis. Die Michael-Gerade steht in jedem Topologiekurs, der Produkte diskutiert. Beide werden die meiste Zeit gelehrt, ohne dass jemand erwähnt, dass ihr Autor ein jüdischer Junge war, der 1932 Berlin verließ, vor einer Invasion einen Ozean überquerte, im Pazifik diente und dann einundvierzig Jahre lang in einem Raum in Seattle saß und genau ausarbeitete, wann es möglich ist, gut zu wählen.