Wenn wir zu einer Gleichung gelangen, die auf jeder Seite denselben Term mit unterschiedlichen Koeffizienten enthält, müssen wir Gleiches von Gleichem subtrahieren, bis wir einen Term gleich einem anderen Term erhalten. Wenn es jedoch auf einer oder beiden Seiten negative Terme gibt, müssen die Fehlbeträge auf beiden Seiten addiert werden, bis alle Terme auf beiden Seiten positiv sind. Dann müssen wir Gleiches von Gleichem subtrahieren, bis auf jeder Seite nur noch ein Term übrig bleibt.
Diophantus von Alexandria war ein alexandrinischer Mathematiker, der der Autor einer Bücherreihe namens Arithmetica war, von der viele heute verloren sind. Seine Texte befassen sich mit dem Lösen algebraischer Gleichungen. Beim Lesen von Claude Gaspard Bachet de Méziriacs Ausgabe von Diophantus' Arithmetica kam Pierre de Fermat zu dem Ergebnis, dass eine bestimmte Gleichung, die Diophantus betrachtete, keine Lösungen hatte, und notierte am Rande ohne weitere Erklärung, dass er einen „wahrhaft wunderbaren Beweis dieses Satzes" gefunden hatte, der heute als Fermats letzter Satz bekannt ist. Dies führte zu enormen Fortschritten in der Zahlentheorie, und die Untersuchung diophantischer Gleichungen „diophantische Geometrie" und diophantischer Approximationen bleiben wichtige Bereiche der mathematischen Forschung. Diophantus prägte den Begriff παρισότης parisotes, um sich auf eine ungefähre Gleichheit zu beziehen. Dieser Begriff wurde im Lateinischen als adaequalitas wiedergegeben und wurde zur Technik der Angemessenheit, die Pierre de Fermat entwickelte, um Maxima für Funktionen und Tangenten an Kurven zu finden. Diophantus war der erste griechische Mathematiker, der Brüche als Zahlen erkannte; daher erlaubte er positive rationale Zahlen für die Koeffizienten und Lösungen. In der modernen Verwendung sind diophantische Gleichungen normalerweise algebraische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, für die ganzzahlige Lösungen gesucht werden.
Biographie
Über das Leben von Diophantus ist wenig bekannt. Er lebte in Alexandria, Ägypten, während der Römerzeit, wahrscheinlich zwischen 200 und 214 bis 284 oder 298 n. Chr. Diophantus wurde von Historikern unterschiedlich als Grieche, möglicherweise hellenisierter Ägypter oder hellenisierter Babylonier beschrieben. Viele dieser Identifikationen können aus einer Verwechslung mit dem Rhetor des 4. Jahrhunderts Diophantus dem Araber stammen. Viel von unserem Wissen über das Leben von Diophantus stammt aus einer griechischen Anthologie aus dem 5. Jahrhundert mit Zahlenspielen und Rätseln von Metrodorus. Eines der Probleme, das manchmal als sein Epitaph bezeichnet wird, besagt:
„Hier liegt Diophantus," das Wunder behold. Durch algebraische Kunst erzählt der Stein, wie alt: „Gott schenkte ihm die Kindheit ein Sechstel seines Lebens, Ein Zwölftel mehr als Jugend, während Schnurrbärte reichlich wuchsen; Und dann noch ein Siebtel, bevor die Ehe begann; In fünf Jahren kam ein munterer neuer Sohn. Ach, das teure Kind des Meisters und Weisen Nachdem er die halbe Lebensdauer seines Vaters erreicht hatte, nahm ihm das Schicksal. Nach Trost in seinem Schicksal durch die Wissenschaft der Zahlen vier Jahre lang, endete er sein Leben."
Dieses Rätsel impliziert, dass Diophantus' Alter x ausgedrückt werden kann als
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
was x einen Wert von 84 Jahren gibt. Die Genauigkeit der Information kann jedoch nicht unabhängig bestätigt werden.
In der Popkultur war dieses Rätsel das Rätsel Nr. 142 in Professor Layton und Pandoras Box, eines der schwierigsten Rätsel im Spiel, das durch das Lösen anderer Rätsel zuerst freigeschaltet werden musste.
Arithmetica
Arithmetica ist das Hauptwerk von Diophantus und das bedeutendste Werk zur Algebra in der griechischen Mathematik. Es ist eine Sammlung von Problemen, die numerische Lösungen von bestimmten und unbestimmten Gleichungen liefert. Von den ursprünglichen dreizehn Büchern, aus denen Arithmetica bestand, sind nur sechs erhalten geblieben, obwohl einige glauben, dass vier arabische Bücher, die 1968 entdeckt wurden, auch von Diophantus stammen. Einige diophantische Probleme aus Arithmetica wurden in arabischen Quellen gefunden.
Es sollte hier erwähnt werden, dass Diophantus nie allgemeine Methoden in seinen Lösungen verwendet hat. Hermann Hankel, ein renommierter deutscher Mathematiker, machte die folgende Bemerkung zu Diophantus.
„Bei unserem Autor Diophantos ist keine Spur einer allgemeinen, umfassenden Methode erkennbar; jedes Problem erfordert eine spezielle Methode, die nicht einmal bei den nächstverwandten Problemen funktioniert. Aus diesem Grund ist es für den modernen Gelehrten schwierig, das 101. Problem zu lösen, selbst nachdem er 100 der Lösungen von Diophantos studiert hat".
Geschichte
Wie viele andere griechische mathematische Abhandlungen wurde Diophantus während des sogenannten Mittelalters in Westeuropa vergessen, da das Studium des antiken Griechisch und die Alphabetisierung im Allgemeinen stark zurückgegangen waren. Der Teil der griechischen Arithmetica, der überleben blieb, wurde jedoch wie alle antiken griechischen Texte, die in die frühe Neuzeit übertragen wurden, von byzantinischen Gelehrten kopiert und war ihnen bekannt. Scholien zu Diophantus des byzantinischen griechischen Gelehrten John Chortasmenos 1370–1437 sind zusammen mit einem umfassenden Kommentar des früheren griechischen Gelehrten Maximos Planudes 1260–1305 erhalten, der eine Ausgabe von Diophantus in der Bibliothek des Chora-Klosters im byzantinischen Konstantinopel erstellte. Darüber hinaus überlebte wahrscheinlich ein Teil der Arithmetica in der arabischen Tradition (siehe oben). 1463 schrieb der deutsche Mathematiker Regiomontanus:
Niemand hat bisher die dreizehn Bücher des Diophantus aus dem Griechischen ins Lateinische übersetzt, in denen die ganze Blüte der Arithmetik verborgen liegt . . . .
Arithmetica wurde erstmals 1570 von Bombelli aus dem Griechischen ins Lateinische übersetzt, aber die Übersetzung wurde nie veröffentlicht. Bombelli entlehnte jedoch viele der Probleme für sein eigenes Buch Algebra. Die editio princeps von Arithmetica wurde 1575 von Xylander veröffentlicht. Die bekannteste lateinische Übersetzung von Arithmetica wurde 1621 von Bachet angefertigt und wurde die erste lateinische Ausgabe, die weit verbreitet war. Pierre de Fermat besaß ein Exemplar, studierte es und schrieb Anmerkungen in die Ränder.
Randnotizen von Fermat und Chortasmenos
Die Ausgabe von Arithmetica von Bachet von 1621 erlangte Ruhm, nachdem Pierre de Fermat seinen berühmten „Letzten Satz" in den Rand seines Exemplars schrieb:
Wenn eine ganze Zahl n größer als 2 ist, dann hat an + bn = cn keine Lösungen in von Null verschiedenen ganzen Zahlen a, b und c. Ich habe einen wahrhaft wunderbaren Beweis dieses Satzes, aber dieser Rand ist zu schmal, um ihn zu enthalten.
Fermats Beweis wurde nie gefunden, und das Problem, einen Beweis für den Satz zu finden, blieb Jahrhunderte lang ungelöst. Ein Beweis wurde schließlich 1994 von Andrew Wiles gefunden, nachdem er sieben Jahre daran gearbeitet hatte. Es wird angenommen, dass Fermat nicht tatsächlich den Beweis hatte, den er zu haben behauptete. Obwohl das ursprüngliche Exemplar, in das Fermat dies schrieb, heute verloren ist, bearbeitete Fermats Sohn die nächste Ausgabe von Diophantus, die 1670 veröffentlicht wurde. Obwohl der Text ansonsten schlechter als die Ausgabe von 1621 ist, wurden Fermats Anmerkungen – einschließlich des „Letzten Satzes" – in dieser Version gedruckt.
Fermat war nicht der erste Mathematiker, der sich dazu bewogen fühlte, in seine eigenen Randnoten zu Diophantus zu schreiben; der byzantinische Gelehrte John Chortasmenos 1370–1437 hatte neben dem gleichen Problem geschrieben: „Deine Seele, Diophantus, sei bei Satan wegen der Schwierigkeit deiner anderen Theoreme und besonders des gegenwärtigen Theorems".
Andere Werke
Diophantus schrieb neben Arithmetica mehrere andere Bücher, aber sehr wenige davon haben überlebt.
Die Porismen
Diophantus selbst bezieht sich auf ein Werk, das aus einer Sammlung von Lemmas namens The Porisms oder Porismata besteht, aber dieses Buch ist völlig verloren.
Obwohl The Porisms verloren ist, kennen wir drei darin enthaltene Lemmas, da Diophantus in der Arithmetica darauf verweist. Ein Lemma besagt, dass die Differenz der Kuben von zwei rationalen Zahlen gleich der Summe der Kuben von zwei anderen rationalen Zahlen ist, d. h. gegeben sind beliebige a und b, mit a > b, es gibt c und d, alle positive und rational, so dass
a³ − b³ = c³ + d³.
Polygonale Zahlen und geometrische Elemente
Es ist auch bekannt, dass Diophantus über polygonale Zahlen schrieb, ein Thema von großem Interesse für Pythagoras und die Pythagoräer. Fragmente eines Buches über polygonale Zahlen sind erhalten.
Ein Buch namens Preliminaries to the Geometric Elements wurde traditionell Hero von Alexandria zugeschrieben. Es wurde kürzlich von Wilbur Knorr untersucht, der vorschlug, dass die Zuschreibung zu Hero falsch ist, und dass der wahre Autor Diophantus ist.
Einfluss
Die Arbeit von Diophantus hat eine große Auswirkung in der Geschichte. Ausgaben von Arithmetica übten einen großen Einfluss auf die Entwicklung der Algebra in Europa in der späten Sechzehner und durch die 17. und 18. Jahrhunderte aus. Diophantus und seine Werke beeinflussten auch die arabische Mathematik und waren von großer Berühmtheit unter arabischen Mathematikern. Die Arbeit von Diophantus schuf eine Grundlage für die Arbeit an der Algebra, und tatsächlich basiert viel der fortgeschrittenen Mathematik auf Algebra. Wie sehr er Indien beeinflusst hat, ist eine Frage der Debatte.
Diophantus wird oft „der Vater der Algebra" genannt, weil er großartig zur Zahlentheorie und mathematischen Notation beitrug und weil Arithmetica die früheste bekannte Verwendung von synkopierter Notation enthält.
Diophantische Analyse
Heute ist die diophantische Analyse das Studiengebiet, in dem ganzzahlige Lösungen für Gleichungen gesucht werden, und diophantische Gleichungen sind Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, für die nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden. Es ist normalerweise ziemlich schwierig zu sagen, ob eine gegebene diophantische Gleichung lösbar ist. Die meisten Probleme in Arithmetica führen zu quadratischen Gleichungen. Diophantus betrachtete 3 verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen: ax² + bx = c, ax² = bx + c und ax² + c = bx. Der Grund, warum es für Diophantus drei Fälle gab, während wir heute nur einen Fall haben, ist, dass er keinen Begriff für Null hatte und negative Koeffizienten vermied, indem er die gegebenen Zahlen a, b, c in jedem der drei oben genannten Fälle alle als positiv betrachtete. Diophantus war immer mit einer rationalen Lösung zufrieden und verlangte keine ganze Zahl, was bedeutet, dass er Brüche als Lösungen seiner Probleme akzeptierte. Diophantus betrachtete negative oder irrationale Quadratwurzellösungen als „nutzlos", „bedeutungslos" und sogar „absurd". Um ein spezifisches Beispiel zu geben, nennt er die Gleichung 4 = 4x + 20 „absurd", weil sie zu einem negativen Wert für x führen würde. Eine Lösung war alles, was er in einer quadratischen Gleichung suchte. Es gibt keinen Hinweis darauf, dass Diophantus überhaupt realisierte, dass es zwei Lösungen für eine quadratische Gleichung geben könnte. Er betrachtete auch gleichzeitige quadratische Gleichungen.
Mathematische Notation
Diophantus machte wichtige Fortschritte in der mathematischen Notation und war die erste bekannte Person, die algebraische Notation und Symbolik verwendet. Vor ihm schrieb jeder Gleichungen vollständig aus. Diophantus führte eine algebraische Symbolik ein, die eine gekürzte Notation für häufig auftretende Operationen und eine Abkürzung für die Unbekannte und für die Potenzen der Unbekannten verwendete. Der Mathematikhistoriker Kurt Vogel erklärt:
Die Symbolik, die Diophantus zum ersten Mal einführte und zweifellos selbst erfand, bot ein kurzes und leicht verständliches Mittel, um eine Gleichung auszudrücken... Da eine Abkürzung auch für das Wort „gleich" verwendet wird, unternahm Diophantus einen grundlegenden Schritt von der verbalen Algebra zur symbolischen Algebra.
Obwohl Diophantus wichtige Fortschritte in der Symbolik machte, fehlte ihm immer noch die erforderliche Notation, um allgemeinere Methoden auszudrücken. Dies führte dazu, dass sich seine Arbeit mehr mit bestimmten Problemen als mit allgemeinen Situationen befasste. Einige der Einschränkungen von Diophantus' Notation sind, dass er nur Notation für eine Unbekannte hatte, und wenn Probleme mehr als eine Unbekannte betrafen, war Diophantus gezwungen, „erste Unbekannte", „zweite Unbekannte" usw. in Worten auszudrücken. Er fehlte auch ein Symbol für eine allgemeine Zahl n. Wo wir 12 + 6n/n² − 3 schreiben würden, muss Diophantus auf Konstruktionen wie folgt zurückgreifen: „... eine sechsfache Zahl vermehrt um zwölf, die durch die Differenz dividiert wird, um die das Quadrat der Zahl drei übersteigt".
Die Algebra musste noch einen langen Weg gehen, bevor sehr allgemeine Probleme prägnant aufgeschrieben und gelöst werden konnten.
