Arieh Iserles: Computer dazu bringen, die Geometrie zu respektieren

Ein Planet, der einen Stern umkreist, erhält seine Energie genau und für immer bei sich. Simuliert man diese Umlaufbahn auf einem Computer mit einer Standard-Numerikmethode, so driftet die Energie davon – der Planet spiralt langsam in die Sonne oder hinaus in die Dunkelheit, nicht weil die Physik es so will, sondern weil die Arithmetik leckt. Arieh Iserles gehört zu der Gruppe von Mathematikern, die dies für inakzeptabel hielten und sich daran machten, Algorithmen zu entwickeln, die den Gesetzen gehorchen, welche ihre Gleichungen kodieren.

Von Jerusalem an den Cam

Iserles wurde am 2. September 1947 geboren und studierte an der Hebräischen Universität Jerusalem und der Ben-Gurion-Universität des Negev. Seine Doktorarbeit befasste sich mit numerischen Methoden für steife gewöhnliche Differentialgleichungen – ein Thema, das schmal klingt und alles andere als das ist.

Steifheit ist die Pathologie, die immer dann auftritt, wenn ein System Prozesse enthält, die auf völlig unterschiedlichen Zeitschalen ablaufen: eine chemische Reaktion, bei der ein Schritt Mikrosekunden und ein anderer Stunden dauert. Naive numerische Methoden sind gezwungen, im Schneckentempo des schnellsten Prozesses zu kriechen, selbst wenn dort nichts Interessantes passiert, und die Berechnung wird unbezahlbar. Die korrekte Lösung der Steifheit war eines der zentralen praktischen Probleme des wissenschaftlichen Rechnens im zwanzigsten Jahrhundert und ein gutes Übungsfeld für jemanden, der seine Karriere dem Missverhältnis zwischen kontinuierlicher Mathematik und diskreten Maschinen widmen wird.

Cambridge, mit einem Umweg

Er kam 1978 als Junior Research Fellow an das King's College nach Cambridge, wurde dort 1982 Senior Research Fellow und verbrachte die Jahre 1986–1987 als Associate Professor an der University of Arizona. Dann kehrte er zurück und blieb.

Er war von 1987 bis 1995 University Lecturer in Cambridge, von 1995 bis 1999 Reader für Numerische Analysis und ist seit 1999 Professor für Numerische Analysis von Differentialgleichungen am Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics (DAMTP), dem Institut, an dem Dirac und Hawking wirkten. Von 2010 bis 2015 leitete er das Cambridge Centre for Analysis.

Geometrische Integration

Die zentrale Idee von Iserles' Forschungsleben ist, dass eine Differentialgleichung eine Struktur in sich trägt und eine gute numerische Methode diese bewahren sollte.

Einige Systeme erhalten Energie. Einige erhalten das Volumen im Phasenraum. Einige entwickeln sich auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit – zum Beispiel ein rotierender starrer Körper, dessen Zustand auf der Drehgruppe lebt und sie niemals verlassen kann, egal wie lange man wartet. Herkömmliche numerische Methoden wissen davon nichts. Sie approximieren den nächsten Schritt und akzeptieren einen kleinen Fehler, und über eine lange Simulation hinweg summieren sich diese kleinen Fehler zu qualitativem Unsinn: Die Rotationsmatrix hört auf, eine Rotation zu sein, die Energie driftet, die Umlaufbahn ist auf eine Weise falsch, die durch keine noch so große Extrapraezision behoben wird.

Die geometrische numerische Integration greift dies an, indem sie Methoden entwirft, welche die Invarianten exakt respektieren – symplektische Integratoren für Hamiltonsche Systeme, volumerhaltende Methoden und Schemata, die so aufgebaut sind, dass ein System, das auf einer Lie-Gruppe lebt, auch dort bleibt. Iserles' eigene Beiträge gruppieren sich um die Maschinerie hierfür: Approximationen der Matrixexponentialfunktion, insbesondere Methoden, die eine Lie-Algebra korrekt auf ihre Lie-Gruppe abbilden, sowie die Analyse isospektraler Flüsse und von Lie-Poisson-Strukturen.

Oszillation, der andere harte Fall

Sein zweites großes Gebiet sind hochoszillatorische Phänomene – Probleme, bei denen die Lösung sehr schnell wackelt.

Dies ist ein echter Albtraum für die Standard-Numerik, und zwar aus einem unintuitiven Grund. Gewöhnliche Quadratur funktioniert durch Abtastung; wenn die Funktion schneller oszilliert, als man abtastet, erfährt man nichts, und die klassische Reaktion besteht darin, schneller abtasten, was umso teurer wird, je schlimmer das Problem wird. Iserles arbeitete an effektiven Diskretisierungsmethoden für hochoszillatorische Integrale – eine Familie von Techniken, bei denen die hohe Oszillation bemerkenswerterweise von einem Hindernis in einen Vorteil verwandelt werden kann, wobei sich die Genauigkeit mit steigender Frequenz verbessert, anstatt einzustürzen. Er dehnte den Ansatz auf Differentialgleichungen und auf Operatorenspektren aus und entwickelte exponentielle Integratoren für Gleichungen mit mehreren interagierenden Oszillationsskalen.

Sein gesamtes Forschungsspektrum umfasst gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, Approximationstheorie, orthogonale Polynome, Funktionalgleichungen und Computer-Dynamik.

Der Wächter

Iserles war ungewöhnlich zentral in den Institutionen seines Fachgebiets verankert. Er ist geschäftsführender Herausgeber von Acta Numerica, dem jährlichen Übersichtsband, der im Wesentlichen die Standortbestimmung des Fachgebiets darstellt, und Chefredakteur des IMA Journal of Numerical Analysis, neben Vorstandspositionen an anderen Orten. Von 1997 bis 2000 saß er dem Vorstand der Society for Foundations of Computational Mathematics vor.

Und er schrieb A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, veröffentlicht bei der Cambridge University Press und inzwischen in zweiter Auflage – für sehr viele Doktoranden weltweit das Buch, das ihnen das Fach beigebracht hat.

Warum Arieh ein Genie genannt wird

Die zur Schau gestellte intellektuelle Qualität ist eine spezifische Art der Umkehrung: Wiederholt wird die Eigenschaft, die ein Problem schwierig macht, in jene Eigenschaft verwandelt, die die Lösung funktionieren lässt. Der klarste Fall ist die hochoszillatorische Integration, bei der die Standardformulierung schnelle Oszillationen als den Feind behandelt, den man abtasten muss, während die Methoden, an denen Iserles arbeitete, besser werden, je stärker die Oszillation zunimmt. Die geometrische Integration beinhaltet denselben Schritt auf einer höheren Ebene: Man hört auf, eine Differentialgleichung als eine zu approximierende Formel zu behandeln, und beginnt, sie als geometrisches Objekt zu betrachten, dessen Struktur es zu bewahren gilt. Solche Umdeutungen sind seltener und schwieriger als technische Virtuosität, und sie verändern das, was eine ganze Gemeinschaft zu tun glaubt.

Die Anerkennung, ehrlich abgewogen, ist beträchtlich, aber stark auf Dienst am Fach ausgerichtet. Die Onsager-Medaille folgte 1999. Die David-Crighton-Medaille kam 2012 hinzu, explizit verliehen „für Verdienste um die Mathematik und die mathematische Gemeinschaft“. Der SIAM Prize for Distinguished Service to the Profession wurde 2014 verliehen. Zwei dieser drei Auszeichnungen betreffen laut ihren eigenen Begründungen eher den Dienst als die Entdeckung.

Das Gegenargument ist also berechtigt. Kein Theorem trägt den Namen Iserles auf die Art und Weise, wie dies bei einer Runge-Kutta- oder einer Newton-Methode der Fall ist. Die geometrische Integration wurde von einer Gemeinschaft aufgebaut – Hairer, Lubich, Wanner, Marsden, McLachlan und andere neben ihm –, und er ist ein wichtiger Mitwirkender, nicht ihr alleiniger Autor. Sein größter messbarer Einfluss mag redaktioneller und pädagogischer Natur sein: die Leitung von Acta Numerica, die Leitung des IMA Journals, das Schreiben des Standard-Einführungskurses. Keine zugängliche Quelle verzeichnet, dass ihn jemand als Genie bezeichnet. Er ist ein herausragender angewandter Mathematiker und ein außergewöhnlicher Institutionenbauer, und die zweite Hälfte dieses Satzes leistet mehr Arbeit, als Bewunderer üblicherweise zugeben.

Vermächtnis

Iserles bleibt am DAMTP, in dem Institut, an dem er seit 1987 arbeitet.

Das Programm, das voranzutreiben er mitgeholfen hat, hat im Stillen gewonnen. Symplektische und strukturerhaltende Integratoren sind heute Standard in der Molekulardynamik, Himmelsmechanik, Plasmaphysik und im Beschleunigerbau – überall dort, wo eine Simulation sehr lange laufen und am Ende immer noch glaubwürdig sein muss. Die dahinterstehende Erkenntnis ist ebenso philosophisch wie technisch: Eine numerische Methode ist kein neutrales Instrument zur Annäherung an eine Gleichung. Sie ist ein eigenes kleines dynamisches System, und wenn man es unachtsam baut, erzählt es einem eine Geschichte über ein Universum, das nicht existiert.