Das Monty-Hall-Problem: Das Drei-Türen-Rätsel, das 10.000 Briefe einbrachte

Die Regeln, die das Wechseln richtig machen

Das Rätsel ist kurz. Ein Auto steht hinter einer von drei Türen und Ziegen hinter den anderen beiden. Sie wählen eine Tür. Der Moderator, der weiß, wo das Auto steht, öffnet eine der Türen, die Sie nicht gewählt haben, und zeigt eine Ziege. Dann bietet er Ihnen die Möglichkeit, zur letzten geschlossenen Tür zu wechseln. Sollten Sie das tun?

Die Antwort hängt von drei Regeln ab, und die Standardversion legt alle fest:

• Das Auto wurde zufällig platziert, also startet jede Tür mit einer Chance von 1 zu 3.
• Der Moderator öffnet immer eine Tür, die Sie nicht gewählt haben, und sie verbirgt immer eine Ziege.
• Der Moderator bietet immer den Wechsel an, egal was Sie gewählt haben.

Unter diesen Regeln verdoppelt das Wechseln Ihre Gewinnchancen von einem Drittel auf zwei Drittel. Ändern Sie eine Regel, kann sich die Antwort mit ihr ändern. Deshalb füllt das Problem auch mehr als 30 Jahre nachdem es die Öffentlichkeit erreichte noch immer Fachzeitschriften.

Die Kolumne, die 10.000 Briefe einbrachte

Die Frage erreichte Marilyn vos Savant von einem Leser, Craig F. Whitaker, und erschien in ihrer "Fragen Sie Marilyn"-Kolumne in Parade am 9. September 1990. Sie antwortete, dass der Kandidat wechseln sollte. Die Leser revoltierten.

Ihrer Schätzung nach erhielt das Magazin etwa 10.000 Briefe, und fast 1.000 davon trugen Unterschriften mit Doktortiteln, laut John Tierneys Bericht auf der Titelseite in The New York Times am 21. Juli 1991. Die meisten bestanden darauf, dass sie falsch lag. "Sie liegen völlig falsch", schrieb E. Ray Bobo, Professor für Mathematik an der Georgetown University. Die Zahl von fast 1.000 Doktortiteln ist ihre eigene, keine geprüfte Zählung, und sollte so zitiert werden.

Tierney trug das Problem Monty Hall vor, dem Moderator von Let's Make a Deal. An seinem Esstisch spielte Hall zehn Runden, in denen der Kandidat nie wechselte: vier Autos, sechs Ziegen. Dann zehn Runden mit Wechseln: acht Autos, zwei Ziegen. "Also ist ihre Antwort richtig: Sie sollten wechseln", sagte Hall.

Das Rätsel war nicht neu. Steve Selvin, ein Statistiker, stellte es in einem Brief von 1975 an The American Statistician und gab ihm Halls Namen. Martin Gardner hatte ein gleichwertiges Rätsel, das Drei-Gefangenen-Problem, in Scientific American im Jahr 1959 veröffentlicht. Paul Erdős, einer der produktivsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, war angeblich erst überzeugt, als ein Kollege ihm eine Computersimulation zeigte.

Die Mathematik, Fall für Fall

Nehmen wir an, Sie wählen Tür 1. Es ist gleich wahrscheinlich, dass das Auto hinter jeder der drei Türen steht. Listen Sie die Fälle auf und die Antwort ergibt sich daraus.

Das Schlüsselwort ist „erzwungen“. In zwei von drei Fällen hat der Moderator keine Wahl: Eine seiner Türen verbirgt das Auto, also muss er die andere öffnen. Seine Handlung verrät Ihnen zwei von drei Malen, wo das Auto ist. Bleiben ignoriert diese Information. Wechseln nutzt sie.

Die Bayes-Regel liefert das gleiche Ergebnis. Angenommen, der Moderator öffnet Tür 3. Wenn das Auto hinter Tür 1 steht, öffnet er Tür 3 die Hälfte der Zeit. Wenn es hinter Tür 2 steht, öffnet er Tür 3 jedes Mal. Die Gewichtungen sind 1/3 x 1/2 gegen 1/3 x 1, also 1 zu 2. Tür 2 hält nun zwei Drittel der Wahrscheinlichkeit.

Wir haben es eine Million Mal gespielt

Argumente überzeugen nur wenige Menschen. Zählen überzeugt mehr. Wir haben eine kurze Python-Simulation geschrieben, die das Auto zufällig platziert, eine Tür zufällig auswählt und einen Moderator die Standardregeln befolgen lässt. Fester Zufallswert, 1.000.000 Spiele pro Strategie.

Die letzte Zeile ist am wichtigsten. Wenn der Moderator nicht weiß, wo das Auto ist, und nur zufällig eine Ziege enthüllt, verschwindet der Vorteil. Der Zwei-Drittel-Vorteil kommt von seinem Wissen, nicht von den Türen.

Warum kluge Leute es falsch verstehen

Der übliche Fehler besteht darin, zwei geschlossene Türen zu sehen und jeder eine 50-prozentige Chance zuzuweisen. Diese Argumentation behandelt die Wahl des Moderators als zufällig. Das ist sie nicht. Ihm ist es untersagt, Ihre Tür zu öffnen und das Auto zu zeigen, daher enthält seine Bewegung Informationen über die anderen Türen und keine über Ihre.

Der Statistiker Persi Diaconis sagte dem Times im Jahr 1991: „Unsere Gehirne sind einfach nicht dafür verdrahtet, Wahrscheinlichkeitsprobleme sehr gut zu lösen, daher bin ich nicht überrascht, dass es Fehler gab.“

Das sauberste Heilmittel ist die Vergrößerung des Maßstabs. Stellen Sie sich 100 Türen vor. Sie wählen eine. Der Moderator, der alles weiß, öffnet 98 andere und zeigt 98 Ziegen, wobei er nur eine Tür auslässt. Nur wenige Leute würden bei ihrer ersten Wahl von 1 zu 100 bleiben. Das Drei-Türen-Spiel folgt der gleichen Logik mit kleineren Zahlen.

Wahrscheinlichkeitsrätsel dieser Art stehen den Argumentationsaufgaben in Intelligenztests nahe, was ein Grund dafür ist, dass sie in Sammlungen von IQ-Testfragen und -antworten. Sie belohnen langsames, explizites Zählen gegenüber einer schnellen Vermutung, dieselbe Gewohnheit, die Einsteins Rätsel.

Die Regeln des Moderators entscheiden alles

Monty Hall selbst erhob den schärfsten Einwand. In der echten Show, sagte er zu Tierney, musste er keinen Wechsel anbieten, und er konnte die Kandidaten mit Bargeld locken, ihre Tür zu behalten. Ein Moderator, der den Tausch nur anbietet, wenn Sie bereits das Auto haben, verwandelt das Wechseln in einen garantierten Verlust. „Mein einziger Rat ist, wenn Sie mich dazu bringen können, Ihnen 5.000 $ dafür zu bieten, die Tür nicht zu öffnen, nehmen Sie das Geld und gehen Sie nach Hause“, sagte er.

Statistiker streiten seitdem über die Formulierung. Ein Papier von J. P. Morgan und Kollegen aus dem Jahr 1991 im The American Statistician zeigte, dass, wenn der Moderator eine Präferenz zwischen zwei Ziegeltüren hat, die Gewinnchancen nach dem Öffnen einer bestimmten Tür von der Hälfte bis zur Gewissheit reichen können. Vos Savants Antwort gilt für die Standardregeln, was die Art und Weise ist, wie fast jedes Lehrbuch das Problem jetzt darstellt. Behandeln Sie das Rätsel als Lektion in Modellierung: Bevor Sie eine Wahrscheinlichkeit berechnen, schreiben Sie genau auf, wie die Information erzeugt wurde. Diese Fähigkeit untermauert auch die Spieltheorie.

Zehn Übungsvarianten mit ausgearbeiteten Antworten

Jeder Punkt unten ist unsere eigene Variante. Gehen Sie von den Standardregeln aus, es sei denn, der Punkt ändert sie. Wir haben jede numerische Antwort durch Simulation oder exaktes Zählen überprüft.

1. Das Original. Drei Türen, ein Moderator, der Bescheid weiß und immer eine Ziege zeigt. Bleiben oder wechseln?
   Antwort: Wechseln, 2/3 gegen 1/3. Ihre Tür gewinnt nur, wenn Ihre erste Vermutung richtig war, ein 1-zu-3-Ereignis.
2. Vier Türen. Ein Auto, drei Ziegen. Der Moderator öffnet eine Ziegeltür und lässt Sie zu einer der beiden anderen geschlossenen Türen wechseln. Wie hoch ist die Chance für eine von ihnen?
   Antwort: 3/8 jeweils, gegen 1/4 fürs Bleiben. Die 3/4-Chance, dass das Auto anderswo ist, verteilt sich gleichmäßig auf zwei Türen.
3. Hundert Türen. Der Moderator öffnet 98 Ziegeltüren. Wechseln?
   Antwort: Ja. Wechseln gewinnt 99 Mal von 100; wir haben 99,02 Prozent gemessen.
4. Der unwissende Moderator. Der Moderator öffnet zufällig eine Ihrer beiden nicht gewählten Türen, und es zeigt sich zufällig eine Ziege. Sollten Sie wechseln?
   Antwort: Es spielt keine Rolle: 1/2 jeweils. Eine Ziege erscheint jedes Mal, wenn Sie das Auto haben, aber nur die Hälfte der Zeit, wenn Sie es nicht haben, was die 1-zu-2-Voraussetzung aufhebt.
5. Der Moderator mit einer Lieblingstür. Sie wählen Tür 1. Wann immer er kann, öffnet der Moderator Tür 2. Diesmal öffnet er Tür 3. Wechseln?
   Antwort: Wechseln und mit Sicherheit gewinnen. Er hat seinen Favoriten übersprungen, also muss Tür 2 das Auto verbergen. Hätte er Tür 2 geöffnet, lägen die Chancen bei 1/2.
6. Der hämische Moderator. Er bietet einen Wechsel nur dann an, wenn Ihre erste Wahl das Auto ist. Er bietet an. Was jetzt?
   Antwort: Bleiben. Das Angebot selbst beweist, dass Sie das Auto haben.
7. Zwei Autos, zwei Ziegen. Vier Türen. Der Moderator öffnet eine Ziegeltür unter den drei, die Sie nicht gewählt haben, und Sie wechseln zufällig zu einer der verbleibenden zwei.
   Antwort: Wechseln gewinnt 3/4; Bleiben gewinnt 1/2. Wenn Sie mit einer Ziege begannen, verbergen beide verbleibenden Türen Autos.
8. Die drei Gefangenen. Einer von drei Gefangenen, A, B oder C, wird zufällig begnadigt. Der Gefängniswärter sagt A wahrheitsgemäß, dass B hingerichtet wird. Wie groß ist jetzt die Chance von A und die von C?
   Antwort: A bleibt bei 1/3; C steigt auf 2/3. Der Wärter könnte A niemals nennen, also erfährt A nichts über sein eigenes Schicksal.
9. Bertrands Box (1889). Drei Schachteln enthalten zwei Goldmünzen, zwei Silbermünzen und eine von jeder. Sie ziehen eine Goldmünze aus einer zufälligen Schachtel. Wie groß ist die Chance, dass die andere Münze in dieser Schachtel Gold ist?
   Antwort: 2/3, nicht 1/2. Es gibt drei Goldmünzen, die Sie hätten ziehen können, und zwei davon liegen in der Gold-Gold-Box. Unsere Simulation ergab 66,6 Prozent.
10. Die Koffer-Show. Sechsundzwanzig versiegelte Koffer, ein Hauptpreis. Sie behalten einen Koffer und öffnen selbst 24 andere, zufällig, und keiner enthält den Hauptpreis. Sollten Sie gegen den letzten Koffer tauschen?
    Antwort: 1/2 in jedem Fall. Niemand mit Wissen lenkte die Öffnungen, also ist dies das Spiel des ignoranten Gastgebers, nicht Monty Hall.

Übung schafft Vertrautheit mit einem Format. Es erhöht nicht die Intelligenz. Unser kostenloser IQ-Test ist ein Übungsscreening, keine klinische Messung.

Marilyn vos Savant und die Zahl 228

Ein Teil der Wut im Jahr 1990 kam von der Abrechnung der Kolumnistin. Guinness führte vos Savant von 1985 bis 1989 unter "Höchster IQ" und zitierte ein Kindheitsergebnis von 228. Ihrer Aussage nach machte sie den 1937 Stanford-Binet im September 1956 im Alter von 10 Jahren, und ihr geistiges Alter wurde auf 22 Jahre und 10 Monate gemessen. Geistiges Alter geteilt durch das tatsächliche Alter, mal 100, ergibt 228.

Das ist ein Verhältnis-IQ, eine alte Formel, die an den Extremen aufbläht. Moderne Tests verwenden Abweichungs-IQ, mit einem Mittelwert von 100 und einer Standardabweichung von 15, und hören bei etwa 160 auf. Unsere Seite über einen IQ von 228 zeigt, warum die Zahl auf heutigen Skalen nicht existieren kann, und Guinness zog die Kategorie 1990 zurück. Unser Profil von Marilyn vos Savants IQ deckt den Rekord vollständig ab.

Die Monty-Hall-Episode ist ein besseres Werbemittel für ihr Denken als jede Zahl. Sie vertrat eine korrekte Position gegen Tausende von Einwänden, viele davon von akkreditierten Experten unterschrieben. Wie Ergebnisse aufgebaut sind und was sie bedeuten, erfahren Sie in unseren IQ-Ratgebern und was als hoher IQ gilt.

Redaktioneller Standard: IQ-Zahlen für historische Persönlichkeiten sind retrospektive Schätzungen und werden als solche gekennzeichnet; Ergebnisse für lebende Personen erscheinen nur, wenn die Person sie offengelegt hat oder ein seriöses Medium darüber berichtet hat. Korrekturen: Kontaktieren Sie die Redakteure.