مكسيم كونتسيفيتش: عالم الرياضيات الذي جعل الفيزياء صارمة

في عام 1990، جلس باحث سوفيتي يبلغ من العمر 25 عامًا ولا يحمل شهادة جامعية في قاعة محاضرات في بون واستمع إلى مايكل عطية (Michael Atiyah) — "عالم رياضيات بريطاني بارز تحدث عن أشياء رائعة"، كما وصفه لاحقًا — وهو يصف حدسية مذهلة لإدوارد ويتن (Edward Witten) حول هندسة المنحنيات. في غضون أيام، وأثناء رحلة بالقارب في نهر الراين، كان كونتسيفيتش يشرح لزملائه كيف ينوي إثباتها. تمت دعوته للعودة إلى بون لمدة عام كامل. وبعد عامين، كان هذا الإثبات هو أطروحته للدكتوراه.

خيمكي، اللغة الكورية، وأولمبياد الرياضيات

وُلد في 25 أغسطس 1964 في خيمكي، خارج موسكو مباشرة، لعائلة ذات تعليم دقيق. كان والده، ليف رافايلوفيتش كونتسيفيتش (Lev Rafailovich Kontsevich)، خبيرًا رائدًا في اللغة الكورية في معهد الدراسات الشرقية التابع لأكاديمية العلوم الروسية ومؤلف نظام كونتسيفيتش، الذي لا يزال الطريقة القياسية لتحويل الكورية إلى الأبجدية السيريلية. كانت والدته مهندسة، وشقيقه الأكبر ليونيد (Leonid) اتجه إلى أبحاث التصوير الحاسوبي في سان فرانسيسكو. يعزو كونتسيفيتش الفضل إلى شقيقه و"بعض الكتب الجيدة جدًا" في توجيهه نحو الرياضيات والفيزياء.

أدت الكتب عملها في وقت مبكر. في سن السادسة عشرة، حصل على المركز الثاني في أولمبياد الرياضيات الوطني، مما أكسبه القبول في جامعة موسكو الحكومية دون امتحانات دخول. درس هناك من 1980 إلى 1985 تحت إشراف هيئة تدريس هائلة، وقبل كل شيء إسرائيل جلفاند (Israil Gelfand). كان ينشر أبحاثه في سن التاسعة عشرة: "نمو جبر لي الناتج عن حقلين متجهين عامين" مع أ. أ. كيريلوف (A. A. Kirillov) في عام 1983، تليها "جبر النمو الوسيط" مع كيريلوف وأ. آي. موليف (A. I. Molev).

الطالب الذي غادر

في عام 1985، غادر جامعة موسكو الحكومية دون الحصول على شهادة وانضم إلى معهد مشاكل نقل المعلومات في أكاديمية العلوم، ونشر أبحاثًا عن جبر فيراسورو (Virasoro algebra) والهياكل ذات الصلة حتى عام 1988. يجدر التوقف عند هذا: الرجل الذي سيفوز بميدالية فيلدز قضى أوائل عشرينياته كباحث بدون شهادة في معهد سوفيتي لنظرية المعلومات. زار معهد الدراسات العليا العلمية (IHES) لأول مرة في عام 1988 ولم ينسه أبدًا.

أربع مشكلات

كانت أطروحة بون، التي قُدمت في عام 1992 تحت إشراف دون زاغيه (Don Zagier)، بعنوان "نظرية التقاطع في فضاء النماذج للمنحنيات ودالة آيري المصفوفية". لقد أثبتت حدسية ويتن: أن أعداد التقاطع للفئات المستقرة على فضاءات النماذج المدمجة للمنحنيات الجبرية تخضع لتسلسل كورتفيغ-دي فريس (Korteweg–de Vries) القابل للتكامل - وهو بيان يربط هندسة أسطح ريمان برياضيات أمواج المياه الضحلة، وهو أمر لم يكن من المنطقي أن يكون صحيحًا. لاحظ المراجع كليفورد هنري توبس (Clifford Henry Taubes) أن "العديد من الخطوات في هذا الإثبات تظهر موهبة كونتسيفيتش الفريدة في الحسابات التوافقية."

ثم فعل ذلك ثلاث مرات أخرى في غضون خمس سنوات. قدم ورقته البحثية عام 1993 حول متثابتات فاسيليف (Vassiliev) للعقد ما يُعرف الآن بتكامل كونتسيفيتش، وهو متثابت عالمي للعقد والروابط؛ وكتب المراجع جوان بيرمان (Joan Birman) أنه "ألقى نظرة جديدة وأصلية للغاية" على الموضوع وجعل نظرية معقدة "تبدو طبيعية وواضحة". أثبت أن كل متشعب بويسون (Poisson manifold) يقبل تشوه تكميم رسمي، وقدم صيغًا صريحة في الحالة المسطحة وحل مسألة أساسية في الفيزياء الرياضية. مع يوري مانين (Yuri Manin)، كتب "فئات غروموف-ويتِن، التماثل الكمي، والهندسة التعدادية" في عام 1994، وقدم فضاء النماذج للخرائط المستقرة التي جعلت العد الصارم للمنحنيات ممكنًا - وهي الآلية الكامنة وراء النظريات حول المنحنيات العقلانية في متشعبات كالابي-ياو ثلاثية الطيات التي أثبتت أنها حاسمة للتناظر المرآتي. كما كتب "الهندسة التماثلية التبادلية (غير) الرسمية"، ولاحقًا مع أليكسي بيلوف-كانيل (Alexei Belov-Kanel)، أثبت تكافؤ حدسيتي ديكسمير (Dixmier) وجاكوبي.

التناظر المرآتي كنظرية فئات

في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات عام 1994 في زيورخ، اقترح الفكرة التي تحمل طابعه الآن أكثر من أي فكرة أخرى: التناظر المرآتي التماثلي. لاحظ منظرو الأوتار أن متشعبات كالابي-ياو تأتي في أزواج مرآتية تبدو هياكلها المعقدة والتماثلية وكأنها تتبادل. حدسية كونتسيفيتش هي أن هذا تكافؤ في الفئات - أن الفئة المشتقة من الحزم المتماسكة على X، وهي كائن من الهندسة الجبرية البحتة، تكافئ فئة فوكايا (Fukaya category) المشتقة لمرآتها Y، وهي كائن من الهندسة التماثلية البحتة. لقد حولت المصادفة التي لاحظها الفيزيائي إلى ادعاء هيكلي دقيق، ومنذ ذلك الحين وهي تنظم أجزاء كبيرة من الهندسة.

بور-سور-إيفيت

مر بجامعة هارفارد، ومعهد الدراسات المتقدمة في برينستون، وروتجرز، ومنصب أستاذ في بيركلي في منتصف التسعينيات، ثم رفض الاستقرار في أمريكا على الرغم من وجود شقيقه هناك. تولى منصب أستاذ دائم في معهد الدراسات العليا العلمية (IHES) في بور-سور-إيفيت، وهي المؤسسة التي أعجب بها منذ عام 1988، وظل هناك. كما يشغل منصب أستاذ متميز في جامعة ميامي، وحصل على الجنسية الفرنسية في عام 1999، ويحمل جوازي سفر روسي وفرنسي.

تراكمت الجوائز: جائزة هنري بوانكاريه في 1997؛ ميدالية فيلدز في مؤتمر برلين عام 1998، والتي استشهدت بعمله في الهندسة الجبرية والطوبولوجيا الجبرية؛ جائزة دانييل ياغولنيتزر؛ جائزة كرافورد في 2008، بالمشاركة مع إدوارد ويتن، "لمساهماتهم المهمة في الرياضيات المستوحاة من الفيزياء النظرية الحديثة"؛ جائزة شو في 2012؛ جائزة الاختراق في الفيزياء الأساسية في نفس العام؛ جائزة الاختراق في الرياضيات في 2015؛ عضوية أكاديمية باريس للعلوم وعضوية أجنبية في الأكاديمية الوطنية الأمريكية للعلوم.

لماذا يُسمى مكسيم عبقريًا

تعمل قدرتان متميزتان، ونادرًا ما توجدان معًا. الأولى هي قوة حسابية وحشية من نوع معين جدًا - عبارة توبس، "موهبة فريدة للحسابات التوافقية"، هي تقييم تقني وليس مجاملة، وهي تصف الآلية التي جعلت إثبات حدسية ويتن ممكنًا عندما لم يستطع أحد آخر القيام بذلك. الثانية هي غريزة هيكلية لما يقوله الفيزيائيون حقًا. أنتج منظرو الأوتار ادعاءات مبهرة وغير صارمة طوال الثمانينيات والتسعينيات؛ كانت عادة كونتسيفيتش هي العثور على الكائن الرياضي الذي تدور حوله تلك الادعاءات سراً، ثم صياغته في شكل يمكن لعلماء الرياضيات العمل به. التناظر المرآتي التماثلي هو المثال الأنقى: مصادفة فيزيائية تحولت إلى تكافؤ فئوي. ملاحظة بيرمان بأنه يجعل النظرية المعقدة "تبدو طبيعية وواضحة" تشير إلى نفس الملكة من زاوية أخرى.

للحالة المعاكسة الصادقة ثلاثة أجزاء. الكثير من المواد الخام لم تكن ملكه - ويتن حدس، فاسيليف عرف المتثابتات، والفيزيائيون وجدوا التناظر المرآتي؛ كان دور كونتسيفيتش هو جعل الأشياء صارمة، وهو أمر لا غنى عنه ولكنه مشتق بالبناء. ثانيًا، تظل فكرته الأكثر شهرة حدسية: التناظر المرآتي التماثلي غير مثبت بشكل عام بعد أكثر من ثلاثين عامًا، والحدسيات رخيصة مقارنة بالنظريات. ثالثًا، "العبقري" هي عملة تتداول بحرية في الرياضيات، وتميل الشهادات العامة المحددة لكونتسيفيتش إلى الإشادة بالتقنية والأصالة بدلاً من السعي للوصول إلى الكلمة. الادعاء القابل للدفاع عنه أضيق ولكنه لا يزال استثنائيًا: لمدة عقد من الزمان تقريبًا كان المترجم الأكثر موثوقية بين الفيزياء النظرية والرياضيات الصارمة في كلا المجالين.

الإرث

تعمل برامج بحثية كاملة الآن على تعريفاته - الخرائط المستقرة، تكامل كونتسيفيتش، تكميم التشوه، إطار فئة فوكايا للتناظر المرآتي. لا يزال في IHES، ولا يزال يعمل، والحدسية التي طرحها على مسرح زيورخ في عام 1994 تستمر في توليد رياضيات أكثر من معظم البراهين المكتملة.