إرنست مايكل: كيف تختار دون أن تختار بشكل سيئ

في عام 1956، نشر عالم طوبولوجيا شاب في جامعة واشنطن نظرية حول اتخاذ القرارات. بالنظر إلى قاعدة تخصص لكل نقطة ليس قيمة واحدة، بل مجموعة كاملة من القيم المقبولة، متى يمكنك اختيار واحدة من كل منها — بشكل مستمر، بحيث تحصل النقاط القريبة على خيارات قريبة؟ الإجابة التي قدمها تُستخدم الآن في كل مرة يثبت فيها اقتصادي وجود توازن أو يثبت فيها منظّر تحكم أن النظام يمكن توجيهه. بعد خمسين عاماً، خصصت مجلة عدداً خاصاً كاملاً لما نتج عن ذلك، وأطلقت على عام 1956 "عام ميلاد هذه النظرية".

زيورخ، برلين، لاهاي، نيويورك

وُلد مايكل في زيورخ في 26 أغسطس 1925، وهو ابن يعقوب وإرنا مايكل، من عائلة يهودية أشكنازية.

تقرأ السنوات الأربع عشرة التالية كخريطة لقارة تنهار. انتقلت العائلة من برلين في عام 1932 — العام الذي سبق تولي هتلر السلطة، مما يعني أنهم قرأوا الموقف مبكراً وبشكل صحيح. ذهبوا إلى لاهاي. في عام 1939، ومع اقتراب هولندا من الغزو بأشهر، هاجروا مرة أخرى إلى نيويورك. وُصف مايكل لاحقاً بأنه أمريكي من أصل سويسري وألماني؛ كل كلمة من تلك الكلمات تم شراؤها بثمن الرحيل.

تخرج من مدرسة هوراس مان في سن الخامسة عشرة. ذهب إلى كورنيل، لكن الحرب قاطعته: خدم على متن السفينة يو إس إس كواجالين من 1944 إلى 1946، وعاد للحصول على درجة البكالوريوس في عام 1947. تبع ذلك درجة الماجستير من هارفارد في عام 1948، وفي عام 1951 حصل على الدكتوراه من جامعة شيكاغو تحت إشراف إيرفينغ سيغال، بأطروحة حول الجبر الطوبولوجي المحدب ضربياً محلياً.

واحد وأربعون عاماً في سياتل

في عام 1952، انضم مايكل إلى قسم الرياضيات في جامعة واشنطن. كان أستاذاً مساعداً من 1952 إلى 1956، وأستاذاً مشاركاً من 1956 إلى 1960، وأستاذاً من 1960 حتى تقاعده في 1993 — واحد وأربعون عاماً في قسم واحد، في حياة احتوت سنواتها الأربع عشرة الأولى على ثلاث دول.

سافر من تلك القاعدة بدلاً من الانتقال مرة أخرى: أربع فترات منفصلة كزائر في معهد الدراسات المتقدمة، عام في المعهد الفيدرالي للتكنولوجيا في زيورخ في 1973-74 — عودة إلى مدينة مولده — وعام في جامعة شتوتغارت في 1978-79.

نظرية الاختيار

تتعلق نتيجة عام 1956 بالخرائط ذات القيم المجموعية، والتي تسمى أحياناً المراسلات أو الوظائف المتعددة.

تعطيك الدالة العادية مخرجاً واحداً لكل مدخل. تعطيك الخريطة ذات القيم المجموعية مجموعة كاملة منها: لكل سعر، مجموعة الكميات التي قد تنتجها الشركة بشكل مثالي؛ لكل حالة من حالات الآلة، مجموعة عناصر التحكم المسموح بها. الاختيار هو دالة عادية تختار عنصراً واحداً من كل مجموعة من تلك المجموعات. توجد الاختيارات دائماً إذا قبلت بديهية الاختيار — لكنها ستكون عموماً غير مستمرة بشكل كبير، والاختيار غير المستمر عديم الفائدة للأغراض التي لدى الناس بالفعل.

تعطي نظرية الاختيار لمايكل الشروط التي يوجد بموجبها اختيار مستمر: تقريباً، أن يكون النطاق بارا-مدمجاً وأن تكون الخريطة شبه مستمرة من الأسفل بقيم محدبة مغلقة. النظرية هي السبب في أن جزءاً كبيراً من التحليل الحديث يعمل. تعتمد حجج النقطة الثابتة في الاقتصاد الرياضي، ونظرية الاشتمالات التفاضلية، والتحسين والتحكم، جميعها في مرحلة ما على القدرة على الاختيار بشكل مستمر من مجموعة متحركة.

لم يتوقف عند النظرية. لقد أسس نظرية الاختيارات المستمرة بأكملها حولها، وتُعتبر ورقة عام 1956 بحق أصل ذلك المجال.

خط مايكل

بناؤه الشهير الآخر هو مثال مضاد، وهو أحد أكثر الأمثلة اقتباساً في الطوبولوجيا العامة.

لطالما أراد علماء الطوبولوجيا أن تتصرف الخصائص بشكل جيد تحت الضرب — إذا كانت مساحتان جيدتين، فيجب أن يكون حاصل ضربهما جيداً. يقتل خط مايكل هذا الأمل لزوج محدد ومهم. إنه مساحة بارا-مدمجة حاصل ضربها مع مساحة الأعداد غير النسبية ليس حتى طبيعياً.

تقوم الأمثلة المضادة من هذه الجودة بعمل خاص في الرياضيات. إنها تحدد حدود الممكن، وتنقذ كل من يأتي بعدهم من إضاعة سنوات في محاولة إثبات شيء خاطئ. يرتبط اسم مايكل أيضاً بطوبولوجيا ضرب مايكل وبنتائج حول المساحات الفرعية المغلقة، وقد نشر أكثر من مائة ورقة بحثية في الطوبولوجيا العامة، في Transactions و Annals و Duke، حول الفضاءات الفائقة للمجموعات الفرعية، والبارا-دمج، والاختيارات المستمرة، وسلوك المساحات الطبيعية.

لماذا يُدعى إرنست عبقرياً

أقوى دليل هو ديمومة نوع محدد وغير عادي. ورقة واحدة نُشرت في 1956 كانت لا تزال تولد رياضيات جديدة كافية بعد خمسين عاماً لدرجة أن Topology and Its Applications خصصت عدداً خاصاً للذكرى السنوية. قلة قليلة من النتائج تحقق ذلك.

الجودة المعرفية المعنية تستحق التسمية بدقة، لأنها ليست قوة حوسبة خام. كانت موهبة مايكل في العثور على الفرضيات الدقيقة — الحد الأدنى من الشروط التي يكون فيها الشيء المرغوب صحيحاً، مقترنة بأمثلة حادة تظهر ما يحدث في اللحظة التي تسترخي فيها. نظرية الاختيار وخط مايكل هما نفس الموهبة التي تواجه اتجاهات متعاكسة: أحدهما يرسم خريطة حيث تكون الأرض صلبة، والآخر يحدد بدقة أين تفسح المجال. علماء الرياضيات من هذا النوع أندر من حلالي المشكلات وأكثر فائدة للصحة طويلة المدى للمجال، لأنهم يحددون جغرافيتها.

الحجة المضادة الصادقة هي أن عمل مايكل الشهير ضيق في مساحة السطح. لم تكن الطوبولوجيا العامة في النصف الثاني من القرن العشرين حيث يقع مركز ثقل الانضباط؛ كان شرفه الأكبر هو الإدراج في الفئة الافتتاحية لزملاء الجمعية الرياضية الأمريكية في عام 2012، وهو تمييز كبير وجماعي جاء بعد ستة وخمسين عاماً من النظرية. لم يفز بأي جائزة وولف، ولا جائزة ستيل، ولا عضوية أكاديمية وطنية مسجلة في المصادر المتاحة. لا يوجد زميل مسجل يصفه بالعبقري. الكثير من شهرة نظرية الاختيار مستعارة من المستخدمين في المصب — الاقتصاديين ومنظري التحكم الذين يستشهدون بها كمعضلة دون الانخراط في طوبولوجيتها على الإطلاق. الحكم العادل هو أن مايكل كان عالم رياضيات يتمتع بدقة استثنائية وجد نظرية صحيحة بدقة لدرجة أنها عاشت أطول من موضة مجاله الخاص.

الإرث

تقاعد مايكل في عام 1993 وتوفي في 29 أبريل 2013، عن عمر يناهز سبعة وثمانين عاماً، في سياتل.

النظرية موجودة في كل نص دراسات عليا حول التحليل ذي القيم المجموعية. خط مايكل موجود في كل دورة طوبولوجيا تناقش المنتجات. يتم تدريس كليهما، في معظم الوقت، دون أن يذكر أحد أن مؤلفهما كان صبياً يهودياً غادر برلين في عام 1932، وعبر محيطاً قبل غزو، وخدم في المحيط الهادئ، ثم جلس في غرفة في سياتل لمدة واحد وأربعين عاماً وعمل بدقة على متى يكون من الممكن الاختيار بشكل جيد.