马克西姆·孔采维奇：让物理学严谨化的数学家

1990年，一位25岁的苏联研究员，在没有大学学位的情况下，坐在波恩的演讲厅里，聆听了迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）——正如他后来所说的，“一位讲述奇妙事物的杰出英国数学家”——描述爱德华·威滕（Edward Witten）关于曲线几何的一个惊人猜想。几天内，在莱茵河的一次游船旅行中，孔采维奇向同事们解释了他打算如何证明这个猜想。他被邀请回波恩待了一整年。两年后，这一证明成为了他的博士论文。

希姆基、朝鲜语与奥林匹克竞赛

他于1964年8月25日出生在莫斯科郊外的希姆基，成长于一个治学严谨的家庭。他的父亲列夫·拉法伊洛维奇·孔采维奇（Lev Rafailovich Kontsevich）是俄罗斯科学院东方研究所的顶尖朝鲜语专家，也是“孔采维奇转写系统”的作者，该系统至今仍是将朝鲜语转写为西里尔字母的标准方法。他的母亲受过工程师培训；他的哥哥列昂尼德（Leonid）在旧金山从事计算机影像研究。孔采维奇将他转向数学和物理归功于他的哥哥和“一些非常好的书”。

这些书很早就发挥了作用。16岁时，他在全国数学奥林匹克竞赛中获得第二名，这使他无需入学考试便进入了莫斯科国立大学。从1980年到1985年，他在那里师从强大的师资力量，尤其是伊斯拉伊尔·盖尔范德（Israil Gelfand）。他19岁时就开始发表文章：1983年与基里洛夫（A. A. Kirillov）合作发表了《由两个通用向量场生成的李代数的增长》，随后又与基里洛夫和莫列夫（A. I. Molev）合作发表了《中间增长的代数》。

离开的学生

1985年，他在没有获得学位的情况下离开了莫斯科国立大学，加入了科学院信息传输问题研究所，直到1988年都在发表关于维拉索罗代数（Virasoro algebra）及相关结构的文章。值得注意的是：这位后来获得菲尔兹奖的人，二十多岁时曾是苏联信息理论研究所一名没有学位的研究员。他于1988年首次访问了法国高等科学研究所（IHES），并对其念念不忘。

四个问题

波恩的博士论文于1992年在唐·扎吉尔（Don Zagier）的指导下提交，题目为《模空间曲线上的交点理论与艾里矩阵函数》。它证明了威滕的猜想：代数曲线紧化模空间上的稳定类交点数遵循Korteweg–de Vries可积层级——这一陈述将黎曼曲面的几何与浅水波的数学联系起来，这在当时看来是不可能的。审稿人克利福德·亨利·陶布斯（Clifford Henry Taubes）指出，“这一证明中的许多步骤展现了孔采维奇在组合计算方面独特的才能。”

随后他在五年内又完成了三次类似的工作。他1993年关于瓦西里耶夫（Vassiliev）纽结不变量的论文引入了现在所称的“孔采维奇积分”，这是一种纽结和链接的通用不变量；审稿人琼·伯曼（Joan Birman）写道，他以“非常新鲜和原创的视角”看待该课题，并使一个复杂的理论“显得自然而清晰”。他证明了每个泊松流形（Poisson manifold）都承认一个形式变形量子化，在平坦情况下提供了明确的公式，并解决了数学物理学中的一个基础性问题。1994年，他与尤里·马宁（Yuri Manin）合写了《格罗莫夫-威滕类、量子上同调与枚举几何》，并引入了稳定映射的模空间，这使得对曲线的严谨计数成为可能——这是证明卡拉比-丘三维流形上理性曲线定理的机制，对镜像对称具有决定性意义。他还撰写了《形式（非）交换辛几何》，后来与阿列克谢·别洛夫-卡内尔（Alexei Belov-Kanel）一起证明了狄克斯米尔（Dixmier）猜想与雅可比猜想的等价性。

作为范畴论的镜像对称

在1994年苏黎世国际数学家大会上，他提出了现在带有他最深烙印的观点：同调镜像对称。弦理论家们注意到，卡拉比-丘流形以镜像对的形式出现，其复结构和辛结构似乎会交换。孔采维奇的猜想是，这是一种范畴等价——即X上凝聚层的导出范畴（一个纯代数几何对象）与它的镜像Y的导出深谷范畴（Fukaya category，一个纯辛几何对象）是等价的。它将物理学家观察到的巧合转化为一个精确的结构性断言，并从此组织了几何学的大部分领域。

比尔-伊维特

90年代中期，他先后在哈佛大学、普林斯顿高等研究院、罗格斯大学任职，并在伯克利担任教授，尽管他的哥哥在那里，但他拒绝在美国定居。他接受了法国高等科学研究所（IHES）的终身教授职位，并留在了那里。他还担任迈阿密大学的杰出教授，于1999年加入法国国籍，并同时持有俄罗斯和法国护照。

奖项接踵而至：1997年的亨利·庞加莱奖；1998年柏林大会上的菲尔兹奖，表彰他在代数几何和代数拓扑方面的工作；丹尼尔·亚戈尼策奖；2008年与爱德华·威滕共同获得的克拉福德奖，“以表彰他们在受现代理论物理启发的数学方面的重要贡献”；2012年的邵逸夫奖；同年获得基础物理学突破奖；2015年获得数学突破奖；他是巴黎科学院院士及美国国家科学院外籍院士。

为什么马克西姆被称为天才

两种不同的能力在发挥作用，而且它们很少同时出现。第一种是某种非常特殊的原始计算能力——陶布斯那句“组合计算方面的独特才能”是一个技术评估，而非恭维，它描述了在无人能及的情况下证明威滕猜想的机器。第二种是对物理学家真正所言内容的结构直觉。弦理论家在整个20世纪80年代和90年代提出了令人眼花缭乱但不严谨的断言；孔采维奇的习惯是找到这些断言背后隐藏的数学对象，然后以数学家可以操作的形式陈述出来。同调镜像对称是最纯粹的例子：一个物理巧合变成了一个范畴等价。伯曼观察到他使复杂的理论“显得既自然又清晰”，从另一个角度指出了同样的能力。

诚实的反方论点有三部分。大部分原始材料并非来自他——威滕提出了猜想，瓦西里耶夫定义了不变量，物理学家发现了镜像对称；孔采维奇的角色是使事物严谨化，这虽然不可或缺，但在结构上是衍生性的。其次，他最著名的单一思想仍是一个猜想：同调镜像对称在三十多年后仍未得到全面证明，与定理相比，猜想并不稀奇。第三，“天才”是数学界自由流通的货币，对孔采维奇的具体公开证言往往称赞其技术和原创性，而不是直接使用这个词。可以辩护的说法更为狭窄却依然非凡：在长达十年左右的时间里，他是理论物理与严谨数学之间最可靠的翻译者。

遗产

整个研究项目现在都基于他的定义运行——稳定映射、孔采维奇积分、变形量子化、镜像对称的深谷范畴框架。他仍然留在IHES工作，而他在1994年苏黎世舞台上提出的猜想，继续产生的数学成果比大多数已完成的证明都要多。