马克·卡茨：你能听到鼓的形状吗？
1966年，一位波兰裔美国概率论数学家发表了一篇文章，其核心是一个连孩子都能提出的问题：如果你听到鼓声，你能分辨出它的形状吗？结果证明答案是否定的——不同的谐振器可以具有相同的本征频率。这个问题开创了一个研究领域。卡茨凭借这篇文章在两年后赢得了肖夫内奖（Chauvenet Prize），这是他第二次获此殊荣。他还留下了一个极少数能成为人们随口引用，却往往不知道出自何人之手的数学问题。
克雷梅内茨，以及移动的边界
卡茨于1914年8月3日出生在克雷梅内茨（Kremenets，波兰语为Krzemieniec），当时属于俄罗斯帝国，出身于一个波兰犹太家庭。在他童年时期，这座城市几经易手，从后来的苏联乌克兰划归波兰（根据《里加条约》）。他本人没有搬家，是边界移动了。对于一位职业生涯致力于研究那些在你脚下不断变化的系统行为的数学家来说，这真是一个恰如其分的出身。
利沃夫、斯坦豪斯与出路
他于1937年在利沃夫大学（University of Lwów）获得博士学位，导师是雨果·斯坦豪斯（Hugo Steinhaus），并加入了利沃夫数学学派（Lwów School of Mathematics）——这是战间期波兰数学人才最集中的地方，也是在接下来的十年中被彻底摧毁的学派。
1938年，帕纳斯基金会（Parnas Foundation）的一笔资助使他得以离开前往美国。他于1938年11月抵达纽约。从字面意义上讲，时间的选择决定了他是在生还还是成为统计数字：他在大门关闭前的最后一刻跨过了大西洋。
康奈尔与战争
他于1939年加入康奈尔大学，1943年从讲师升为助理教授，1947年升为正教授。他于1943年加入美国国籍。1943年至1945年间，他在麻省理工学院（MIT）辐射实验室与乔治·乌伦贝克（George Uhlenbeck）合作从事雷达研究——这是战时科研任务之一，纯数学家们在那里发现他们的抽象理论具有立竿见影的物理应用价值。与乌伦贝克的合作在战后得以延续；后来，两人与P. C. 海默（P. C. Hemmer）一起推导出了范德瓦尔斯气体的数学模型。
1942年8月
他的父母和兄弟留在了克雷梅内茨。他们在1942年8月的大屠杀中被纳粹杀害。
这一事实在他的传记中没有伴随评论，正如这类事实通常那样，它不应该被润色成某种叙事。当卡茨的家人在那个曾在他童年时因边界变迁而不断更迭的城镇被杀害时，卡茨身在美国，在康奈尔大学任教，正处于学术生涯的上升期。无论内心感受如何，外部记录显示，他在之后四十年的时间里始终勤奋工作，成果丰硕；晚年时，他担任了“有关科学家委员会”（Committee of Concerned Scientists）的共同主席，宣传包括弗拉基米尔·萨穆伊洛维奇·基斯利克（Vladimir Samuilovich Kislik）和约瑟夫·贝贡（Yosif Begun）在内的受迫害科学家的案例。他很早就明白，当没有人发声时，代价是什么。
统计物理学：环模型与伊辛模型
20世纪50年代是他的物理学十年。1952年，他与西奥多·H·柏林（Theodore H. Berlin）共同引入了铁磁体的球模型；与J. C. 沃德（J. C. Ward）一起得出了伊辛模型（Ising model）的精确解——这是罕见且珍贵的成果，因为可精确求解的模型是整个学科领域进行导航的固定基准点。
1956年，卡茨环（Kac ring）问世，这可能是他最优雅的单一构建成果。它解决的难题既古老又令人不安：宏观上的不可逆性——即事物会衰退而绝不会自发恢复原状——是如何从时间上完全对称的微观定律中产生的？即洛什密特悖论（Loschmidt's paradox）。卡茨构建了一个简单到足以完全分析，且丰富到足以呈现该现象的玩具模型，从而提供了一种解释，而不是单纯的辩论。这是某种数学物理学所能达到的最高境界：用一个可计算的例子取代哲学争论。
鼓
他1966年的文章探讨了鼓的几何形状是否由其声音唯一决定。结果证明，从一般意义上来说答案是否定的——不同的形状可以产生相同的频谱——尽管对于某些特定形状（包括圆形鼓）而言，几何形状确实可以根据拉普拉斯算子（Laplacian）的频谱推断出来。由此产生了谱几何（spectral geometry），即对算子频谱所揭示的其所在空间性质的系统性研究。
这个问题的力量在于其形式。它用普通语言表述，非数学家也能立即理解，但事实证明，回答这个问题需要深奥的数学机制。很少有研究人员能提出兼具这三种特性的问题。
为什么马克被称为天才
其卓越之处在于选择问题的能力。卡茨的技术性工作——伊辛解、球模型、范德瓦尔斯数学——是一流的，但大量一流的技术工作都消失在文献堆中。使他脱颖而出的是，他反复找到了那种能让原本模糊领域突然变得易于处理的切入点。卡茨环做到了这一点，解决了洛什密特悖论：一个被剥离到极致的模型，却展示了每个人都在争论的现象。鼓的问题为谱几何做到了这一点：一个用英文句子开启的数学学科。这是一种具体而罕见的才能——不是解决难题，而是定位那个值得解决的难题，并将其表述得如此清晰，以至于其他人可以开始工作。
他的阐述天赋是同样的直觉指向外部，并得到了认可：两次肖夫内奖（1950年因1947年的一篇文章，1968年因鼓的论文），外加1967年的莱斯特·R·福特奖（Lester R. Ford Award）。随之而来的是机构的认可——1959年当选美国艺术与科学院院士，1965年当选美国国家科学院院士，1969年当选美国哲学会会员，1971年担任布鲁塞尔索尔韦讲师，1980年担任比萨高等师范学校费米讲师。
反面观点：记录中没有人真正用“天才”这个词来形容他，他的奖项更多是为了阐述而非发现，且鼓的问题之所以出名部分是因为它很迷人——答案是由其他人提供的。一种不友好的解读会称他为出色的传播者和一位非常优秀的数学家，而非一位伟大的数学家。客观的解读是，框架构建本身就是一种发现，而卡茨不止一次地做到了这一点。
遗产
卡茨于1961年离开康奈尔大学前往洛克菲勒大学（The Rockefeller University），在那里度过了大约二十年，直到1981年，随后在南加州大学完成了职业生涯的最后阶段。他于1984年10月26日去世。他的著作——《概率、分析和数论中的统计独立性》（1959年）、《物理科学中的概率及相关主题》（1959年）、与斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）合著的《数学与逻辑》（1968年）——教育了一代人。他的自传《偶然性的谜团》（Enigmas of Chance）于1985年遗作出版。这个书名由一位因边界变迁的意外失去家人，又因获得奖学金的意外而幸存下来的人命名，非常贴切。
