格奥尔格·康托尔：让无穷大变得可数的男人

1874年1月，康托尔向他的朋友理查德·戴德金（Richard Dedekind）提出了一个问题：“一个表面（比如包含边界的正方形）能否唯一地对应到一条线……以至于表面上的每一个点在直线上都有一个对应的点，反之亦然？”他假设答案显然是否定的。三年后，他证明了答案是肯定的——整个正方形，实际上任何维数的空间，所包含的点数与单个线段的点数完全相同。他立即写信给戴德金：“我看到了，但我不敢相信！”

圣彼得堡的商人之子

格奥尔格·斐迪南·路德维希·菲利普·康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor）于1845年3月3日出生在圣彼得堡。他的父亲格奥尔格·瓦尔德马·康托尔（Georg Waldemar Cantor）是一位成功的商人；他的母亲玛丽亚·安娜·伯姆（Maria Anna Böhm）是俄罗斯人，在音乐方面很有造诣。1856年，当格奥尔格11岁时，父亲的健康状况迫使全家迁往德国，他们首先在威斯巴登定居。

他在法兰克福读了文理中学，并在达姆施塔特的实科中学就读，1860年毕业时在数学和三角学方面成绩优异。父亲希望他学习工程学，但康托尔设法获得了学习数学的许可。他于1862年进入苏黎世联邦理工学院，1863年6月父亲去世后，转学到柏林大学，师从魏尔斯特拉斯（Weierstrass）、库默尔（Kummer）和利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker），并与赫尔曼·施瓦茨（Hermann Schwarz）结为挚友。他的关于不定方程的论文于1867年完成。

哈勒与海涅的问题

在柏林的一所女子学校短暂任教后，康托尔于1869年加入哈勒大学——这所省级机构成为他整个职业生涯的归宿。他的同事海涅（Heine）交给他一个关于三角级数表示唯一性的长期悬而未决的问题。康托尔在1870年4月解决了它。

那个问题是一切的种子。追踪此类级数可能表现异常的特殊点，迫使他认真思考无穷点集，到1872年，他通过有理数的收敛序列定义了无理数，并开始了与戴德金长达十年的书信往来。

不止一种无穷大

1874年，康托尔发表了震撼世界的结果。他证明了有理数集与自然数集可以建立一一对应关系——它们是可数的——而实数集则不能。无穷大不只有一种；至少有两种，而且它们的大小不同。

该方法是他发明的准则：如果两个集合的成员可以精确配对，那么它们的大小就相同，无论其中任何一个集合有多大。这看起来像个戏法，其后果是直接且惊人的。康托尔观察到，由此得出“几乎所有”数都是超越数而非代数数——这是一种对整个数类的存在性证明，却无需展示出其中的任何一个。

超限数

他1878年在克雷勒（Crelle）的《数学杂志》（Journal）上发表的论文引入了“可数集”一词。克罗内克的敌意几乎阻止了它的出版，戴德金不得不介入；康托尔此后再也没有向克雷勒投稿。

1879年至1884年间，他在《数学纪事》（Mathematische Annalen）上发表了六篇奠定集合论基础的论文。1883年的《一般流形理论基础》（Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre）将超限数呈现为“对自然数的自主且系统的扩展”——它们不是权宜之计或极限，而是可以排序并进行算术运算的数。他知道自己在做什么：“我意识到在这个事业中，我把自己置于对数学无穷性的普遍观点的一定对立面。”

他用希伯来字母aleph表示超限基数，ℵ₀是最小的，并将实数的大小表示为2^ℵ₀。这引出了困扰他余生的问题。连续统是可数无穷之后的下一个无穷大吗——2^ℵ₀等于ℵ₁吗？针对克罗内克的构造主义，他发表了宣言：“数学的本质恰恰在于它的自由。”

崩溃、培根与教皇

康托尔在1884年5月经历了第一次有记录的抑郁症。旧的说法是克罗内克的迫害让他发疯；现代解读则颠倒了因果关系，认为抑郁症放大了他的数学焦虑，而不是由其产生。多年来，他一直在相信自己证明了连续统假设为真和相信自己证明了它为假之间徘徊，每次都发现了错误。

1885年，米塔-列夫勒（Mittag-Leffler）说服他撤回了一篇提交给《数学学报》（Acta Mathematica）的论文，理由是它太超前了大约一百年。康托尔的笑话很苦涩：“如果按照米塔-列夫勒的意思，我就得等到1984年，这对我来说要求太高了！”他们的通信实际上终止了，伴随这十二年建立集合论的创造性激增也随之结束。

在抑郁期间，他转向哲学和文学，专注于弗朗西斯·培根（Francis Bacon）撰写了莎士比亚戏剧的理论，并在1896-97年发表了相关小册子。他信仰笃深，相信超限数是上帝传达给他的。他与天主教神学家就无穷的本质进行了通信，并直接写信给教皇利奥十三世（Pope Leo XIII），希望他的数学能为教会教义提供参考。

最后的十年

他于1890年左右创立了德国数学家协会（Deutsche Mathematiker-Vereinigung）并担任首任会长。他最后的几篇重要论文在1895年和1897年发表，考察了超限算术和良序集。在1897年的苏黎世国际数学家大会上，他公开受到赫尔维茨（Hurwitz）和阿达马（Hadamard）的赞扬，并与戴德金和解。

到那时，他自己已经发现了裂缝，并在1896年告知希尔伯特（Hilbert）关于潜藏在集合论中的悖论；布拉利-福尔蒂（Burali-Forti）在1897年独立发表了一个。个人损失接踵而至——1896年10月母亲去世，1899年1月哥哥去世，1899年12月16日幼子去世。抑郁症支配了他余下的生活，1900年后，他在哈勒的精神病院度过了很长时间，在1902-03、1904-05和1907-08年的冬天请假停止教学。他获得了英国皇家学会的科普利奖章（Copley Medal）和圣安德鲁斯大学的荣誉学位，并于1911年前往那里参加大学500周年校庆。1918年1月6日，他因心脏病发作在哈勒去世。

为什么格奥尔格被称为天才

希尔伯特本人提供了这个词，称康托尔的工作是“数学天才最杰出的产物，也是纯智力人类活动中最伟大的成就之一”。其特定的品质是愿意相信定义胜过直觉。在他之前，每个人都把无穷看作一个方向，而不是一个数量。康托尔提出了一个关于大小相同性的准则——精确配对——毫不动摇地将其应用于无穷集合，并跟随它走向任何地方，包括他自己也无法相信的结论。“我看到了，但我不敢相信”是一个被自己的逻辑拖着走，却依然前行的男人的话语。

反面情况也值得说明。他从未解决连续统假设，并反复确信自己已经解决了——在两个方向上——然后才发现自己的错误，这反映了他的判断力以及问题的深度。哥德尔（Gödel）和科恩（Cohen）最终证明了该假设独立于标准公理，所以他追求了三十年的东西是不存在且无法捕捉的。他建立的东西也是未完成且不一致的：他在自己的系统中发现了悖论，直到策梅洛（Zermelo）的公理化，以及后来的弗兰克尔（Fraenkel）和冯·诺依曼（von Neumann），才使集合论变得稳固。他坚信超限数来自上帝、他游说梵蒂冈以及他的培根式小册子，表明了一种并不总是校准得很好的确定性。而且他从未获得他想要的著名教席，在哈勒待了四十年。

遗产

集合论成为了现代数学赖以生存的基础，从《数学原理》（Principia Mathematica）到数学家至今仍使用的策梅洛-弗兰克尔公理（Zermelo–Fraenkel axioms）。希尔伯特的赞誉流传了下来：没有人能把我们从康托尔创造的天堂中驱逐出去。