埃瓦里斯特·伽罗瓦

埃瓦里斯特·伽罗瓦

埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois；1811年10月25日－1832年5月31日）是一位法国数学家和政治活动家。他在十几岁时就确定了多项式方程可通过根式求解的充要条件，从而解决了这一困扰数学界350年的难题。他的工作为抽象代数的两大分支——伽罗瓦理论和群论奠定了基础。

伽罗瓦是一位坚定的共和党人，深度参与了法国1830年七月革命前后的政治动荡。由于积极从事政治活动，他多次被捕，曾入狱数月。在出狱后不久，出于至今仍不明确的原因，伽罗瓦在一次决斗中负伤，并因伤势过重而去世。

生平

### 早年生活

伽罗瓦于1811年10月25日出生，父亲是尼古拉-加布里埃尔·伽罗瓦（Nicolas-Gabriel Galois），母亲是阿黛莱德-玛丽·德芒特（Adélaïde-Marie Demante）。他的父亲是一位共和党人，担任布尔拉雷讷（Bourg-la-Reine）自由党的领袖。1814年路易十八复辟后，他的父亲担任了该村的镇长。他的母亲出身法学世家，精通拉丁语和古典文学，是伽罗瓦前十二年的启蒙老师。

1823年10月，他进入路易大帝中学（Lycée Louis-le-Grand）就读，他的老师路易·保罗·埃米尔·理查德（Louis Paul Émile Richard）发现了他的才华。14岁时，他开始对数学产生浓厚兴趣。

伽罗瓦偶然发现了阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的《几何学原理》（Éléments de Géométrie），据说他读这本书时“就像读小说一样”，第一次阅读就完全掌握了内容。15岁时，他开始研读约瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的原始论文，如《关于方程代数解法的思考》（Réflexions sur la résolution algébrique des équations），这可能激发了他后来对方程理论的研究，以及《函数计算课程》（Leçons sur le calcul des fonctions）。尽管研究深奥，他在学校的功课表现却平平，老师甚至指责他自以为是天才。

### 初露锋芒的数学家

1828年，伽罗瓦在没有进行常规数学准备的情况下，参加了法国当时最负盛名的数学学府——巴黎综合理工学院（École Polytechnique）的入学考试，因口试中缺乏解释而落选。同年，他进入了当时数学研究水平远逊于综合理工学院的巴黎高等师范学校（École Normale，当时称为预科学校），在那里他得到了一些同情他的教授的支持。

次年，伽罗瓦发表了关于简单连分式的第一篇论文。大约在同一时间，他开始在多项式方程理论方面取得重大发现。他向科学院提交了两篇相关论文。奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）担任了这些论文的评审，但因原因不明而拒绝接受发表。然而，尽管有许多相反的说法，普遍认为柯西确实认识到了伽罗瓦工作的价值，只是建议他将两篇论文合二为一，以便参加科学院数学大奖的评选。柯西作为当时极具影响力的数学家，尽管政治立场与伽罗瓦截然相反，仍认为伽罗瓦的作品很有可能获胜。

1829年7月28日，伽罗瓦的父亲因与村里的牧师发生激烈的政治纠纷而自杀身亡。几天后，伽罗瓦第二次也是最后一次尝试进入综合理工学院，再次失败。毫无疑问，伽罗瓦的资历绰绰有余，但关于他为何失败的原因众说纷纭。较可信的说法是，伽罗瓦跳跃性的逻辑让平庸的考官感到困惑，从而激怒了伽罗瓦。他父亲刚去世这一事实可能也影响了他的行为。

被综合理工学院拒之门外后，伽罗瓦参加了学士学位考试，以便进入高等师范学校。他顺利通过考试，并于1829年12月29日获得学位。他的数学考官评价说：“该生有时表达思想比较晦涩，但他很聪明，并表现出非凡的研究精神。”

伽罗瓦多次提交了他的方程理论纲要，但在他生前从未发表。虽然他的第一次尝试被柯西拒绝，但在1830年2月，他采纳了柯西的建议，将其提交给科学院秘书约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier），以角逐科学院大奖。不幸的是，傅里叶不久后去世，该纲要也随之遗失。当年的大奖最终追授给了尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel），同时也授予了卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）。尽管纲要遗失，伽罗瓦当年仍发表了三篇论文。一篇为伽罗瓦理论奠定了基础；第二篇是关于方程的数值解法（现代术语称之为求根）；第三篇是数论方面的重要论文，首次阐述了有限域的概念。

### 政治斗士

伽罗瓦生活在法国政治动荡的时代。查理十世于1824年继位路易十八，但他的派系在1827年选举中遭受重挫，到1830年自由党已成为多数派。面对议会的政治反对，查理十世发动了政变，颁布了臭名昭著的《七月敕令》，引发了结束于路易·菲利普一世登基的七月革命。当综合理工学院的学生们在街头书写历史时，伽罗瓦在高等师范学校却被校长反锁在内。伽罗瓦对此愤怒不已，写了一封措辞激烈的信批评校长，并投给《学校公报》（Gazette des Écoles），并署上了全名。尽管编辑在发表时删去了署名，伽罗瓦还是被开除了。

虽然他的开除在1831年1月4日才正式生效，但伽罗瓦立即退学，加入了国民自卫军中坚定的共和党炮兵部队。他将时间分配在数学研究和政治活动上。由于该部队引发的争议，在伽罗瓦加入后不久，即1830年12月31日，国民自卫军炮兵部队因担心其可能动摇政府而被解散。大约在同一时间，伽罗瓦前部队的十九名军官被捕，并被指控密谋推翻政府。

1831年4月，这些军官被宣判无罪。1831年5月9日，为了庆祝他们的获释，举行了一场宴会，包括亚历山大·仲马（Alexandre Dumas）在内的许多名流出席。宴会进程变得骚乱起来。在某个时刻，伽罗瓦站起来举杯祝酒，他说：“为了路易·菲利普”，并同时将一把匕首举过杯子。宴会上的共和党人将伽罗瓦的祝酒辞解读为对国王生命的威胁，并大声欢呼。他于次日在母亲家中被捕，并被关押在圣佩拉吉监狱（Sainte-Pélagie prison），直至1831年6月15日接受审判。伽罗瓦的辩护律师巧妙地声称，伽罗瓦实际上说的是“如果他背叛的话，为了路易·菲利普”，但这个限定词被淹没在欢呼声中了。检察官又问了几个问题，陪审团或许受到伽罗瓦年轻的影响，当天就判他无罪释放。

在随后的巴士底日（1831年7月14日），伽罗瓦身穿已解散的炮兵制服，带着数把手枪、一支装满弹药的步枪和一把匕首，走在抗议队伍的最前列。他再次被捕。在狱中，伽罗瓦在同狱囚犯的怂恿下第一次喝了酒。其中一名囚犯弗朗索瓦-文森特·拉斯帕伊（François-Vincent Raspail）在7月25日的一封信中记录了伽罗瓦醉酒时说的话。信中摘录如下：

> “我告诉你，我会在某个低级狐狸精引发的决斗中死去。为什么？因为她会邀请我维护她被另一个人玷污的荣誉。”

“你知道我缺什么吗，我的朋友？我只能向你吐露：那就是一个我能爱、且只能在精神上爱的人。我失去了父亲，再也没有人能替代他，你听到了吗……？”

拉斯帕伊继续写道，处于幻觉中的伽罗瓦曾试图自杀，如果不是狱友们强行制止，他可能已经得逞了。几个月后，1831年10月23日，伽罗瓦因非法穿戴制服被判入狱六个月。在狱中，他继续发展自己的数学思想。他于1832年4月29日获释。

### 最后时光

伽罗瓦在被高等师范学校开除后重返数学研究，尽管他仍花费时间从事政治活动。1831年1月开除正式生效后，他尝试开办高级代数私教课，吸引了一些兴趣，但因其政治倾向被视为重中之重，热度随之减退。西莫恩·德尼·泊松（Siméon Denis Poisson）请他提交关于方程理论的研究成果，他于1831年1月17日提交了论文。约在1831年7月4日，泊松宣布伽罗瓦的作品“无法理解”，宣称“[伽罗瓦的]论证既不够清晰，也不够严谨，不足以让我们对其进行评判”；然而，拒绝报告的结尾带有一丝鼓励：“我们建议作者发表其全部作品，以便形成最终结论。”虽然泊松的报告在伽罗瓦7月14日被捕前就已出炉，但这封信直到10月才送达狱中的伽罗瓦手中。鉴于他当时的性格和处境，伽罗瓦对拒绝信反应强烈也就不足为奇了。他决定不再通过科学院发表论文，转而通过朋友奥古斯特·谢瓦利埃（Auguste Chevalier）私下出版。然而，伽罗瓦显然没有完全忽视泊松的建议，因为他在狱中就开始收集所有数学手稿，并在1832年4月29日出狱后继续完善这些思想，随后不知为何被卷入了一场决斗。

伽罗瓦的致命决斗发生在5月30日。决斗背后的真实动机尚不明确，人们对此有很多猜测。已知的是，在他去世前五天，他给谢瓦利埃写了一封信，明确暗示了一段破裂的恋情。

对原始信件的一些档案调查显示，他倾心的女子是斯蒂芬妮-费利西·波特兰·杜·莫泰尔（Stéphanie-Félicie Poterin du Motel），她是伽罗瓦生命最后几个月所住旅馆医生的女儿。伽罗瓦亲手抄写的她写给他的部分信件碎片（其中许多部分，如她的名字，被涂抹或刻意省略）尚存。这些信件暗示波特兰·杜·莫泰尔曾向伽罗瓦倾诉过烦恼，这可能促使伽罗瓦为了她而发起决斗。这一猜测也得到了伽罗瓦在去世前一晚写给朋友的其他信件的支持。当被问及是否知道决斗原因时，伽罗瓦的表弟加布里埃尔·德芒特（Gabriel Demante）提到，伽罗瓦“发现自己面前有一个所谓的叔叔和一个所谓的未婚夫，两人都挑起了决斗”。伽罗瓦本人则惊呼：“我是一个卑劣狐狸精和她两个傀儡的牺牲品。”

至于决斗中的对手，亚历山大·仲马提到是佩舍·德·埃尔班维尔（Pescheux d'Herbinville），他实际上是那十九名炮兵军官之一，他们的获释曾在导致伽罗瓦第一次被捕的宴会上受到庆祝。然而，只有仲马提出这一说法，如果是真的，也不清楚为什么德·埃尔班维尔会参与其中。有人猜测他当时是波特兰·杜·莫泰尔的“所谓未婚夫”（她最终嫁给了别人），但没有发现明确的证据支持这一猜测。另一方面，决斗后几天留下的报纸剪报对他的对手（以首字母“L.D.”标识）的描述似乎更准确地适用于伽罗瓦的一位共和党朋友，极有可能是欧内斯特·杜沙特莱（Ernest Duchatelet），他曾因同样的指控与伽罗瓦一起入狱。鉴于现有信息的矛盾，杀害他的真凶可能已消失在历史中。

无论决斗背后的原因如何，伽罗瓦深信自己即将死去，整夜都在给共和党朋友写信，并起草他后来的数学遗嘱——那封给奥古斯特·谢瓦利埃的著名信件，概述了他的思想，并附有三份手稿。数学家赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）曾这样评价这份遗嘱：“如果以其所含思想的新颖性和深刻性来评判，这封信可能是人类文献中最重要的著作。”然而，关于伽罗瓦在死前一晚将数学思想倾注在纸上的传说似乎被夸大了。在这些最终的文件中，他概述了一些他在分析领域正在进行的工作的粗略框架，并对提交给科学院的原始手稿和其他论文做了注释。

1832年5月30日凌晨，他腹部中枪，被对手和自己的助手抛弃，后被一位路过的农民发现。次日上午十点，他在科钦医院（Hôpital Cochin）去世（死因可能是腹膜炎），拒绝了神职人员的临终祈祷。他的葬礼最终演变成骚乱。原定在葬礼期间发起起义，但同一时间领导人听到了让·马克西米利安·拉马克（Jean Maximilien Lamarque）将军去世的消息，起义被推迟，直到6月5日才真正发生。在伽罗瓦去世前，只有他的弟弟得到了消息。伽罗瓦年仅20岁。他对弟弟阿尔弗雷德（Alfred）说的最后一句话是：

> “别哭，阿尔弗雷德！我需要我所有的勇气来死在二十岁！”

6月2日，埃瓦里斯特·伽罗瓦被埋葬在蒙帕纳斯公墓的一个集体墓穴中，确切位置不明。在他故乡布尔拉雷讷的公墓里，在他亲属的墓地旁为他立了一座纪念碑。

1842年，约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）开始研究伽罗瓦未发表的论文，并于1843年承认了它们的价值。目前尚不清楚1832年至1842年这十年间发生了什么，也不清楚最终是什么促使刘维尔开始阅读伽罗瓦的论文。耶斯佩尔·吕岑（Jesper Lützen）在其关于约瑟夫·刘维尔的书中，在第十四章“伽罗瓦理论”中对这一主题进行了深入探讨，但并未得出任何明确的结论。

当然，数学家（包括刘维尔）可能是不想宣传伽罗瓦的论文，因为伽罗瓦是一位共和党政治活动家，他在六月起义（巴黎共和党人一次失败的反君主制叛乱）前五天去世。在伽罗瓦的讣告中，他的朋友奥古斯特·谢瓦利埃几乎指责综合理工学院的院士们杀死了伽罗瓦，因为如果他们没有拒绝他的作品，他本会成为一名数学家，也就不会投身于导致他被杀的共和党政治活动。考虑到法国仍生活在恐怖统治和拿破仑时代的阴影下，刘维尔可能一直等到政治动荡平息（即六月起义及其后果之后）才将注意力转向伽罗瓦的论文。

刘维尔最终在1846年10月至11月的《纯粹与应用数学杂志》（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées）上发表了伽罗瓦的手稿。伽罗瓦最著名的贡献是证明了五次方程不存在公式解——即五次及以上次数的方程通常不能通过根式求解。尽管尼尔斯·亨利克·阿贝尔已经在1824年证明了“五次方程”根式公式的不可能性，保罗·鲁菲尼（Paolo Ruffini）在1799年发表的解法后来被证明存在缺陷，但伽罗瓦的方法引领了对现在所谓的“伽罗瓦理论”的深入研究，该理论可用于判定任何多项式方程是否可以通过根式求解。

数学贡献

摘自伽罗瓦写给朋友奥古斯特·谢瓦利埃的一封信的结语，日期为1832年5月29日，即他去世前两天：

> “请公开要求雅可比或高斯给出他们的意见，不是关于这些定理的真伪，而是关于它们的重要性。”

“此后，我希望会有人从中获益，去破解所有这些乱七八糟的东西。”

（译注：请公开要求雅可比或高斯给出他们的意见，不是关于这些定理的真伪，而是关于它们的重要性。此后，我希望会有人从中获益，去破解所有这些乱七八糟的东西。）

在伽罗瓦约60页的文集中，包含了许多对几乎所有数学分支都有深远影响的重要思想。他的工作常被拿来与尼尔斯·亨利克·阿贝尔（1802–1829）相提并论，后者也是一位在年轻时便去世的当代数学家，两人的工作有很多显著的重叠。

### 代数

尽管在伽罗瓦之前，许多数学家已考虑过现在所谓的“群”的概念，但他是第一个在接近现代技术定义的意义上使用“群”（法文 groupe）这个词的人，使他成为代数分支“群论”的创始人之一。他将群分解为左右陪集称为“正规分解”（如果左右陪集重合），这导向了今天所知的“正规子群”概念。他还以与今天基本相同的形式引入了“有限域”（为纪念他，也称为“伽罗瓦域”）的概念。

在他给谢瓦利埃的最后一封信和随附的手稿（三份中的第二份）中，他对比有限域上的线性群进行了基本研究：

他构建了素域上的通用线性群 GL(ν, p) 并计算了其阶，以研究一般 p 次方程的伽罗瓦群。

- 他构建了射影特殊线性群 PSL(2,p)。伽罗瓦将其构建为分式线性变换，并观察到除非 p 为 2 或 3，否则它们是单群。这些是继交错群之后的第二类有限单群。 - 他注意到一个特殊事实，即 PSL(2,p) 是单群且作用于 p 个点，当且仅当 p 为 5、7 或 11 时。

### 伽罗瓦理论

伽罗瓦对数学最重大的贡献是他创立了伽罗瓦理论。他意识到多项式方程的代数解法与该方程根相关联的置换群结构有关，即该多项式的“伽罗瓦群”。他发现，如果能找到其伽罗瓦群的一系列子群，其中每一个都是后者的正规子群且具有阿贝尔商群，即伽罗瓦群是可解的，那么该方程就可以通过根式求解。这被证明是一种极具成果的方法，后来的数学家将其应用于伽罗瓦最初应用的方程理论之外的许多其他数学领域。

### 分析

伽罗瓦还对阿贝尔积分理论和连分式做出了贡献。

正如他在最后一封信中所写，伽罗瓦从椭圆函数的研究转入对最一般代数微分积分的考量，这些积分今天被称为“阿贝尔积分”。他将这些积分分为三类。

### 连分式

在1828年的第一篇论文中，伽罗瓦证明了表示二次无理数 ζ 的正则连分式是纯周期的，当且仅当 ζ 是一个约简无理数，即

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

且其共轭

η

{\displaystyle \eta }

满足

− 1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

。

事实上，伽罗瓦展示的远不止于此。他还证明了，如果 ζ 是一个约简二次无理数，而 η 是其共轭，那么 ζ 和 (−1/η) 的连分式都是纯周期的，且其中一个连分式中的重复块是另一个重复块的镜像。用符号表示如下：

ζ

= [

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

m − 1

¯

]

− 1

η

= [

a

m − 1

;

a

m − 2

,

a

m − 3

, … ,

a

0

¯

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

其中 ζ 是任意约简二次无理数，η 是其共轭。

从伽罗瓦的这两个定理中，可以推导出拉格朗日已知的一个结果。如果 r > 1 是一个非完全平方的有理数，那么

r

=

[

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

2

,

a

1

, 2

a

0

¯

]

.

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

特别地，如果 n 是任意非平方正整数，√n 的正则连分式展开包含一个长度为 m 的重复块，其中前 m − 1 个部分分母构成一个回文串。