如果我们到达一个方程，其中两边都有相同的项但系数不同，我们必须从两边各取相等的部分，直到得到一项等于另一项。但是，如果一边或两边都有负项，不足部分必须在两边各加上去，直到两边的所有项都是正的。然后我们必须从两边各取相等的部分，直到每边只剩下一项。
亚历山德里亚的Diophantus是一位亚历山德里亚数学家，他是一部名为《算术》的一系列书籍的作者，其中许多现已失传。他的著作涉及求解代数方程。在阅读Claude Gaspard Bachet de Méziriac版本的Diophantus《算术》时，Pierre de Fermat得出结论，Diophantus考虑的某个方程没有解，并在页边空白处简要地注明他找到了"这个命题的真正奇妙的证明"，现在这被称为Fermat最后定理。这导致了数论的巨大进步，Diophantine方程的研究"Diophantine几何"和Diophantine逼近仍然是数学研究的重要领域。Diophantus创造了术语παρισότης parisotes来指近似相等。这个术语在拉丁文中被译为adaequalitas，成为了Pierre de Fermat开发的充分性技术，用于找到函数的最大值和曲线的切线。Diophantus是第一个认识到分数作为数字的希腊数学家；因此他允许正有理数作为系数和解。在现代用法中，Diophantine方程通常是具有整数系数的代数方程，其中求的是整数解。
生平
关于Diophantus的生活知之甚少。他住在罗马时代的埃及亚历山德里亚，大约从公元200年到214年至284年或298年。历史学家对Diophantus的身份有不同的描述，认为他要么是希腊人，要么可能是希腊化的埃及人，或者是希腊化的巴比伦人。这些身份识别中的许多可能源于与4世纪修辞学家Diophantus the Arab的混淆。我们对Diophantus生活的大部分了解来自5世纪由Metrodorus创作的希腊数字游戏和谜题文选。其中一个有时被称为他的墓志铭的问题陈述如下：
'这里埋着Diophantus'，看看这个奇迹。
通过代数艺术，石碑诉说他的年纪：
'上帝赐予他童年六分之一的生命，
又多了十二分之一的青年时代，须发初生；
然后又七分之一才开始婚姻生涯；
五年后来了一个活蹦乱跳的儿子。
哎呀，这位大师和智者的爱子
在达到父亲生命长度的一半后，命运无情地将他夺走。在用数字科学安慰自己的命运四年后，他结束了自己的生命。'
这个谜题暗示Diophantus的年龄x可以表示为
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
这给出x的值为84岁。但是，这些信息的准确性无法独立确认。
在流行文化中，这个谜题是《教授雷顿与潘多拉的魔盒》中的第142号谜题，是游戏中最难的谜题之一，需要先解决其他谜题才能解锁。
《算术》
《算术》是Diophantus的主要著作，也是希腊数学中最著名的关于代数的著作。它是一个问题集合，给出了定方程和不定方程的数值解。《算术》原本由十三卷组成，但现在只有六卷幸存下来，尽管有些人认为1968年发现的四部阿拉伯书籍也是由Diophantus创作的。一些来自《算术》的Diophantine问题已在阿拉伯文献中被发现。
应该在这里提到，Diophantus在他的解法中从未使用过通用方法。著名的德国数学家Hermann Hankel对Diophantus做出了以下评论。
"我们的作者Diophantos看不出最微薄的通用、全面方法的迹象；每个问题都需要某种特殊方法，即使对于最相关的问题也行不通。出于这个原因，现代学者即使研究了Diophantos的100个解法，也很难解决第101个问题"。
历史
像许多其他希腊数学著作一样，Diophantus在所谓的黑暗时代在西欧被遗忘了，因为古希腊文的研究和文化素养总体上已大幅下降。然而，幸存下来的希腊《算术》部分，像所有传输到近代世界的古希腊文本一样，被中世纪拜占庭学者抄写和认识。拜占庭希腊学者John Chortasmenos（1370–1437）对Diophantus的注疏与早期希腊学者Maximos Planudes（1260–1305）撰写的全面评论被保存在一起，后者在拜占庭君士坦丁堡的Chora修道院图书馆内制作了Diophantus的版本。此外，《算术》的某些部分可能在阿拉伯传统中得以保存，见上文。1463年，德国数学家Regiomontanus写道：
迄今为止，还没有人将Diophantus的十三卷书从希腊文翻译成拉丁文，其中整个算术的精华都隐藏着。。。。
《算术》首次由Bombelli在1570年从希腊文翻译成拉丁文，但这部翻译从未出版。不过，Bombelli为他自己的著作《代数》借用了许多问题。《算术》的editio princeps于1575年由Xylander出版。《算术》最著名的拉丁文译本由Bachet在1621年制作，并成为首个广泛提供的拉丁文版本。Pierre de Fermat拥有一份副本，研究过它，并在页边空白处做了笔记。
Fermat和Chortasmenos的页边批注
Bachet的1621年版《算术》在Pierre de Fermat在其副本的页边空白处写下了他著名的"最后定理"后声名鹊起：
如果整数n大于2，那么an + bn = cn在非零整数a、b和c中没有解。我有这个命题的真正奇妙的证明，但这个页边空白太窄了，放不下。
Fermat的证明从未被找到，寻找这个定理证明的问题几个世纪来一直未解决。证明终于在1994年由Andrew Wiles在为期七年的工作后找到。有人认为Fermat实际上并没有他声称拥有的证明。虽然Fermat在其中写下这句话的原始副本现已丢失，但Fermat的儿子编辑了下一版Diophantus，于1670年出版。尽管文本在其他方面不如1621年的版本，但Fermat的注释——包括"最后定理"——被印在了这个版本中。
Fermat并非第一个被感动而在Diophantus的页边空白处写下自己批注的数学家；拜占庭学者John Chortasmenos（1370–1437）曾在同一问题旁边写道"你的灵魂，Diophantus，因你的其他定理的难度，尤其是现在这个定理，而与Satan同在"。
其他著作
除了《算术》，Diophantus还著有其他几部书，但其中保存下来的很少。
《推论集》
Diophantus本人提到了一部由被称为《推论集》或《推论》的引理集合组成的著作，但这部书完全失传了。
尽管《推论集》已失传，但我们知道其中包含的三个引理，因为Diophantus在《算术》中提到了它们。一个引理陈述两个有理数的立方差等于另外两个有理数的立方和，即给定任意a和b，其中a > b，存在c和d，都是正数和有理数，使得
a3 − b3 = c3 + d3。
多边形数和几何元素
已知Diophantus也著有关于多边形数的作品，这是一个对Pythagoras和毕达哥拉斯学派感兴趣的课题。关于多边形数的书籍片段保存了下来。
一部名为《几何元素前奏》的书传统上被归属于Hero of Alexandria。Wilbur Knorr最近对其进行了研究，他指出Hero的归属是不正确的，真正的作者是Diophantus。
影响
Diophantus的工作在历史上产生了巨大的影响。《算术》的版本对16世纪后期以及17和18世纪欧洲代数的发展产生了深远的影响。Diophantus和他的著作也影响了阿拉伯数学，在阿拉伯数学家中享有盛誉。Diophantus的工作为代数工作奠定了基础，实际上许多高等数学都是基于代数的。他对印度的影响程度仍存在争议。
Diophantus经常被称为"代数之父"，因为他对数论、数学符号做出了巨大贡献，而且《算术》包含了最早已知的缩写符号的使用。
Diophantine分析
今天，Diophantine分析是一个研究领域，其中为方程寻求整数和全数解，Diophantine方程是具有整数系数的多项式方程，其中只寻求整数解。通常很难判断一个给定的Diophantine方程是否有解。《算术》中的大多数问题都导致二次方程。Diophantus研究了三种不同类型的二次方程：ax2 + bx = c、ax2 = bx + c和ax2 + c = bx。为什么对Diophantus有三种情况，而今天我们只有一种情况，原因是他对零没有任何概念，他通过在上述三种情况中的每一种中将给定的数字a、b、c都视为正数来避免负系数。Diophantus总是对有理解感到满意，不需要整数，这意味着他接受分数作为他的问题的解。Diophantus认为负数或无理平方根解"无用"、"无意义"，甚至"荒谬"。举一个具体例子，他称方程4 = 4x + 20为"荒谬的"，因为它会导致x的负值。他在二次方程中只寻求一个解。没有证据表明Diophantus甚至意识到二次方程可能有两个解。他也考虑了联立二次方程。
数学符号
Diophantus在数学符号方面取得了重要进步，成为已知第一个使用代数符号和记号的人。在他之前，每个人都完整地写出方程。Diophantus引入了一种代数符号，对频繁出现的操作使用了缩写符号，对未知数和未知数的幂使用了缩写。数学历史学家Kurt Vogel指出：
Diophantus首次引入的符号，无疑是他自己设计的，提供了一种简短而易于理解的方式来表达方程……由于缩写也用于"等于"这个词，Diophantus在言语代数向符号代数迈出了根本性的一步。
尽管Diophantus在符号方面取得了重要进步，但他仍然缺乏必要的符号来表达更一般的方法。这导致他的工作更多地关注特定问题而不是一般情况。Diophantus符号的一些局限是他只有一个未知数的符号，当问题涉及多个未知数时，Diophantus被迫用言语表达"第一个未知数"、"第二个未知数"等。他也缺乏通用数字n的符号。在我们会写12 + 6n/n2 − 3的地方，Diophantus不得不采用如下的构造："……一个六倍的数加上十二，它被该数的平方超过三的差除"。
代数仍然有很长的路要走，才能以简洁的方式写下和解决非常一般的问题。
