欧几里得平行公设
平行公设指出：给定一条直线及直线外一点，经过该点只有一条直线与已知直线平行。这看起来很显然，但与欧几里得的其他公设不同，它并非是不言自明的必要条件。2000年来，数学家们认为它一定能从其他公理推导出来，但事实并非如此。
罗巴切夫斯基的双曲几何
罗巴切夫斯基（1829年）和鲍耶（1832年）分别独立证明了如果假设经过该点有无限多条平行线，你会得到一个一致的几何体系——双曲几何。在双曲空间中，三角形的内角和小于180°，且几何具有负曲率（类似于马鞍面）。
黎曼的推广
伯恩哈德·黎曼（1854年）进一步推广了这一理论：也可以存在零条平行线（球面几何，大圆总是相交的）。而且几何学在三维空间中也不一定是平坦的——空间本身可以弯曲。这成为了爱因斯坦在60年后用于广义相对论的数学框架。
排斥与平反
罗巴切夫斯基在1829年发表了他的研究结果，但遭到了嘲笑和忽视。鲍耶的父亲将这份作品寄给高斯，高斯回复称他在多年前就已经想到了这一切（这很可能是真的，但他从未发表过）。罗巴切夫斯基去世时，他的工作仍未得到认可。随着黎曼的推广，以及最终爱因斯坦证实空间确实是弯曲的，这一成果才得以平反。
常见问题
什么是非欧几里得几何？
非欧几里得几何是任何拒绝欧几里得平行公设的几何体系。在双曲几何（罗巴切夫斯基、鲍耶）中，经过给定点有多条平行线；在球面几何（黎曼）中，没有平行线。两者在内部都是自洽的，并描述了实际的物理空间。
谁发明了非欧几里得几何？
尼古拉·罗巴切夫斯基（俄国，1829年）和亚诺什·鲍耶（匈牙利，1832年）独立发现了双曲非欧几里得几何。高斯后来声称他曾独立发现但从未发表。黎曼在1854年将它们全部统一推广。
非欧几里得几何与爱因斯坦有何关系？
爱因斯坦的广义相对论（1915年）使用黎曼几何将引力描述为四维时空的曲率。大质量物体弯曲了空间的几何结构；我们所经历的引力吸引实际上是沿着弯曲测地线的运动。没有非欧几里得几何，广义相对论就不会有数学语言。