古希腊的贡献
希腊数学家，特别是亚历山大的丢番图（约250年），取得了重大进展。丢番图的《算术》引入了初步的符号记法，并解决了数百个代数问题。有些人称他为“代数学之父”——尽管也有人将此称号归于花剌子米。丢番图专注于方程的整数解——即我们现在所称的丢番图方程——这一领域直接引向了费马大定理。
花剌子米与“代数”之名
“代数”（algebra）一词源于花剌子米于820年左右在巴格达撰写的书名中的“al-jabr”。他的《代数学与平衡计算法》（Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wal-muqābala）是第一部对线性方程和二次方程进行系统处理的著作——而“算法”（algorithm）一词正是源于花剌子米名字的拉丁化。
欧洲文艺复兴
欧洲代数学在16世纪的意大利得到了迅速发展。杰罗拉莫·卡尔达诺在他的《大术》（1545年）中发表了三次和四次方程的解法——尽管这引发了与尼科洛·塔塔利亚之间的激烈争议，因为后者先发现了三次方程公式。弗朗索瓦·韦达引入了用字母表示已知量和未知量的方法（约1591年），推动了代数学向现代符号形式的转变。
笛卡尔与解析几何
勒内·笛卡尔的《几何学》（1637年）首次将代数与几何结合起来——笛卡尔坐标允许将几何曲线表示为代数方程，并将代数方程在几何上可视化。这种综合具有变革性：牛顿和莱布尼茨正是以此为基础构建了微积分。
抽象代数学
19世纪，代数学变得完全抽象化。埃瓦里斯特·伽罗瓦（1811–1832）——20岁时死于决斗——奠定了群论的基础，并证明了四次以上的多项式方程没有通用的代数解。埃米·诺特（1882–1935）被认为是抽象代数学之母——她对环、理想和模的公理化方法将该领域转变为现代形式。
常见问题
谁发明了代数学？
代数学有数千年来多位发明者：巴比伦数学家（约公元前1800年）口头解决了代数问题；丢番图在公元3世纪形式化了符号方法；花剌子米在9世纪系统化了代数并赋予其名称。
“代数”（algebra）是什么意思？
该词源于花剌子米9世纪阿拉伯文著作标题中的“al-jabr”——意为“补全”或“复原”。该词最初是指将方程一侧的负项移到另一侧的技术。
什么是抽象代数学？
抽象代数学研究代数结构——群、环、域和模——将其作为独立于数字的数学对象。它由伽罗瓦、阿贝尔、凯莱，特别是埃米·诺特在19世纪发展而成，是现代数学、密码学和理论物理学的基石。