1. 零与位值记数法（印度，约公元500年）
零作为数字而非仅仅是占位符的概念，是由婆罗摩笈多等印度数学家开发的。结合十进制位值系统，它使算术变得高效，并为代数、微积分和计算机科学奠定了基础。
2. 欧几里得几何（约公元前300年）
欧几里得的《几何原本》通过公理、公设和证明将几何学条理化，建立了沿用2,300年的数学推理模型。他的平行公设后来启发了非欧几里得几何，成为爱因斯坦相对论的基石。
3. 微积分（牛顿与莱布尼茨，17世纪70年代）
由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立开发，微积分赋予了数学描述变化率和累积量的工具。它是经典力学、电磁学、流体力学和现代工程学的基石。
4. 非欧几里得几何（高斯、波尔约、罗巴切夫斯基，1820年代-1830年代）
这些数学家证明了在欧几里得平行公设失效的情况下，依然可以存在自洽的几何学。其结果是对空间理解的一场革命，最终为广义相对论提供了数学框架。
5. 概率论（帕斯卡与费马，1654年）
源于帕斯卡面对的赌博问题，概率论现在是统计学、量子力学、金融、AI和决策科学的底层基础。
6. 勾股定理（约公元前570年）
虽然在毕达哥拉斯之前就已被经验性地知晓，但 a² + b² = c² 的首次证明将几何学转变为一门演绎学科。它至今仍是数学史上被证明次数最多的定理之一。
7. 集合论（康托尔，1870年代）
格奥尔格·康托尔关于无限集合的研究证明了无限存在不同的级别，这一结论极其反直觉，甚至导致他精神失常。集合论成为了现代数学的基石。
8. 哥德尔不完备定理（1931年）
库尔特·哥德尔证明了任何足够强大的形式数学系统都包含无法在该系统内证明的真命题。这动摇了数学的根基，并终结了大卫·希尔伯特将所有数学形式化的计划。
9. 公钥密码学（1976年）
基于对大素数进行因式分解的困难性，迪菲与赫尔曼的公钥密码学使安全数字通信成为可能。今天每一个加密网站、银行交易和私人消息都依赖于它。
10. 黎曼猜想（1859年）
关于黎曼ζ函数零点的猜想，在165年后仍未得到证明。它被认为是数学中最重要的问题，对素数分布有着深远的影响。
常见问题
历史上最重要的数学发现是什么？
许多历史学家指出，零与位值记数法、微积分或哥德尔不完备定理是最具奠基意义的——每一项都永久地改变了数学和科学。
谁发现了零？
作为数字而非仅是占位符的零，是由印度数学家婆罗摩笈多在公元628年左右正式定义的，其基础是早期的印度研究以及可能的巴比伦位值记数法。
简单来说，什么是哥德尔不完备定理？
它证明了在任何足以描述算术的自洽数学系统中，都存在无法在该系统内证明的真命题。数学永远无法做到完全自证。