第一不完备定理
任何能够表达基本算术的一致形式系统F，都包含在F内部无法证明但却为真的命题。证明采用了自指方法：哥德尔构建了一个命题G，断言“该命题在系统F中不可证明”。如果F能证明G，则F是不一致的；如果F无法证明G，则G是真的（因为它声称不可证明）但无法证明。无论哪种情况，F都是不完备或不一致的。
第二不完备定理
任何足够强大以表达基本算术的一致形式系统，都无法证明其自身的一致性。你不能利用一个系统来确保它永远不会推导出矛盾。这是一个更深层的结论，意味着希尔伯特利用数学手段证明数学一致性的计划是不可行的。
哥德尔并未证明什么
不完备定理并不意味着数学是不可靠的，或者说“任何结论皆可成立”。它们仅适用于形式系统（具有机械证明规则的公理系统），而不适用于一般的数学直觉。它们并不意味着每个数学问题都是不可判定的，而只是说没有一个有限的公理系统能判定所有问题。哥德尔本人是一位柏拉图主义者：他相信数学真理是客观真实的，并且即使在超越了形式证明的情况下，仍可通过数学直觉获取。
数学之外的影响
哥德尔定理常被解读（有时是被过度解读）为对人工智能、人类知识局限性及意识本质（彭罗斯的观点）具有影响。最站得住脚的解读是：任何基于形式系统的足够强大的人工智能都将存在“盲点”——即它无法证明的数学真理。至于人类的数学直觉是否能逃脱这一局限，学界对此争论不休。
常见问题
哥德尔不完备定理说了什么？
第一定理：任何足以表达算术的一致形式系统都包含其无法证明的真命题。第二定理：任何此类系统都无法证明自身的一致性。它们共同表明，数学无法完全公理化，总会存在超出任何固定证明体系之外的数学真理。
哥德尔定理是否证明了人工智能永远无法比拟人类智能？
罗杰·彭罗斯认为是的——如果思维是一个形式系统，那么哥德尔定理就会适用；既然数学家能识别超出形式证明之外的真理，思维一定不仅仅是系统。批评者（包括大多数人工智能研究人员）则认为这是对定理的误用：哥德尔定理适用于固定的形式系统，而学习型系统或能够更改其公理的系统则不同。
哥德尔定理关乎人类知识的局限性吗？
它们专门针对形式公理系统，而非一般意义上的人类知识。哥德尔相信人类拥有超越任何特定形式系统的数学直觉——他是一位柏拉图主义者。定理确实表明没有哪种机械证明程序能涵盖所有数学，但人类的数学理解是否超越了机械程序，则是一个独立的哲学问题。