Leopold Kronecker: Tanrı tam sayıları yarattı

"Tanrı tam sayıları yarattı, diğer her şey insanın eseridir" (Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk). Heinrich Weber bu sözü aktarmıştır ve bu söz yazarın söylediği hemen her şeyden daha uzun süre hayatta kalmıştır, çünkü bu dindar bir kenara not düşme değil, bir savaş ilanıdır. Bu sözü söyleyen adam, hayatının son on yıllarını meslektaşlarının icat etmekle meşgul olduğu sonsuz nesneleri modern matematikten temizlemeye çalışarak geçirdi ve bunu yaparken o kadar çok düşman kazandı ki, Avrupa'daki en büyük analistlerden biri ondan kaçmak için Berlin'den ayrılmak üzereydi.

Liegnitz ve Kummer adında bir öğretmen

Leopold Kronecker, 7 Aralık 1823'te Prusya'nın Liegnitz kentinde — günümüzde Polonya'daki Legnica — zengin bir Yahudi ailenin çocuğu olarak doğdu. Ebeveynleri Isidor ve Johanna (kızlık soyadı Prausnitzer), onu Liegnitz Gymnasium'una göndermeden önce evde özel öğretmenler tuttular; orada bilim, tarih ve felsefe ile ilgilendi ve aynı iştahla yüzme ve jimnastik yaptı. Küçük kardeşi Hugo seçkin bir fizyolog oldu. Gymnasium'da matematik öğretmeni, yeteneğini fark edip destekleyen Ernst Kummer'di; bu ilişki, iki adamın kariyerleri sürekli kesiştiği için Kronecker'in hayatının geri kalanını şekillendirecekti.

1841'de Berlin Üniversitesi'ne kaydoldu, astronomi, felsefe ve matematik arasında gidip geldi, 1843 yazını Bonn'da astronomi okuyarak geçirdi, ardından 1843-44 yılları için Kummer ile birlikte Breslau'ya gitti ve Berlin'e döndü; burada 1845'te Peter Gustav Lejeune Dirichlet'in danışmanlığında cebirsel sayı teorisi üzerine tezini savundu.

Matematik yapan iş adamı

Bundan sonra yaptığı şey, yeteneklerine sahip bir adam için alışılmadıktı: Akademik hiçbir şey yoktu. Büyük bir tarım arazisini yönetmek ve aile işleriyle ilgilenmek için eve döndü. 1848'de kuzeni Fanny Prausnitzer ile evlendi ve altı çocuğu oldu. Yaklaşık on yıl boyunca, ara sıra orijinal matematik makaleleri yayınlayan varlıklı bir taşra iş adamıydı; buna Galois'nın çalışmalarını genişleten denklemlerin cebirsel çözülebilirliği üzerine 1853 tarihli bir anı ve grup teorisini (Abel ve Ruffini'nin zaten imkansız olduğunu gösterdiği radikallerle değil) kullanarak beşinci dereceden denklemler üzerine 1850 tarihli bir inceleme dahildir.

İş o kadar başarılıydı ki 1855'te Berlin'e dönebildi ve hiçbir makamı ve ihtiyacı olmadan özel bir bilim insanı olarak yaşayabildi. 1861'de Berlin Akademisi'ne seçilmesi ona üniversitede ders verme hakkı verdi; bunu 1862'de yapmaya başladı; yirmi yıl boyunca kürsüsü olmadan ders verdi. 1866'da Gauss ve Dirichlet'in koltuğu olan ve Avrupa matematiğindeki en prestijli konum sayılabilecek Göttingen'deki matematik kürsüsünü reddederek Berlin'i tercih etti. Ancak 1883'te Kummer emekli olduğunda, onu keşfeden okul müdürünün yerine geçerek kadrolu profesörlüğe atandı.

Sayı teorisinin en sevgili rüyası

Kronecker'in matematiği, bir disiplini kapatan değil, tohumunu eken türdendir. 1853'te, daha sonra Kronecker-Weber teoremi haline gelen şeyi formüle etti ve bunun tam kanıtını daha sonra David Hilbert sağladı. Modern cebirin temel sonuçlarından biri olan sonlu üretilmiş abelyen gruplar (finitely generated abelian groups) için yapı teoremini tanıttı. Eliptik fonksiyonlar üzerinde çalıştı ve "gençliğinin en sevgili rüyası" (liebster Jugendtraum) adını verdiği şeyi tahmin etti; bu, Hilbert'in daha sonra on ikinci problemine dahil ettiği ve hala canlı bir araştırma programı olarak kalan açık cisim sınıfı teorisinin (explicit class field theory) bir vizyonuydu.

Cebirsel sayı teorisinde, Dedekind'in idealler teorisine alternatif olarak bölücüler (divisors) teorisi inşa etti ve bunu teknik değil felsefi nedenlerle yaptı: bölücüler açık bir yapı ile ele alınabilirdi, oysa idealler sonsuz kümeler gerektiriyordu. Dedekind'in yaklaşımı yüzyılı kazandı ve Kronecker'inki, 20. yüzyıl onu yeniden canlandırana kadar büyük ölçüde bir merak konusu olarak görüldü. İsmi artık inanılmaz miktarda matematiksel araçla ilişkilidir: Kronecker deltası, Kronecker çarpımı, Kronecker sembolü, Kronecker limit formülü, Kronecker teoremi, Kronecker lemması, Kronecker-Capelli teoremi, Kronecker değişimi.

Sonsuzluk üzerine savaş

Bölücüler teorisini doğuran felsefi konum, düşmanlık da dahil olmak üzere diğer her şeyi de doğurdu. Kronecker, matematiğin tam sayılardan sonlu, açık bir yapı ile inşa edilmesi gerektiğini savundu; bu, günümüzde sonlulukçuluk (finitism) olarak adlandırılan ve onu sezgiciliğin (intuitionism) bir öncüsü yapan bir doktrindir. Süreklilik kavramına ve reel analizde irrasyonel sayıların yeniden inşasına katkıda bulundu, ancak Weierstrass'ın sürekli, her yerde türevlenemez fonksiyonunu felsefi nedenlerle reddetti ve Georg Cantor'un gerçek sonsuzluklar hiyerarşisine sahip küme teorisine gayrimeşru olduğu gerekçesiyle saldırdı.

Bu görüşlerini seminerlerle sınırlamadı. Kampanyası, Karl Weierstrass ile ilişkisini o kadar gerdi ki 1888'de Weierstrass üniversiteden ayrılmak üzereydi. Hayatının son yılında Kronecker Hristiyanlığa geçti. 29 Aralık 1891'de Berlin'de öldü ve Schöneberg'deki Alter St Matthäus Kirchhof mezarlığına gömüldü.

Leopold neden dahi olarak adlandırılır

Vaka, belirli ve nadir bir kombinasyona dayanır: bir cebircinin yapı içgüdüsü ile yapıcı içeriğe yönelik neredeyse takıntılı bir talep. Kronecker, prensipte inşa edemeyeceği bir matematiksel nesneyi kabul edemez gibi görünüyordu ve bir sınırlama gibi görünen bu kısıtlama, bir üreteç işlevi gördü. Bölücüler teorisini, sonlu üretilmiş abelyen gruplar için yapı teoremini, Kronecker-Weber teoremini ve Jugendtraum'u üretti; bunların birkaçı kendi alanlarını yeniden düzenledi. Tahminleri de alışılmadık derecede iyi hedeflenmişti: Hilbert'in bunlardan birini kanıtlamak ve diğerini isimlendirilmiş bir problem olarak kutsamak için önemli bir çaba harcamış olması çok şey anlatıyor.

Dürüst karşı tez, bir bütün olarak matematik hakkındaki yargısının zayıf ve pahalı olduğudur. Şimdi lisans öğrencilerinin standart materyali olan Weierstrass'ın patolojik fonksiyonu hakkında yanılıyordu. Transfinit aritmetiği temel hale gelen Cantor hakkında yanılıyordu. Tercih ettiği bölücüler teorisi, yüzyılın büyük bir kısmında Dedekind'in ideallerinin gölgesinde kaldı, bu da yapıcı çekincelerinin o dönemde gerçek ifade gücüne mal olduğunu gösteriyor. Ve bu inançları, Weierstrass statüsündeki bir meslektaşını Berlin'den kovacak kadar kişisel bir vahşetle bastırdı; tarihçilerin sadece titizlik olarak affedemediği bir davranış. Adil özet şudur ki, Kronecker birinci sınıf bir matematikçi ve ikinci sınıf bir peygamberdi: teoremleri görüşlerinden çok daha iyi yaşlandı ve felsefi itirazları, amaçladığı programdan ziyade matematik içinde kalıcı bir azınlık konumu olarak daha yararlı olduğu kanıtlandı.

Miras

1861'de Prusya Bilimler Akademisi'ne, 1868'de Fransız Bilimler Akademisi'ne ve 1884'te Royal Society'ye seçildi ve 25624 Kronecker asteroidi onun adını taşır. Kurt Hensel, Adolf Kneser, Mathias Lerch ve Franz Mertens'e danışmanlık yaptı; Hensel'in p-adik sayıları bu yapıcı dürtünün doğrudan bir torunudur. Bölücüler teorisinin 20. yüzyıldaki yeniden canlanışı ve sezgiciliğin ciddi bir temel alternatif olarak hayatta kalması, tartışmayı hayatında kaybeden adamın onu hiçbir zaman tamamen kaybetmediği anlamına gelir.