Kiyoshi Itō: Rastgeleliğe Kalkülüs Kazandıran Matematikçi

Kiyoshi Itō'nun modern stokastik kalkülüsün temelini atan makalesini yayınlamasından sonraki on yıldan uzun bir süre boyunca neredeyse hiç kimse onu okumamıştı. Kendisi daha sonra, "Bu makale çıktığında, arkadaşım G. Maruyama (G. Maruyama) dışında onu baştan sona okuyan kimseyi tanımıyorum," diye itiraf etmiştir. Altmış yıl sonra, o makaledeki formül — sıradan kalkülüsün dokunamayacağı kadar engebeli süreçler üzerinde kalkülüs yapmanın bir yolu — yeryüzündeki her bankanın opsiyon fiyatlama masasında sessizce çalışıyordu ve 2006 yılında, 91 yaşındayken Itō, gerçek dünyadaki sonuçları yazarının beklentilerini gölgede bırakan çalışmalar için özel olarak verilen en yeni matematik onuru olan Gauss Ödülü'nü (Gauss Prize) alan ilk kişi oldu.

Savaş Dönemi İstatistikçisinin Yan Projesi

Itō, 7 Eylül 1915'te Japonya'nın Mie Prefektörlüğü'ndeki Hokusei-cho'da doğdu. Tokyo İmparatorluk Üniversitesi'nde (Imperial University of Tokyo) matematik eğitimi alarak 1938'de mezun oldu ve öğrenci olarakyken, rastgele bir değişkenin katı bir tanımından yoksun olduğunu yargıladığı dönemin olasılık teorisi literatüründen memnun olmadığını gördü. Bu memnuniyetsizlik bir araştırma programına dönüştü. 1938'den itibaren Japonya Kabine İstatistik Bürosu'nda çalıştı; bu, ona alışılmadık bir şekilde yan tarafta saf teorik araştırma yapması için kurumsal güvence sağlayan bir savaş dönemi kamu hizmeti göreviydi; 1942'de pürüzsüz bir eğri yerine rastgele dalgalanan bir sürece göre entegrasyon yaparak stokastik entegrasyon teorisini ilk ilkelerden yeniden inşa ettiği "Stokastik Süreçler Üzerine" (On Stochastic Processes) makalesini tam orada yazdı.

Brown Hareketi İçin Bir Kalkülüs İnşa Etmek

Itō'nun evcilleştirmesi gereken matematiksel nesne, su içindeki polen tanelerinin titremesini modellemek için ilk kez kullanılan düzensiz zikzak olan Brown hareketiydi (Brownian motion): o kadar engebeli bir yol ki sınırsız varyasyona sahiptir ve sıradan anlamda türevlenemez. Itō'nun çözümünün üç bağlantılı parçası vardı. Brown hareketine karşı entegrasyonu anlamlı kılan, bugün Itō integrali (Itō integral) olarak adlandırılan yeni bir integral türü tanımladı. Ardından bunu, matematikçilerin bu yolların üretebileceği olasılık dağılımlarını değil, bireysel rastgele örneklem yollarını doğrudan tanımlamasına ve manipüle etmesine izin veren dX(t) = σ(X(t))dB(t) + b(X(t))dt biçimindeki ifadeler olan stokastik diferansiyel denklemleri formüle etmek için kullandı. Ve saatin artık Itō Lemması (Itō's Lemma) olarak adlandırdığı şeyi, rastgele bir sürecin bir fonksiyonunun zaman içinde nasıl değiştiğine dair df(X(t)) = f′(X(t))dX(t) + ½f″(X(t))σ²(X(t))dt formülünü türetti — sıradan kalkülüsün zincir kuralı, rastgeleliğin ekstra terimini hesaba katmak için yeniden inşa edilmiştir. Bu sonuçlar aralarında, daha önce ayrı olan iki geleneği sentezledi: Fransız matematikçi Paul Lévy'nin (Paul Lévy) sezgisel, örneklem-yol olasılıksal düşüncesi ile Andrei Kolmogorov (Andrei Kolmogorov) tarafından atılan katı, ölçü-teorik temeller.

Kıtalar Boyu Bir Kariyer

Itō doktorasını 1945'te aldı ve savaştan sonra 1943'ten 1952'ye kadar Nagoya İmparatorluk Üniversitesi'nde (Nagoya Imperial University) yardımcı doçent olarak ders verdi. 1952'de Kyoto Üniversitesi'ne (Kyoto University) taşındı ve burada 1979'a kadar profesörlük yaptı; araya uluslararası atamalar girdi: 1954'ten itibaren Princeton'daki İleri Araştırma Enstitüsü'nde (Institute for Advanced Study in Princeton) iki yıl, 1966'dan 1969'a kadar Danimarka'daki Aarhus Üniversitesi'nde (Aarhus University) ve 1969'dan 1975'e kadar Cornell Üniversitesi'nde (Cornell University) profesörlük. 1979'dan sonra Gakushuin Üniversitesi'nde (Gakushuin University) ders verdi. Bu görevler aracılığıyla bir zamanlar göz ardı edilen 1942 tarihli makalesi yavaş yavaş uluslararası bir takipçi kitlesi oluşturdu ve Itō'nun Japonya'daki kendi öğrencileri — aralarında Shinzo Watanabe (Shinzo Watanabe), Masatoshi Fukushima (Masatoshi Fukushima) ve Hiroshi Kunita (Hiroshi Kunita) vardı — onun yöntemlerini sonsuz boyutlu uzaylara ve genel simetrik Markov süreçlerine genişleterek Japonya'yı olasılık teorisi için dünyanın önde gelen merkezlerinden biri haline getirdi.

Tanınma ve Gauss Ödülü

Onurlar, Itō'nun sonraki kariyeri boyunca istikrarlı bir şekilde birikti: 1978'de Japonya'nın Asahi Ödülü (Asahi Prize), aynı yılın İmparatorluk Ödülü ve Japonya Akademisi Ödülü, 1985'te Fujiwara Ödülü (Fujiwara Prize), 1987'de Matematikte Wolf Ödülü (Wolf Prize in Mathematics) ve 1998'de Temel Bilimlerde Kyoto Ödülü (Kyoto Prize in Basic Sciences). Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi'ne ve Fransa Bilimler Akademisi'ne (Académie des Sciences) seçildi ve Warwick Üniversitesi (University of Warwick) ile ETH Zürih'ten (ETH Zürich) fahri doktoralar aldı. Doruk noktası 2006 yılında, Uluslararası Matematik Birliği'nin (International Mathematical Union) olağanüstü pratik öneme sahip matematiksel çalışmaları onurlandırmak için özel olarak Carl Friedrich Gauss Ödülü'nü (Carl Friedrich Gauss Prize) oluşturması ve o sırada 91 yaşında olan Itō'yu Madrid'deki Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde ilk alıcısı olarak adlandırmasıyla geldi. Itō'nun kendisi ödülün çerçevesinden şaşırmış görünüyordu: "Çalışmalarımın matematiğin uygulamaları için Gauss Ödülü'ne seçilmiş olması gerçekten beklenmedik ve derin bir memnuniyet verici," dedi ve araştırmasını her zaman saf matematiğe ait olarak gördüğünü sözlerine ekledi.

Yazı Tahtasından İşlem Salonuna

Bu alçakgönüllülük, inşa ettiği şeyin kapsamını küçümsüyordu. Itō kalkülüsü, modern nicel finansın altındaki matematiksel altyapı haline geldi: Black–Scholes opsiyon fiyatlama modeli ve daha geniş stokastik finans alanı, varlık fiyatları için Itō tipi stokastik diferansiyel denklemleri çözmeye doğrudan dayanmaktadır. Finansın ötesinde, çerçevesi filtreleme teorisinde ve sinyal işlemeciliğinde, genetik sürüklenmeyi modellemek için popülasyon genetiğinde ve rastgele gürültüye maruz kalan sistemleri tanımlamak için istatistiksel fizikide standart bir araç haline geldi. Bir hükümet istatistik bürosunda, başlangıçta neredeyse hiç kimsenin okumadığı bir makalede üretilen yirminci yüzyıl matematiksel sonuçlarından pek azı, artık her büyük bankanın yazılımının içinde yer aldığını iddia edebilir.

Kiyoshi Neden Dahi Olarak Anılır?

Itō'nun dehası lehineki iddia dar ama güçlüdür: açık bir problemi çözmekle kalmadı, tüm sonraki bir alanın sorularını bile sormadan önce ihtiyaç duyduğu dili — integrali, denklemi, türev kuralını — inşa etti. Onun geleneğinde çalışan matematikçiler, 1942'deki inşasını stokastik analizin sezgisel olmaktan çıkıp katı hale geldiği, Lévy'nin sezgisini Kolmogorov'un biçimciliği ile ekonomistlerin ve fizikçilerin daha sonra üzerlerine koydukları ağırlığı taşıyacak kadar hassas araçlarda birleştirdiği an olarak tanımlarlar. Dürüst karmaşıklık şudur ki, bu anında tanınan bir yıldırım çakması içgörüsü değildi — Itō'nun kendi hesabına göre, birden fazla matematikçinin bu çalışmayla ciddi bir şekilde ilgilenmesinden önce on yıldan uzun sürdü ve inanstaki patlayıcı pratik önemi ancak onlarca yıl sonra görünür hale geldi, bu da büyük ölçüde Itō'nun başka amaçlar için inşa ettiği araçları uygulayan ekonomistler (Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton) tarafından yönlendirildi. Başka bir deyişle, dehası, tam değerini kendisinin bile öngörmediği kesin makinelerin sabırlı, yalnız inşasıydı — tek göz alıcı bir kanıttan ziyade bir mühendisin temel altyapısına daha yakındı.

Miras

Itō, 10 Kasım 2008'de Kyoto'da 93 yaşında öldü. Tanıttığı kelime dağarcığı — Itō integrali, Itō süreci, Itō Lemması — olasılık teorisi, fizik ve finansa o kadar kazınmıştır ki, savaş zamanı bir Japon istatistik ofisindeki kökeninden neredeyse hiç bahsedilmeden lisansüstü öğrencilerine öğretilmektedir. Kariyerini taçlandıran Gauss Ödülü artık teorik çalışması dış bir alanı yeniden şekillendiren matematikçilere her yıl verilmektedir; Itō'nun kendi hayatı, ödülün onurlandırmak için icat edildiği şablonu sağlamıştır.