Georg Cantor: Sonsuzluğu Sayılabilir Kılan Adam

Ocak 1874'te Cantor arkadaşı Richard Dedekind'e bir soru yöneltti: "Bir yüzey (diyelim ki sınırları içeren bir kare), bir doğruya benzersiz bir şekilde referans verilebilir mi... öyle ki yüzeydeki her nokta için doğrunun karşılık gelen bir noktası olsun ve tersi de geçerli olsun?" Cevabın bariz bir şekilde hayır olduğunu varsaydı. Üç yıl sonra bunun evet olduğunu kanıtladı; yani koca bir karenin, hatta herhangi bir boyuttaki bir uzayın, tek bir doğru parçasıyla tam olarak aynı sayıda nokta içerdiğini gösterdi. Dedekind'e hemen şunu yazdı: "Görüyorum ama inanamıyorum!"

St. Petersburg'da Bir Tüccarın Oğlu

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 3 Mart 1845'te St. Petersburg'da doğdu. Babası Georg Waldemar Cantor başarılı bir tüccardı; annesi Maria Anna Böhm Rus kökenliydi ve müzikal yeteneğiyle dikkat çekiyordu. 1856'da, Georg on bir yaşındayken, babasının sağlık sorunları aileyi Almanya'ya göç etmeye zorladı ve ilk olarak Wiesbaden'e yerleştiler.

Frankfurt'taki Gymnasium'da ve Darmstadt'taki Realschule'de eğitim gördü, 1860'ta matematik ve trigonometride olağanüstü notlarla mezun oldu. Babası onun mühendis olmasını istiyordu; Cantor ise matematik okumak için izin kopardı. 1862'de Zürih Politeknik'e girdi ve babasının Haziran 1863'te ölümü üzerine Berlin Üniversitesi'ne geçti; burada Weierstrass, Kummer ve Leopold Kronecker'in öğrencisi oldu ve Hermann Schwarz ile arkadaşlık kurdu. Belirsiz denklemler üzerine olan tezi 1867'de tamamlandı.

Halle ve Heine'nin Problemi

Berlin'deki bir kız okulunda kısa bir süre öğretmenlik yaptıktan sonra Cantor, 1869'da kariyerinin tamamını geçireceği taşra kurumu olan Halle Üniversitesi'ne katıldı. Meslektaşı Heine, ona trigonometrik seri temsillerinin benzersizliğiyle ilgili uzun süredir devam eden bir problem verdi. Cantor bunu Nisan 1870'e kadar çözdü.

O problem her şeyin tohumuydu. Böyle bir serinin düzgün çalışmayabileceği istisnai noktaları takip etmek, onu sonsuz nokta kümeleri hakkında derinlemesine düşünmeye zorladı ve 1872'ye gelindiğinde, rasyonel sayıların yakınsak dizileri aracılığıyla irrasyonel sayıları tanımlamış ve onu on yıl boyunca ayakta tutacak olan Dedekind ile yazışmalarını başlatmıştı.

Birden Fazla Sonsuz

1874'te Cantor dünyayı sarsan sonucu yayınladı. Rasyonel sayıların doğal sayılarla birebir eşlenebileceğini —yani sayılabilir olduklarını— ancak reel sayıların olamayacağını kanıtladı. Sadece bir sonsuz yoktur; en az iki tane vardır ve boyutları farklıdır.

Yöntemi kendi icat ettiği kriterdi: Eğer iki kümenin üyeleri tam olarak eşleştirilebiliyorsa, ne kadar büyük olurlarsa olsunlar aynı boyuttadırlar. Bu bir hile gibi görünüyordu ve sonuçları ani ve şaşırtıcıydı. Cantor, buradan "neredeyse tüm" sayıların cebirsel değil transandant (aşkın) olduğu sonucunun çıktığını gözlemledi; bu, tek bir tane bile sergilemeden tüm bir sayı sınıfının varlığını kanıtlamaktı.

Transfinite (Sonlu Ötesi)

1878'de Crelle'in Journal'ındaki makalesi "denumerable sets" (sayılabilir kümeler) terimini tanıttı. Kronecker'in düşmanlığı neredeyse yayınlanmasını engelleyecekti ve Dedekind müdahale etmek zorunda kaldı; Cantor bir daha asla Crelle'e gönderimde bulunmadı.

1879 ile 1884 yılları arasında Mathematische Annalen'de küme teorisini kuran altı makale yayınladı. 1883 tarihli Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, transfinite sayıları "doğal sayıların özerk ve sistematik bir uzantısı" olarak sundu; bunlar birer hile veya limit değil, sıralayabileceğiniz ve aritmetik yapabileceğiniz sayılardı. Ne yaptığını biliyordu: "Bu girişimde, matematiksel sonsuz hakkındaki yaygın görüşlerle belirli bir karşıtlık içinde olduğumu fark ediyorum."

Transfinite kardinalleri İbranice alef harfiyle gösterdi, ℵ₀ en küçüğüydü ve reel sayıların boyutunu 2^ℵ₀ olarak ifade etti. Bu, hayatının geri kalanını tüketen soruyu gündeme getirdi. Süreklilik, sayılabilir sonsuzdan hemen sonra gelen sonsuz mudur; yani 2^ℵ₀ = ℵ₁ midir? Kronecker'in yapıcıcılığına karşı manifestosunu yayınladı: "Matematiğin özü tam olarak özgürlüğünde yatar."

Çöküş, Bacon ve Papa

Cantor, Mayıs 1884'te kaydedilen ilk depresyonunu yaşadı. Eski hikaye Kronecker'in zulmünün onu delirttiği yönündedir; modern okuma ise nedenselliği tersine çevirerek, depresyonun matematiksel endişelerini yarattığını değil, onlar tarafından büyütüldüğünü savunur. Yıllarca süreklilik hipotezini kanıtladığına inanmakla yanlış olduğunu kanıtladığına inanmak arasında gidip geldi ve her seferinde hatayı buldu.

1885'te Mittag-Leffler, yaklaşık yüz yıl erken olduğu gerekçesiyle Acta Mathematica'dan bir makalesini geri çekmesi için onu ikna etti. Cantor'un şakası acıydı: "Eğer iş Mittag-Leffler'e kalsaydı 1984 yılına kadar beklemem gerekirdi ki bu benim için çok büyük bir talepti!" Yazışmaları fiilen sona erdi ve bununla birlikte küme teorisini inşa eden on iki yıllık yaratıcı patlama da bitti.

Depresif dönemlerinde felsefe ve edebiyata yöneldi; Francis Bacon'ın Shakespeare'in oyunlarını yazdığı teorisine takılıp 1896-97'de bu konuda broşürler yayınladı. Ayrıca son derece dindardı ve transfinite sayıların kendisine Tanrı tarafından iletildiğine inanıyordu. Sonsuzluğun doğası hakkında Katolik ilahiyatçılarla yazıştı ve matematiğinin kilise doktrinine bilgi sağlayabileceği umuduyla doğrudan Papa XIII. Leo'ya yazdı.

Son On Yıllar

1890 civarında Deutsche Mathematiker-Vereinigung'u kurdu ve ilk başkanı olarak görev yaptı. 1895 ve 1897'deki son büyük makaleleri, transfinite aritmetiği ve iyi sıralanmış kümeleri inceledi. 1897 Zürih Uluslararası Kongresi'nde Hurwitz ve Hadamard tarafından halka açık bir şekilde övüldü ve Dedekind ile barıştı.

O zamana kadar çatlakları kendisi bulmuştu; 1896'da Hilbert'e küme teorisinde gizlenen paradokslardan bahsetti; Burali-Forti 1897'de bir tanesini bağımsız olarak yayınladı. Kişisel kayıplar hızlı geldi; annesi Ekim 1896'da, kardeşi Ocak 1899'da, en küçük oğlu 16 Aralık 1899'da öldü. Depresyon hayatının geri kalanına hakim oldu ve 1900'den sonra Halle'deki Nervenklinik'te uzun süreler geçirdi, 1902-03, 1904-05 ve 1907-08 kışlarında öğretimden izin aldı. Royal Society'nin Copley Madalyası'nı ve St Andrews'dan fahri derece aldı, üniversitenin 500. yıl dönümü için 1911'de oraya seyahat etti. 6 Ocak 1918'de Halle'de kalp krizinden öldü.

Georg Neden Dahi Olarak Adlandırılır?

Hilbert kelimeyi kendisi sağladı; Cantor'un çalışmasını "matematiksel dehanın en iyi ürünü ve saf entelektüel insan faaliyetinin en yüce başarılarından biri" olarak nitelendirdi. Belirli niteliği, sezgiden çok tanıma güvenme isteğiydi. Ondan önceki herkes sonsuzluğu bir miktar olarak değil, bir yön olarak ele alıyordu. Cantor, boyut benzerliği için bir kriter (tam eşleştirme) önerdi, bunu tereddüt etmeden sonsuz koleksiyonlara uyguladı ve kendi bile inanamadığı sonuçlar dahil olmak üzere nereye giderse gitsin takip etti. "Görüyorum ama inanamıyorum" kendi mantığı tarafından sürüklenen ve yine de devam eden bir adamın cümlesidir.

Karşı durumun belirtilmesi gerekir. Süreklilik hipotezini asla çözemedi ve hatalarını bulmadan önce -her iki yönde de- defalarca çözdüğüne kendini ikna etti, bu da sorunun derinliği kadar onun yargısıyla da ilgilidir. Gödel ve Cohen sonunda hipotezin standart aksiyomlardan bağımsız olduğunu gösterdiler, bu yüzden otuz yıl boyunca peşinden koştuğu şey yakalanacak bir şey değildi. İnşa ettiği şey de tamamlanmamış ve tutarsızdı: kendi sisteminde paradokslar keşfetti ve küme teorisini güvenli hale getirmek Zermelo'nun aksiyomatizasyonu ve daha sonra Fraenkel ve von Neumann'ın çalışmalarını gerektirdi. Transfinite sayıların Tanrı'dan geldiğine dair inancı, Vatikan'a lobiciliği ve Baconcu broşürleri, her zaman iyi ayarlanmamış bir kesinliği düşündürür. Ve istediği prestijli kürsüyü asla elde edemedi, kırk yılını Halle'de geçirdi.

Miras

Küme teorisi, Principia Mathematica'dan günümüzde matematikçilerin hala kullandığı Zermelo-Fraenkel aksiyomlarına kadar modern matematiğin üzerine dayandığı temel haline geldi. Hilbert'in övgüsü akıllarda kaldı: Kimse bizi Cantor'un yarattığı cennetten kovamayacaktır.