Öklid'in Paralellik Postülatı
Paralellik postülatı şunu belirtir: bir doğru ve üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, o noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan tam olarak bir doğru vardır. Bu aşikâr görünür. Ancak Öklid'in diğer postülatlarının aksine, bu kendiliğinden zorunlu değildir. Matematikçiler 2.000 yıl boyunca bunun diğerlerinden türetilebileceğini varsaydılar. Türetilemez.
Lobaçevski'nin Hiperbolik Geometrisi
Lobaçevski (1829) ve Bolyai (1832), eğer o noktadan geçen sonsuz sayıda paralel doğru olduğunu varsayarsanız tutarlı bir geometri elde edeceğinizi, yani hiperbolik geometriyi, bağımsız olarak gösterdiler. Hiperbolik uzayda bir üçgenin açılarının toplamı 180°'den azdır ve geometri negatif eğriliklidir (bir eyer yüzeyi gibi).
Riemann'ın Genişlemesi
Bernhard Riemann (1854) bunu daha da genelleştirdi: sıfır paralel doğruya da sahip olabilirsiniz (büyük dairelerin her zaman kesiştiği küresel geometri). Ve geometri üç boyutta bile düz olmak zorunda değildir; uzay kendi kendine bükülebilir. Bu, 60 yıl sonra Einstein'ın genel görelilik için kullandığı matematiksel çerçeve haline geldi.
Reddedilme ve Doğrulanma
Lobaçevski sonuçlarını 1829'da yayınladı; bunlar alaya alındı ve görmezden gelindi. Bolyai'nin babası çalışmayı Gauss'a gönderdi, o da yanıt olarak bunu yıllar önce düşündüğünü belirtti (muhtemelen doğruydu ama asla yayınlamadı). Lobaçevski çalışmasının kabul edildiğini göremeden öldü. Doğrulanma, Riemann'ın genellemesiyle ve nihayetinde Einstein'ın uzayın gerçekten eğri olduğunu kanıtlamasıyla geldi.
Sıkça Sorulan Sorular
Öklid dışı geometri nedir?
Öklid dışı geometri, Öklid'in paralellik postülatını reddeden her türlü geometridir. Hiperbolik geometride (Lobaçevski, Bolyai), verilen bir noktadan birçok paralel doğru geçer; küresel geometride (Riemann) ise hiç geçmez. Her ikisi de kendi içinde tutarlıdır ve gerçek fiziksel uzayları tanımlar.
Öklid dışı geometriyi kim icat etti?
Nikolay Lobaçevski (Rusya, 1829) ve János Bolyai (Macaristan, 1832) hiperbolik Öklid dışı geometriyi bağımsız olarak keşfettiler. Gauss daha sonra bunu bağımsız olarak keşfettiğini ancak hiç yayınlamadığını iddia etti. Riemann 1854'te hepsini genelleştirdi.
Öklid dışı geometri Einstein ile nasıl ilişkilidir?
Einstein'ın genel göreliliği (1915), yerçekimini dört boyutlu uzay-zamanın eğriliği olarak tanımlamak için Riemann geometrisini kullanır. Büyük kütleli nesneler uzayın geometrisini büker; yerçekimi kuvveti olarak deneyimlediğimiz şey, eğri jeodezikler boyunca harekettir. Öklid dışı geometri olmasaydı, genel göreliliğin matematiksel bir dili olmazdı.