Сэмюэл Джеймс Паттерсон: Мера, названная дважды

Двадцативосьмилетний математик, работавший над предельными множествами фуксовых групп — сложными, часто фрактальными граничными узорами, оставляемыми определенными группами симметрии, действующими на гиперболической плоскости, — в 1976 году предложил способ сопоставления точной меры этим границам. Три года спустя американский математик Деннис Салливан (Dennis Sullivan) независимо переоткрыл и драматически расширил эту же идею в другом контексте, и созданный ими обоими инструмент, мера Паттерсона — Салливана, с тех пор занимает центральное место в гиперболической геометрии и эргодической теории. Сэмюэл Джеймс Паттерсон построил первую половину этой истории практически в одиночку, еще до того, как имя Салливана было с ней связано.

От Белфаста до Кембриджа

Паттерсон родился 7 сентября 1948 года в Белфасте, Северная Ирландия, учился в средней школе Гросвенор на востоке города, а затем поступил в Клэр-колледж Кембриджского университета, где в 1970 году получил степень бакалавра математики. Он остался в Кембридже для работы над докторской диссертацией под руководством Алана Бирдона (Alan Beardon), специалиста по комплексному анализу и гиперболической геометрии, завершив в 1974 году диссертацию под названием «Предельное множество фуксовой группы» (официально присуждена в 1975 году), которая стала прямым источником его более поздней и известной работы. Его брат, Дэвид Джозеф Паттерсон (David Joseph Patterson), стал известным специалистом по таксономии, что свидетельствует о семейной предрасположенности к точной классификационной науке, проявившейся в двух совершенно разных дисциплинах.

От фуксовых групп к новому типу меры

Фуксова группа — это дискретная группа симметрий гиперболической плоскости, и ее «предельное множество» (граничные точки, к которым стремятся ее орбиты) часто представляет собой тонкий фрактальный объект, сопротивляющийся обычному геометрическому измерению. В 1976 году, работая в Геттингене вскоре после защиты докторской диссертации, Паттерсон представил конструкцию, ныне называемую мерой Паттерсона, которая сопоставляет естественную, хорошо устроенную меру именно таким предельным множествам, построенную на основе динамики самой группы, а не навязанную извне. Деннис Салливан обобщил эту конструкцию, начиная с 1979 года, на клейновы группы (трехмерный аналог фуксовых групп, действующий на гиперболическом пространстве, а не на гиперболической плоскости) и на более широкую теорию геодезических потоков, и объединенная конструкция стала известна как мера Паттерсона — Салливана. Теперь она лежит в основе обширной области современной эргодической теории и гиперболической геометрии, предоставляя математикам способ перевода вопросов о геометрии и динамике действия группы в вопросы о конкретной, вычисляемой мере — одном из стандартных инструментов, используемых для изучения распределения замкнутых геодезических, энтропии и тонкой структуры гиперболических многообразий.

Опровержение гипотезы Куммера

Другое крупное достижение Паттерсона пришло из совершенно другой области теории чисел. В 1978 году совместно с британским математиком-теоретиком чисел Роджером Хитом-Брауном (Roger Heath-Brown) он опроверг гипотезу Куммера о кубических суммах Гаусса — предсказание XIX века, восходящее к Эрнсту Куммеру (Ernst Kummer), о статистическом распределении аргументов определенных кубических экспоненциальных сумм, возникающих при изучении кубической взаимности. Опровержение вековой гипотезы математика масштаба Куммера само по себе является значительным результатом, но Паттерсон и Хит-Браун пошли дальше, предложив взамен свою собственную пересмотренную гипотезу — предсказание, которое оставалось открытым более четырех десятилетий, пока не было окончательно доказано в 2021 году Александром Данном (Alexander Dunn) и Максимом Радзивиллом (Maksym Radziwiłł), что представляет собой поразительный пример гипотезы, пережившей своего автора на десятилетия до своего подтверждения.

Карьера в Геттингене

После защиты докторской диссертации Паттерсон сменил несколько престижных, но временных должностей: Геттинген (1974–1975), возвращение в Кембридж (1975–1979), затем Гарвард, где он занимал должность преподавателя Бенджамина Пирса (1979–1981), — прежде чем в 1981 году занять профессорскую должность по математике в Геттингенском университете, немецком университете с одной из самых богатых историй в математике, простирающейся от Гаусса и Римана до Гильберта и Эмми Нётер. Паттерсон оставался в Геттингене в течение тридцати лет, до выхода на пенсию в 2011 году, работая в области разрывных групп, фуксовых и клейновых групп, дзета-функций Руэля и Сельберга, метаплектических групп, тета-функций и экспоненциальных сумм — исследовательский портфель, охватывающий гиперболическую геометрию и аналитическую теорию чисел, что отражает необычайно широкий технический диапазон для одной карьеры. Он редактировал «Журнал Крелле» (Crelle's Journal), один из старейших и наиболее престижных математических исследовательских журналов, с 1982 по 1994 год и был избран членом Геттингенской академии наук и гуманитарных наук в 1998 году, где с тех пор работает в исполнительном комитете Архива Лейбница в Ганновере. Лондонское математическое общество присудило ему премию Уайтхеда в 1984 году, вручаемую математикам на ранних этапах карьеры за выдающийся вклад, а коллеги отметили его шестидесятилетие конференцией в июле 2009 года, за которой в 2012 году последовал юбилейный том эссе в его честь.

Почему Сэмюэла называют гением

Конкретным достижением, заслужившим для Паттерсона это звание, является построение в молодом возрасте и во многом независимо принципиально нового математического объекта — меры Паттерсона, — который геометрически захватывает динамическую информацию так, как не мог ни один предыдущий инструмент, и который другой ведущий математик, Деннис Салливан, счел достаточно важным, чтобы независимо переоткрыть и построить на его основе целую дальнейшую теорию всего три года спустя. Такого рода конвергентное переоткрытие независимым математиком первого ранга является одним из самых надежных внешних сигналов того, что идея действительно опередила свое время, а не была просто умной. Опровержение гипотезы Куммера добавляет второе, не связанное с первым свидетельство: опровержение устоявшегося предсказания XIX века и замена его лучшим, которое само просуществовало более сорока лет до доказательства, демонстрирует ту же интуицию в отношении видения структуры, которую упустили другие, примененную в теории чисел, а не в геометрии. Честное ограничение заключается в том, что, как и в случае с несколькими работающими математиками его поколения, признание Паттерсона — премия Уайтхеда, присужденная относительно рано в его карьере, членство в академии, редакторские роли — находится ниже самого высокого уровня математических наград, и большая часть его влияния осуществляется через технический аппарат (меры предельных множеств, дзета-функции дискретных групп), который остается в значительной степени невидимым за пределами специализированной геометрии и теории чисел.

Наследие

Мера Паттерсона — Салливана теперь является стандартным инструментом, преподаваемым на курсах для аспирантов по гиперболической геометрии и эргодической теории по всему миру, на нее ссылаются в работах далеко за пределами фуксовых групп, в которых Паттерсон изначально ее изучал, а доказательство Данна — Радзивилла гипотезы Паттерсона — Хита-Брауна в 2021 году подтвердило почти полвека спустя, что интуиция Паттерсона о том, где на самом деле кроется истина проблемы Куммера, была верна с самого начала.