Рагаван Нарасимхан: человек, который закрыл проблему Леви

В 1962 году Международный конгресс математиков пригласил молодого индийского аналитика выступить с одним из докладов. Ему было двадцать пять лет, и докторскую степень он должен был получить только через год. Приглашение не было данью вежливости: двумя годами ранее Рагаван Нарасимхан (Raghavan Narasimhan) разрешил проблему Леви для комплексных пространств — вопрос, который оставался открытым полвека и одолел целое поколение лучших аналиков Европы. Он провел следующие пять десятилетий в Чикаго, написав учебники, по которым этот предмет изучали все остальные.

Мадрас и отец Расин

Он родился 31 августа 1937 года в Мадрасе. Его математическое становление началось в местном колледже Лойолы, где в 1957 году он получил степень бакалавра и учился у отца Расина (Father Racine), французского иезуита, принесшего континентальный анализ в страну, которая взрастила Рамануджана, но обладала скудной институциональной инфраструктурой. Затем Нарасимхан отправился в Бомбей, в орбиту Института Тата, и в 1963 году защитил докторскую диссертацию в Бомбейском университете под руководством специалиста по теории чисел К. Чандрасекарана (K. Chandrasekharan).

На этой хронологии стоит остановиться. Докторская степень была получена в 1963 году. Теоремы появились в 1960 и 1961 годах.

Проблема Леви

Комплексный анализ от одной переменной — предмет удивительной жесткости: голоморфная функция на диске определяется поразительно малым объемом данных. В нескольких переменных эта жесткость становится странной. Некоторые области комплексного пространства обладают тем свойством, что каждая голоморфная функция на них автоматически продолжается на большую область — область, так сказать, не является естественным домом для собственных функций. Области, которые являются своими собственными естественными домами, называются областями голоморфности, и в 1910 году Э. Э. Леви (E. E. Levi) поставил вопрос о том, что это за области, высказав гипотезу, что ответом является геометрическое условие на границе, называемое псевдовыпуклостью.

Задача оказалась невероятно сложной. Киёси Ока (Kiyoshi Oka) окончательно решил ее для областей в комплексном евклидовом пространстве в 1940-х и 1950-х годах. Затем Ганс Грауэрт (Hans Grauert) занялся комплексными многообразиями. Остался общий и самый деликатный случай: комплексные пространства, в которых допускаются особенности — точки, где пространство локально не является хорошей окрестностью C^n, а представляет собой нечто зажатое или пересекающееся. Особенности разрушают аппараты. Статьи Нарасимхана «Проблема Леви для комплексных пространств» ("The Levi problem for complex spaces") в Mathematische Annalen в 1961 году и ее продолжение закрыли этот случай. Этот результат до сих пор цитируется как теорема Грауэрта — Нарасимхана, что на языке дисциплины означает признание того, что последний и самый трудный шаг был сделан им.

Вложение

Другая его теорема, носящая его имя, появилась раньше, в 1960 году, в статье в American Journal of Mathematics под названием «Вложение голоморфно полных комплексных пространств» ("Imbedding of Holomorphically Complete Complex Spaces"). Многообразия Стейна — это комплексной-аналитические объекты, содержащие достаточно голоморфных функций для разделения собственных точек; они являются аналитическим аналогом аффинных алгебраических многообразий и естественной средой для всего предмета. будучи определенными абстрактно, их трудно вообразить. Нарасимхан доказал, что каждое многообразие Стейна комплексной размерности n допускает инъективное правильное голоморфное погружение в C^{2n+1}.

Эта фраза выполняет колоссальный объем работы. Она говорит о том, что абстрактное многообразие Стейна никогда не является экзотическим: его всегда можно конкретно реализовать как замкнутое подмножество обычного комплексного евклидового пространства ограниченной размерности, причем граница зависит только от n. Это комплексной-аналитический аналог теоремы Уитни о вложении в дифференциальной топологии, который превратил класс абстрактно определенных объектов в то, что можно осязать. Результат носит его имя.

Чикаго

В 1966 году он был приглашенным исследователем в Институте перспективных исследований в Принстоне, а в 1969 году вошел в состав математического факультета Чикагского университета, где проработал более четырех десятилетий и завершил карьеру в должности почетного профессора (emeritus). Его интересы не сузились, а расширились: наряду с функциями нескольких комплексных переменных он занимался аналитической теорией чисел, а в 1990-х годах сотрудничал с Чарльзом Фефферманом (Charles Fefferman) из Принстона, лауреатом Медали Филдс, над статьями на стыке анализа и вещественной алгебраической геометрии — это был союз двух самых технически грозных аналитиков из ныне живущих. Женевский университет присвоил ему почетную докторскую степень в 1986 году.

Книги

Нарасимхан написал шесть книг, и их влияние в конечном итоге может превзойти влияние его теорем. Анализ на вещественных и комплексных многообразиях (Analysis on Real and Complex Manifolds, 1968), том чикагских лекций Функции нескольких комплексных переменных (Several Complex Variables, 1971) и Комплексный анализ от одной переменной (Complex Analysis in One Variable, 2001) — сжатые, точные и по общему признанию бескомпромиссные книги, которые предполагают, что читатель хочет кратчайшего правильного пути, а не утешения. По ним учились функции нескольких комплексных переменных поколения аспирантов. Коллеги вспоминали человека, который одинаково серьезно относился к классической музыке и вину и который, как вспомнил один из них, «обладал поистине поразительной интуицией в анализе».

Он скончался 3 октября 2015 года в возрасте семидесяти восьми лет после непродолжительной болезни.

Почему Рагавана называют гением

Будем конкретны, потому что именно в этом суть. Два результата, оба получены до того, как ему исполнилось двадцать пять лет и до получения докторской степени, каждый из которых закрыл проблему, а не просто продвинул ее.

Теорема о вложении выглядит чище. Она отвечает на вопрос вида «насколько дикими могут быть эти объекты?» ответом «совершенно не дикими» — каждое многообразие Стейна размерности n аккуратно располагается внутри C^{2n+1}. Результаты такого рода редки и несоразмерно полезны, поскольку они позволяют всем остальным перестать беспокоиться о целом классе возможных патологий.

Проблема Леви сложнее, и ее труднее объяснить. Ока и Грауэрт разобрались с гладкими случаями; остатком были комплексные пространства с особенностями, как раз там, где стандартный аппарат становится коварным. Завершить пятидесятилетнюю проблему в ее наиболее вырожденном случае, будучи аспирантом, в противостоянии с лучшими аналиками Европы — это именно то, для описания чего было придумано слово «гений». Приглашение Международного конгресса математиков двадцати пяти лет от роду без докторской степени — это собственный вердикт профессионального сообщества, вынесенный в то время.

Контраргумент касается масштаба, а не качества. Нарасимхан не основал новое направление и не переориентировал дисциплину; он решил две сложные задачи в рамках области, определенной другими, а затем провел пятьдесят продуктивных, но менее грандиозных лет, работая внутри нее. Он не получил ни Медали Филдс, ни премии Вольфа, ни премии Абеля; его главным отличием была почетная степень из Женевы. По сравнению с математиками, изменившими саму суть предмета, его послужной список — это послужной список исключительно мощного аналитика с двумя великолепными результатами в начале и долгим, выдающимся плато после — гения в строгом, локальном смысле, который в двадцать три года увидел то, чего не мог увидеть никто другой, а не умы, перекроившие карту.

Наследие

Теорема вложения Нарасимхана и решение проблемы Леви, найденное Грауэртом и Нарасимханом, являются постоянными элементами теории функций нескольких комплексных переменных, которые преподаются везде, где изучается этот предмет. Его учебники — второе наследие, коснувшееся большего числа людей: поколения математиков впервые познакомились с комплексным анализом через его требовательную прозу. Третье наследие носит институциональный характер, и его легко упустить из виду: он был частью плеяды, взращенной отцом Расином и К. Чандрасекараном в 1950-х и 1960-х годах, — поколения, которое сделало индийскую математику постоянным присутствием в международной литературе, а не редким проявлением одаренности.