Максим Концевич: математик, который сделал физику строгой

В 1990 году 25-летний советский исследователь, не имевший ученой степени, сидел в лекционном зале в Бонне и слушал Майкла Атью (Michael Atiyah) — «выдающегося британского математика, говорившего об удивительных вещах», как он позже выразился, — который описывал поразительную гипотезу Эдварда Виттена (Edward Witten) о геометрии кривых. Через несколько дней, во время прогулки на лодке по Рейну, Концевич объяснял коллегам, как он собирается ее доказать. Его пригласили вернуться в Бонн на целый год. Два года спустя это доказательство стало его докторской диссертацией.

Химки, корейский язык и олимпиада

Он родился 25 августа 1964 года в Химках, недалеко от Москвы, в семье, где ценилась глубокая ученость. Его отец, Лев Рафаилович Концевич, был ведущим корееведом в Институте востоковедения РАН и автором системы Концевича — стандарта транслитерации корейского языка на кириллицу. Его мать была инженером; старший брат Леонид занялся исследованиями в области компьютерной графики в Сан-Франциско. Концевич приписывает заслугу в том, что он обратился к математике и физике, своему брату и «нескольким очень хорошим книгам».

Книги рано сделали свое дело. В шестнадцать лет он занял второе место на Всесоюзной математической олимпиаде, что дало ему право поступить в Московский государственный университет без вступительных экзаменов. Он учился там с 1980 по 1985 год под руководством выдающихся преподавателей, прежде всего Израиля Гельфанда. Свои первые работы он опубликовал в девятнадцать лет: «Рост алгебры Ли, порожденной двумя общими векторными полями» с А. А. Кирилловым в 1983 году, за которой последовала «Алгебры промежуточного роста» с Кирилловым и А. И. Молевым.

Студент, который ушел

В 1985 году он ушел из МГУ, не получив диплома, и поступил в Институт проблем передачи информации РАН, где до 1988 года публиковал работы об алгебре Вирасоро и связанных с ней структурах. Стоит остановиться на этом факте: человек, который впоследствии получит Филдсовскую премию, провел начало своих двадцати лет как исследователь без степени в советском институте теории информации. Впервые он посетил Институт высших научных исследований (IHES) в 1988 году и навсегда запомнил его.

Четыре задачи

Боннская диссертация, представленная в 1992 году под руководством Дона Цагира (Don Zagier), называлась «Теория пересечений на пространстве модулей кривых и матричная функция Эйри». Она доказывала гипотезу Виттена: числа пересечений устойчивых классов на компактифицированных пространствах модулей алгебраических кривых подчиняются интегрируемой иерархии Кортевега — де Фриза — утверждение, связывающее геометрию римановых поверхностей с математикой волн на мелководье, которое, казалось, не имело права быть истинным. Рецензент Клиффорд Генри Таубес (Clifford Henry Taubes) отметил, что «многие шаги в этом доказательстве демонстрируют уникальный талант Концевича к комбинаторным вычислениям».

Затем он повторил это еще три раза за пять лет. Его работа 1993 года об инвариантах узлов Васильева ввела то, что сейчас называется интегралом Концевича, — универсальный инвариант узлов и зацеплений; рецензент Джоан Бирман (Joan Birman) написала, что он «взглянул на предмет совершенно свежим и оригинальным взглядом» и сделал сложную теорию «естественной и ясной». Он доказал, что каждое многообразие Пуассона допускает формальное деформационное квантование, представив явные формулы для плоского случая и решив фундаментальный вопрос математической физики. В 1994 году в соавторстве с Юрием Маниным он написал «Классы Громова — Виттена, квантовая когомология и перечислительная геометрия» и ввел пространство модулей устойчивых отображений, что сделало возможным строгий подсчет кривых — механизм, стоящий за теоремами о рациональных кривых в многообразиях Калаби — Яу, ставший решающим для зеркальной симметрии. Он также написал «Формальная (не)коммутативная симплектическая геометрия», а позже, совместно с Алексеем Беловым-Канелем, доказал эквивалентность гипотез Диксмье и Якоби.

Зеркальная симметрия как теория категорий

На Международном конгрессе математиков 1994 года в Цюрихе он предложил идею, которая сейчас несет его печать больше, чем любая другая: гомологическая зеркальная симметрия. Струнные теоретики заметили, что многообразия Калаби — Яу существуют в виде зеркальных пар, чьи комплексные и симплектические структуры, по-видимому, меняются местами. Гипотеза Концевича состоит в том, что это эквивалентность категорий — производная категория когерентных пучков на X, объект чистой алгебраической геометрии, эквивалентна производной категории Фукая его зеркала Y, объекта чистой симплектической геометрии. Это превратило наблюдаемое физиками совпадение в точное структурное утверждение и с тех пор организует большие части геометрии.

Бюр-сюр-Иветт

В середине 1990-х годов он работал в Гарварде, Институте перспективных исследований в Принстоне, Ратгерсе и занимал профессорскую должность в Беркли, но отказался обосноваться в Америке, несмотря на то, что там жил его брат. Он получил постоянную профессорскую должность в IHES в Бюр-сюр-Иветт, институте, которым он восхищался с 1988 года, и остался там. Он также занимает почетную профессорскую должность в Университете Майами, получил французское гражданство в 1999 году и имеет как российский, так и французский паспорта.

Награды накапливались: премия Анри Пуанкаре в 1997 году; Филдсовская премия на Берлинском конгрессе 1998 года за работы в области алгебраической геометрии и алгебраической топологии; премия Даниэля Ягольницера; премия Крафорда в 2008 году, совместно с Эдвардом Виттеном, «за их важный вклад в математику, вдохновленный современной теоретической физикой»; премия Шао в 2012 году; премия Breakthrough в области фундаментальной физики в том же году; премия Breakthrough в области математики в 2015 году; членство в Парижской академии наук и статус иностранного члена Национальной академии наук США.

Почему Максима называют гением

Здесь работают две различные способности, и они редко встречаются вместе. Первая — это грубая вычислительная мощь особого рода: фраза Таубеса «уникальный талант к комбинаторным вычислениям» — это техническая оценка, а не комплимент, и она описывает механизм, который позволил доказать гипотезу Виттена, когда никто другой не мог. Вторая — это структурный инстинкт в отношении того, что на самом деле говорят физики. Струнные теоретики на протяжении 1980-х и 1990-х годов выдвигали ослепительные, но нестрогие утверждения; привычка Концевича заключалась в том, чтобы найти математический объект, о котором эти утверждения тайно говорили, а затем сформулировать его в виде, с которым математики могли бы работать. Гомологическая зеркальная симметрия — чистейший пример: физическое совпадение превратилось в категориальную эквивалентность. Наблюдение Бирман о том, что он делает сложную теорию «естественной и ясной», указывает на ту же способность с другого угла.

У честного контраргумента есть три части. Большая часть сырого материала была не его — Виттен выдвинул гипотезу, Васильев определил инварианты, физики нашли зеркальную симметрию; роль Концевича заключалась в том, чтобы сделать вещи строгими, что незаменимо, но по своей сути является производным. Во-вторых, его самая знаменитая единственная идея остается гипотезой: гомологическая зеркальная симметрия в общем виде не доказана спустя более тридцати лет, а гипотезы стоят дешево по сравнению с теоремами. В-третьих, «гений» — это валюта, которая свободно циркулирует в математике, и конкретные публичные отзывы о Концевиче, как правило, восхваляют технику и оригинальность, а не стремятся использовать это слово. Защитимое утверждение более узкое, но все же экстраординарное: примерно в течение десятилетия он был самым надежным переводчиком между теоретической физикой и строгой математикой, который был в обеих областях.

Наследие

Целые исследовательские программы теперь работают на основе его определений — устойчивые отображения, интеграл Концевича, деформационное квантование, концепция категории Фукая для зеркальной симметрии. Он остается в IHES, продолжая работать, и гипотеза, которую он выдвинул на сцене в Цюрихе в 1994 году, продолжает порождать больше математики, чем большинство завершенных доказательств.