Марк Кац: Можно ли услышать форму барабана?

В 1966 году польско-американский математик, специалист по теории вероятностей, опубликовал статью, построенную вокруг вопроса, который мог бы задать ребенок: можно ли определить форму барабана по его звучанию? Оказалось, что ответ — нет: разные резонаторы могут иметь идентичные собственные частоты. Этот вопрос положил начало целой области исследований. Спустя два года Кац получил за эту статью премию Шовене (Chauvenet Prize) — свою вторую награду такого рода, — и оставил после себя один из немногих математических вопросов, который стал фразой, цитируемой людьми, не знающими, кому она принадлежит.

Кременец и переместившаяся граница

Кац родился 3 августа 1914 года в Кременце (на польском — Krzemieniec), который тогда находился в Российской империи, в польско-еврейской семье. В детстве город переходил из рук в руки, перейдя от советской Украины к Польше по Рижскому мирному договору. Он сам не переезжал; граница сдвинулась. Это подходящее начало для математика, посвятившего свою карьеру изучению поведения систем, которые меняются прямо у вас под ногами.

Львов, Штейнхаус и путь к спасению

В 1937 году он получил докторскую степень в Львовском университете (University of Lwów) под руководством Хуго Штейнхауса (Hugo Steinhaus) и входил в Львовскую математическую школу (Lwów School of Mathematics) — самую значительную концентрацию математических талантов в Польше межвоенного периода, которую предстоящее десятилетие должно было уничтожить.

В 1938 году грант Фонда Парнаса (Parnas Foundation) позволил ему уехать в США. Он прибыл в Нью-Йорк в ноябре 1938 года. С точки зрения хронологии, это буквально означало разницу между жизнью и превращением в статистику: он пересек Атлантику в последнее окно, прежде чем оно закрылось.

Корнелл и война

В 1939 году он начал работать в Корнеллском университете, пройдя путь от инструктора до доцента в 1943 году и до полного профессора в 1947 году. В 1943 году получил гражданство США. С 1943 по 1945 год работал с Джорджем Уленбеком (George Uhlenbeck) в Радиационной лаборатории МТИ (MIT), занимаясь разработкой радаров — это была одна из тех военных задач, в ходе которых математики-теоретики обнаружили, что их абстракции имеют мгновенное физическое применение. Сотрудничество с Уленбеком продолжилось и после войны; позже они вместе с П. К. Хеммером (P. C. Hemmer) разработали математическую модель газа Ван-дер-Ваальса.

Август 1942

Его родители и брат остались в Кременце. Они были убиты нацистами во время массовых казней в августе 1942 года.

Этот факт присутствует в его биографии без комментариев, как это обычно бывает с такими событиями, и его не следует сглаживать в повествование. Кац был в Америке, преподавал в Корнелле, находясь в разгаре своей академической карьеры, когда его семья была убита в городе, где граница сдвинулась вокруг него, когда он был мальчиком. Каковы бы ни были внутренние последствия, внешние записи показывают человека, который работал — и работал продуктивно — еще сорок лет, а в поздние годы стал сопредседателем «Комитета обеспокоенных ученых» (Committee of Concerned Scientists), предавая огласке случаи преследования ученых, включая Владимира Самуиловича Кислика и Иосифа Бегуна. Он рано понял, чего стоит молчание.

Статистическая физика: Кольцо и модель Изинга

1950-е годы были его десятилетием в физике. В 1952 году вместе с Теодором Г. Берлином (Theodore H. Berlin) он ввел сферическую модель ферромагнетика; вместе с Дж. К. Уордом (J. C. Ward) получил точное решение модели Изинга (Ising model) — редкое и ценное достижение, так как точно решаемые модели являются фиксированными точками, от которых отталкивается вся область.

В 1956 году появилось «кольцо Каца» (Kac ring), и это, возможно, его самая элегантная конструкция. Головоломка, которую она решает, стара и по-настоящему тревожна: как макроскопическая необратимость — факт того, что процессы идут в одну сторону и никогда не возвращаются обратно спонтанно — может возникнуть из микроскопических законов, которые полностью симметричны во времени? Это парадокс Лошмидта (Loschmidt's paradox). Кац построил игрушечную модель, достаточно простую для полного анализа и достаточно богатую для демонстрации явления, тем самым предложив объяснение, а не просто аргумент. Это высшая форма математической физики: замена философского спора вычислимым примером.

Барабан

В его статье 1966 года задавался вопрос, однозначно ли определяется геометрическая форма барабана его звучанием. Ответ оказался отрицательным в общем случае — различные формы могут создавать одинаковый спектр, — хотя для некоторых форм, включая круглые барабаны, геометрию действительно можно вывести из спектра оператора Лапласа (Laplacian). Из этого родилась спектральная геометрия (spectral geometry) — систематическое изучение того, что спектр оператора говорит о пространстве, в котором он действует.

Сила вопроса заключается в его форме. Он изложен на обычном языке, интуитивно понятен даже не математику, но, как выяснилось, требует серьезного математического аппарата для решения. Очень немногие исследователи формулируют проблему, обладающую всеми тремя свойствами.

Почему Марка называют гением

Отличительная черта — выбор задач. Технические работы Каца (решение Изинга, сферическая модель, математика Ван-дер-Ваальса) — первоклассные, но многие первоклассные технические работы теряются в литературе. Что выделяет его, так это то, что он неоднократно находил формулировку, которая делала туманную область внезапно понятной. Кольцо Каца сделало это для парадокса Лошмидта: модель, очищенная до костей, но демонстрирующая вещь, о которой все спорили. Вопрос о барабане сделал это для спектральной геометрии: английское предложение, открывшее новую математическую дисциплину. Это специфический и редкий талант — не решать сложные задачи, а находить ту сложную задачу, которую стоит решить, и ставить ее так чисто, чтобы другие могли начать работу.

Его дар изложения был проявлением той же интуиции, направленной вовне, и это было признано: две премии Шовене (в 1950 году за статью 1947 года и в 1968 году за работу о барабане), плюс премия Лестера Р. Форда (Lester R. Ford Award) в 1967 году. За этим последовали институциональные признания: Американская академия искусств и наук в 1959 году, Национальная академия наук в 1965 году, Американское философское общество в 1969 году, лектор Сольве в Брюсселе в 1971 году, лектор Ферми в Высшей нормальной школе в Пизе в 1980 году.

Контраргумент: никто в записях на самом деле не применяет к нему это слово, его награды получены за изложение, а не за открытие, а вопрос о барабане знаменит отчасти потому, что он очарователен — ответ был предоставлен другими. Враждебная интерпретация назвала бы его превосходным коммуникатором и очень хорошим математиком, но не великим. Справедливая интерпретация заключается в том, что формулирование задачи само по себе является формой открытия, и Кац сделал это не один раз.

Наследие

Кац покинул Корнелл в 1961 году и перешел в Рокфеллеровский университет (The Rockefeller University), где провел около двух десятилетий до 1981 года, завершив карьеру в Университете Южной Калифорнии. Он умер 26 октября 1984 года. Его книги — «Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел» (1959), «Вероятность и смежные темы в физических науках» (1959), «Математика и логика» в соавторстве со Станиславом Уламом (1968) — обучали целое поколение, а его автобиография «Загадки случая» (Enigmas of Chance) вышла посмертно в 1985 году. Название было выбрано очень удачно человеком, чья семья погибла из-за случайности с границей, а сам он выжил благодаря случайности с грантом.