Лев Понтрягин: слепой тополог, направивший современную теорию управления

В четырнадцать лет взрыв примуса лишил Льва Понтрягина (Lev Pontryagin) зрения. В дальнейшем он написал некоторые из основополагающих учебников XX века по топологии и алгебре, ни разу больше не увидев ни одного напечатанного уравнения. Он диктовал формулы матери, которая сама не имела математического образования, но научилась читать ему немецкие научные статьи и помечать его рукописи с помощью особой тактильной системы кодирования. Десятилетия спустя, в возрасте за шестьдесят, он оставил самую престижную область чистой математики, чтобы изобрести инструмент — «принцип максимума», — который будет управлять ракетами, направлять модели экономического планирования и придаст современной форме целой отрасли прикладной математики.

Взрыв примуса и изобретение матери

Понтрягин родился 3 сентября 1908 года в Москве в семье служащего Семена Акимовича Понтрягина и Татьяны Андреевны Понтрягиной, которая занималась шитьем, чтобы помочь содержать семью на скудную зарплату мужа. В четырнадцать лет взрыв оставил его навсегда слепым. Вместо того чтобы закончить его образование, его мать Татьяна, по словам биографов из математического архива MacTutor, «взяла на себя полную ответственность за удовлетворение потребностей своего сына во всех аспектах его жизни». Она не имела математической подготовки, но вслух читала ему технические труды — самостоятельно выучила иностранные языки, включая немецкий, чтобы переводить нужные ему статьи, — и записывала формулы в его рукописи, используя систему собственной разработки, описывая знак пересечения как «хвостами вниз», а знак объединения как «хвостами вверх», чтобы он мог отслеживать нотацию, которую не видел. Это партнерство длилось практически всю его трудовую жизнь и рассматривается историками математики как неразрывно связанное с его научным вкладом.

Московский университет и поворот к топологии

Понтрягин поступил в Московский университет в 1925 году. Учителя быстро распознали его способности, и он тяготел к курсам топологии Павла Александрова, чье «личное обаяние, внимание и готовность помочь», как отмечает MacTutor, определили направление исследований Понтрягина. Он окончил университет в 1929 году и поступил на механико-математический факультет; к 1932 году он уже получил важные результаты в теоремах двойственности для групп гомологий, расширив более раннюю работу Джеймса Александера (James Alexander) с использованием концепции чисел зацепления между множествами в евклидовом пространстве. В 1934 году он поступил в Математический институт имени В. А. Стеклова, а в 1935 году стал заведующим отделом топологии и функционального анализа — пост, с которого он формировал советскую математику на протяжении десятилетий.

Топологические группы и пятая проблема Гильберта

Книга Понтрягина 1938 года «Непрерывные группы» (Topological Groups) стала, по выражению MacTutor, «классической работой, сохраняющей значение на протяжении десятилетий», заложив фундамент топологической алгебры и построив теорию характеров для коммутативных топологических групп. Эта теория позволила ему распространить решение части пятой проблемы Гильберта — вопроса о том, когда топологическая группа является на самом деле группой Ли (Lie group) — с компактного случая, решенного Джоном фон Нейманом (John von Neumann) в 1929 году, на абелевы группы, что Понтрягин завершил в 1934 году. Его более поздние работы по характеристическим классам, операциям когомологий и каркасным многообразиям напрямую способствовали развитию теории кобордизмов, а инварианты, носящие теперь его имя, классы Понтрягина (Pontryagin classes), стали стандартными инструментами в дифференциальной топологии — хотя доказательство их топологической инвариантности принадлежит более позднему математику Сергею Новикову (Sergei Novikov). Понтрягин был избран членом-корреспондентом АН СССР в 1939 году и действительным членом в 1959 году, а в 1941 году он стал одним из первых лауреатов Сталинской премии.

Поворот к теории управления

Около 1952 года, в возрасте сорока с лишним лет, будучи уже одним из ведущих топологов мира, Понтрягин почти полностью переориентировал свои исследования на новую область: математическую теорию оптимального управления. Энциклопедические источники отмечают, что этот сдвиг был вызван его давней дружбой с физиком А. А. Андроновым, чьи работы по колебаниям и автоматическому регулированию привлекли внимание Понтрягина к проблемам управления системой — траекторией ракеты, производственным процессом — для достижения желаемого результата с наименьшими затратами времени, топлива или ресурсов. Работая с группой соавторов: В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко, он сформулировал то, что стало известно как принцип максимума Понтрягина: необходимое условие, выраженное через вспомогательную функцию, называемую гамильтонианом, которому должна удовлетворять любая стратегия оптимального управления. Опубликованный в книге 1961 года «Математическая теория оптимальных процессов» (The Mathematical Theory of Optimal Processes), этот принцип получил Ленинскую премию в 1962 году и стал — наряду с динамическим программированием Ричарда Беллмана (Richard Bellman), развитым независимо в США, — одним из двух центральных математических каркасов современной теории управления, преподаваемым до сих пор инженерам, проектирующим все: от навигации космических аппаратов до планирования движения роботов.

Институциональная жизнь и поздние годы

Влияние Понтрягина выходило далеко за рамки его собственных статей. Он занимал пост вице-президента Международного математического союза с 1970 по 1974 год, выступал на Международном конгрессе математиков в качестве приглашенного докладчика в 1958 и 1970 годах, редактировал журнал «Математический сборник» (Matematicheskii Sbornik) с 1975 по 1987 год и возглавлял Советскую комиссию по математическому образованию с 1982 года до своей смерти. В 1952 году он стал почетным членом Лондонского математического общества. В 1980-х годах он использовал свой авторитет в успешной общественной кампании против плана советского правительства по повороту северных рек в сторону Средней Азии, аргументируя, что проект угрожает экологическим и культурным вредом. Он также написал автобиографию, которую, согласно Encyclopedia.com, сознательно строил по образцу мемуаров скульптора эпохи Возрождения Бенвенуто Челлини (Benvenuto Cellini), представляя свою жизнь как историю художника, преодолевающего невзгоды в овладении мастерством.

Почему Лев считается гением

Случай гениальности Понтрягина основывается на редком двойном достижении: он был первоклассным математиком-теоретиком, который в середине своей карьеры переквалифицировался в основателя крупной прикладной области, добившись успеха в обоих направлениях без обычного инструмента математической работы — способности видеть и манипулировать символами на бумаге. Его теоремы о двойственности, теория топологических групп и классы Понтрягина сами по себе являются основополагающими результатами, цитируемыми на протяжении поколений; принцип максимума, полученный независимо и почти одновременно с американской работой Беллмана, признан специалистами по теории управления одним из двух столпов, на которых держится вся дисциплина. Что сделало это возможным, так это не просто память, а специфическая адаптация: с помощью матери как посредника, переводящего визуальную нотацию в личный, описываемый код, Понтрягин, по-видимому, строил и манипулировал математическими структурами почти полностью в уме, — метод работы, который историки математики выделяют как исключительный даже среди слепых ученых. Честная оговорка состоит в том, что это достижение было глубоко коллективным, а не одиночным — десятилетия неоплачиваемого, нелицензированного труда его матери были, по словам его собственных биографов, неотделимы от науки, — долг, который сам Понтрягин открыто и неоднократно признавал, а не скрывал.

Наследие

Имя Понтрягина теперь обозначает объекты в двух областях, которые редко пересекаются: двойственность Понтрягина и классы Понтрягина в топологии и алгебре, принцип максимума Понтрягина в технике и экономике, — охват, отражающий карьеру, которая однажды решительно изменила направление и дважды увенчалась успехом. Он скончался 3 мая 1988 года в Москве, проведя более шестидесяти лет в занятиях математикой без зрения, опираясь на партнерство, которое началось в день аварии, призванной положить конец его перспективам, а не определить их.