Леопольд Кронекер: Бог создал целые числа

«Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человеческих» (Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk). Генрих Вебер (Heinrich Weber) записал эту фразу, и она пережила почти всё остальное, что сказал её автор, потому что это не благочестивое замечание, а объявление войны. Человек, произнесший эти слова, потратил последние десятилетия своей жизни, пытаясь избавить современную математику от бесконечных объектов, которыми были заняты его коллеги, и нажил столько врагов, что один из величайших математиков-аналитиков Европы чуть не уволился из Берлина, чтобы уйти от него.

Лигниц и учитель по имени Куммер

Леопольд Кронекер (Leopold Kronecker) родился 7 декабря 1823 года в Лигнице (Liegnitz) в Пруссии — ныне Легница (Legnica) в Польше — в богатой еврейской семье. Его родители, Исидор (Isidor) и Иоганна (Johanna, урожденная Праусницер (Prausnitzer)), наняли частных учителей до того, как отправили его в Лигницкую гимназию (Gymnasium), где он занимался наукой, историей и философией, а также с одинаковым усердием занимался плаванием и гимнастикой. Его младший брат Гуго (Hugo) стал выдающимся физиологом. В гимназии его учителем математики был Эрнст Куммер (Ernst Kummer), который заметил талант и поддерживал его — отношения, которые определят всю оставшуюся жизнь Кронекера, поскольку карьеры этих двух людей постоянно пересекались.

Он поступил в Берлинский университет в 1841 году, колеблясь между астрономией, философией и математикой, летом 1843 года изучал астрономию в Бонне (Bonn), затем последовал за Куммером в Бреслау (Breslau) в 1843–1844 годах, прежде чем вернуться в Берлин, где в 1845 году защитил диссертацию по алгебраической теории чисел под руководством Петера Густава Лежёна Дирихле (Peter Gustav Lejeune Dirichlet).

Бизнесмен, занимавшийся математикой

То, что он сделал дальше, было необычно для человека с его дарованиями: никакой академической деятельности. Он вернулся домой, чтобы управлять большим фермерским хозяйством и заниматься семейным бизнесом. В 1848 году он женился на своей кузине Фанни Праусницер (Fanny Prausnitzer) и имел шестерых детей. Около десяти лет он был процветающим провинциальным бизнесменом, который попутно публиковал оригинальные математические работы, включая мемуары 1853 года об алгебраической разрешимости уравнений, которые расширили работу Галуа (Galois), и работу 1850 года о решении уравнений пятой степени с использованием теории групп (не через радикалы, что Абель (Abel) и Руффини (Ruffini) уже доказали как невозможное).

Бизнес был достаточно успешным, чтобы в 1855 году он мог вернуться в Берлин и просто жить там как частный ученый без должности и необходимости в ней. Избрание в Берлинскую академию в 1861 году дало ему право читать лекции в университете, чем он и занялся в 1862 году; он преподавал два десятилетия без профессорской кафедры. В 1866 году он отклонил кафедру математики в Гёттингене (Göttingen) — место Гаусса (Gauss) и Дирихле, пожалуй, самую престижную должность в европейской математике — предпочтя Берлин. Только в 1883 году, когда Куммер вышел на пенсию, он занял должность ординарного профессора, сменив школьного учителя, который его открыл.

Заветная мечта теории чисел

Математика Кронекера — это тип математики, который сеет дисциплину, а не закрывает её. В 1853 году он сформулировал то, что стало теоремой Кронекера-Вебера (Kronecker-Weber theorem), полное доказательство которой позже предоставил Давид Гильберт (David Hilbert). Он ввел структурную теорему для конечно порожденных абелевых групп, один из опорных результатов современной алгебры. Он работал над эллиптическими функциями и размышлял о том, что называл своей «заветной мечтой юности» (liebster Jugendtraum) — видении явной теории полей классов (explicit class field theory), которое Гильберт позже включил в свою двенадцатую проблему, где оно остается актуальной исследовательской программой.

В алгебраической теории чисел он построил теорию делителей (divisors) как альтернативу теории идеалов (ideals) Дедекинда (Dedekind), и сделал это по философским, а не техническим причинам: делители можно обрабатывать с помощью явной конструкции, тогда как идеалы требуют бесконечных множеств. Подход Дедекинда победил в том столетии, и подход Кронекера широко рассматривался как курьез — пока XX век не возродил его. Его имя теперь связано с невероятным количеством математических терминов: дельта Кронекера, произведение Кронекера, символ Кронекера, формула предела Кронекера, теорема Кронекера, лемма Кронекера, теорема Кронекера-Капелли, подстановка Кронекера.

Война против бесконечности

Философская позиция, которая породила теорию делителей, породила и всё остальное, включая вражду. Кронекер считал, что математика должна строиться из целых чисел путем конечного, явного построения — доктрина, называемая сегодня финитизмом (finitism), что сделало его предшественником интуиционизма (intuitionism). Он внес вклад в концепцию непрерывности и реконструкцию иррациональных чисел в действительном анализе, но по философским соображениям отверг непрерывную, нигде не дифференцируемую функцию Вейерштрасса (Weierstrass) и атаковал теорию множеств Георга Кантора (Georg Cantor) с её иерархией актуальных бесконечностей как нелегитимную.

Он не ограничивал эти взгляды семинарами. Его кампания настолько обострила отношения с Карлом Вейерштрассом (Karl Weierstrass), что в 1888 году Вейерштрасс едва не ушел из университета. В последний год жизни Кронекер принял христианство. Он скончался в Берлине 29 декабря 1891 года и был похоронен на кладбище Альтер-Санкт-Маттеус-Кирххоф (Alter St Matthäus Kirchhof) в Шёнеберге (Schöneberg).

Почему Леопольда называют гением

Дело основано на специфическом и редком сочетании: инстинкт алгебраиста к структуре в сочетании с почти навязчивым требованием к конструктивному содержанию. Кронекер, по-видимому, был неспособен принять математический объект, который он не мог в принципе построить, — и это ограничение, которое выглядит как ограничение, работало как генератор. Оно породило теорию делителей, структурную теорему для конечно порожденных абелевых групп, теорему Кронекера-Вебера и «мечту юности», некоторые из которых реорганизовали свои области. Его гипотезы также были необычайно хорошо направлены: о многом говорит тот факт, что Гильберт потратил значительные усилия на доказательство одной из них и увековечивание другой как именованной проблемы.

Честный контраргумент заключается в том, что его суждение о математике в целом было плохим, и дорого стоило. Он был неправ насчет патологической функции Вейерштрасса, которая сегодня является стандартным материалом для студентов. Он был неправ насчет Кантора, чья трансфинитная арифметика стала фундаментальной. Предпочитаемая им теория делителей была затенена идеалами Дедекинда на протяжении большей части века, что говорит о том, что его конструктивные сомнения стоили реальной выразительной силы в то время. И он отстаивал эти убеждения с личной свирепостью, которая едва не выгнала коллегу уровня Вейерштрасса из Берлина — поведение, которое историки не смогли оправдать как просто строгость. Справедливый итог: Кронекер был математиком первого ранга и пророком второго ранга: его теоремы состарились гораздо лучше, чем его мнения, а его философские возражения оказались более полезными как постоянная позиция меньшинства внутри математики, чем как программа, которую он намеревался создать.

Наследие

Он был избран членом Прусской академии наук в 1861 году, Французской академии наук в 1868 году и Королевского общества в 1884 году, а астероид 25624 Кронекер носит его имя. Он был научным руководителем Курта Гензеля (Kurt Hensel), Адольфа Кнезера (Adolf Kneser), Матиаса Лерха (Mathias Lerch) и Франца Мертенса (Franz Mertens) — p-адические числа Гензеля являются прямым потомком этого конструктивного импульса. Возрождение его теории делителей в XX веке и выживание интуиционизма как серьезной фундаментальной альтернативы означают, что человек, проигравший спор при жизни, никогда не проигрывал его окончательно.