Киёси Ито: математик, который подарил случайности исчисление

Более десятилетия после того, как Киёси Ито (Kiyoshi Itō) опубликовал статью, заложившую основы современного стохастического исчисления, её почти никто не читал. «Я не знаю никого, кто прочитал бы эту работу полностью в момент ее выхода, кроме моего друга Г. Маруямы (G. Maruyama)», — признался он позже. Шесть десятилетий спустя формула из этой статьи — способ выполнения вычислений над процессами, слишком изломанными для обычного математического анализа, — тихо работала за каждым пультом ценообразования опционов в любом банке мира, а в 2006 году, в возрасте 91 года, Ито стал первым человеком, удостоенным премии Гаусса (Gauss Prize), новейшей математической награды, присуждаемой специально за работы, практические последствия которых намного превзошли ожидания их автора.

Побочный проект военного статистика

Ито родился 7 сентября 1915 года в Хокусей-чо, в японской префектуре Миэ. Он изучал математику в Токийском императорском университете (Imperial University of Tokyo), окончив его в 1938 году, и будучи студентом обнаружил, что разочарован литературой по теории вероятностей того времени, в которой, по его мнению, отсутствовало строгое определение случайной величины. Это разочарование переросло в исследовательскую программу. С 1938 года он работал в Статистическом бюро кабинета министров Японии, на гражданской должности военного времени, которая, что необычно, дала ему институциональное прикрытие для параллельных занятий чистыми теоретическими исследованиями; именно там в 1942 году он написал статью «О случайных процессах» (On Stochastic Processes), в которой из первых принципов восстановил теорию стохастического интегрирования — интегрирования по случайным образом колеблющемуся процессу, а не по гладкой кривой.

Построение исчисления для броуновского движения

Математическим объектом, который Ито должен был укротить, было броуновское движение (Brownian motion), хаотичная зигзагообразная кривая, впервые использованная для моделирования дрожания зерен пыльцы в воде: путь настолько неровный, что он имеет неограниченную вариацию и не может быть продифференцирован в обычном смысле. Решение Ито состояло из трех связанных частей. Он определил новый вид интеграла, теперь называемый интегралом Ито (Itō integral), который придавал смысл интегрированию по броуновскому движению. Затем он использовал его для формулировки стохастических дифференциальных уравнений — выражений вида dX(t) = σ(X(t))dB(t) + b(X(t))dt, — которые позволили математикам описывать индивидуальные траектории случайных выборок и манипулировать ими напрямую, а не только распределения вероятностей, которые эти траектории могут порождать. И он вывел то, что в современной области называют леммой Ито (Itō's Lemma), формулу df(X(t)) = f′(X(t))dX(t) + ½f″(X(t))σ²(X(t))dt, описывающую, как функция случайного процесса сама изменяется со временем — правило цепи обычного математического анализа, перестроенное с учетом дополнительного слагаемого случайности. Между собой эти результаты синтезировали две ранее разделенные традиции: интуитивное вероятностное мышление на основе выборочных траекторий французского математика Поля Леви (Paul Lévy) и строгие теоретико-мерочные основы, заложенные Андреем Колмогоровым (Andrei Kolmogorov).

Карьера сквозь континенты

Ито получил докторскую степень в 1945 году и после войны преподавал в качестве доцента в Нагойском императорском университете (Nagoya Imperial University) с 1943 по 1952 год. В 1952 году он перешел в Киотский университет (Kyoto University), где занимал профессорскую должность до 1979 года, перемежая её международными назначениями: два года в Институте перспективных исследований в Принстоне (Institute for Advanced Study in Princeton) с 1954 года, профессор в Орхусском университете (Aarhus University) в Дании с 1966 по 1969 год и в Корнеллском университете (Cornell University) с 1969 по 1975 год. После 1979 года он преподавал в Университете Гакусюин (Gakushuin University). Благодаря этим назначениям его некогда незамеченная статья 1942 года постепенно завоевала международную популярность, а собственные студенты Ито в Японии — среди них Синдзо Ватанабэ (Shinzo Watanabe), Масатоси Фукусима (Masatoshi Fukushima) и Хироси Кунита (Hiroshi Kunita) — распространили его методы на бесконечномерные пространства и общие симметричные марковские процессы, превратив Японию в один из ведущих мировых центров теории вероятностей.

Признание и премия Гаусса

Награды неуклонно накапливались на протяжении более поздней карьеры Ито: премия Асахи (Asahi Prize) в Японии в 1978 году, Императорская премия и премия Японской академии того же года, премия Фудзивары (Fujiwara Prize) в 1985 году, премия Вольфа по математике (Wolf Prize in Mathematics) в 1987 году и премия Киото в области фундаментальных наук (Kyoto Prize in Basic Sciences) в 1998 году. Он был избран членом Национальной академии наук США и Французской академии наук (Académie des Sciences), а также получил почетные докторские степени Уорикского университета (University of Warwick) и Швейцарской высшей технической школы Цюриха (ETH Zürich). Кульминация наступила в 2006 году, когда Международный математический союз (International Mathematical Union) учредил премию Карла Фридриха Гаусса специально для чествования математических работ выдающегося практического значения и назвал Ито — которому тогда было 91 год — её первым лауреатом на Международном конгрессе математиков в Мадриде. Сам Ито, казалось, был удивлен формулировкой награды: «Тот факт, что моя работа была выбрана для вручения премии Гаусса за приложения математики, поистине неожидан и глубоко утешителен», — сказал он, добавив, что всегда считал свои исследования относящимися к чистой математике.

От классной доски до торгового зала

Эта скромность преуменьшала масштаб созданного им. Исчисление Ито стало математической инфраструктурой современной количественной финансовой математики: модель ценообразования опционов Блэка–Шулза (Black–Scholes) и более широкая область стохастических финансов напрямую опираются на решение стохастических дифференциальных уравнений типа Ито для цен активов. Помимо финансов, его структура стала стандартным инструментом в теории фильтрации и обработке сигналов, в популяционной генетике для моделирования генетического дрейфа и в статистической физике для описания систем, подверженных случайным шумам. Лишь немногие математические результаты двадцатого века, рожденные в правительственном статистическом бюро в статье, которую поначалу почти никто не читал, могут претендовать на то, чтобы сегодня находиться внутри программного обеспечения каждого крупного банка.

Почему Киёси называют гением

Аргументы в пользу гениальности Ито просты, но сильны: он не просто решил открытую проблему, он создал язык — интеграл, уравнение, правило дифференцирования, — который потребовался всей последующей сфере еще до того, как она смогла задать свои вопросы. Математики, работавшие в его традиции, описывают его построение 1942 года как момент, когда стохастический анализ стал строгим, а не эвристичным, объединив интуицию Леви с формализмом Колмогорова в инструменты, достаточно точные, чтобы выдержать вес, который позже на них возложили экономисты и физики. Честная сложность заключается в том, что это не было озарением, признанным мгновенно — по собственному признанию Ито, прошло более десятилетия, прежде чем более одного или двух математиков серьезно занялись этой работой, а ее взрывная практическая важность в финансах проявилась лишь десятилетия спустя, в значительной степени благодаря экономистам (Фишер Блэк, Майрон Шоулз, Роберт Мертон), применявшим инструменты, созданные Ито для других целей. Другими словами, его гениальность заключалась в терпеливом, уединенном создании точного механизма, полную ценность которого даже он сам не предвидел — это ближе к фундаментальной инфраструктуре инженера, чем к единому ослепительному доказательству.

Наследие

Ито умер 10 ноября 2008 года в Киото в возрасте 93 лет. Введенный им словарь — интеграл Ито, процесс Ито, лемма Ито — теперь настолько укоренился в теории вероятностей, физике и финансах, что его преподают аспирантам едва ли с упоминанием его происхождения в военном японском статистическом управлении. Премия Гаусса, увенчавшая его карьеру, теперь ежегодно вручается математикам, чья теоретическая работа изменила внешнюю область; сама жизнь Ито послужила образцом, для чествования которого была изобретена эта премия.