Карен Уленбек: аналитик, перестроившая геометрию

Мыльная пленка, натянутая на проволочный каркас, принимает форму поверхности с минимальной площадью. Карен Уленбек (Karen Uhlenbeck) построила карьеру на изучении того, что происходит, когда это невозможно — когда процесс минимизации энергии нарушается в отдельных точках и концентрируется в нечто, что математики теперь называют «пузырем». Статья, которую она написала совместно с Джонатаном Саксом (Jonathan Sacks), описывающая этот сбой, разделила дисциплину пополам. Геометр Франсуа Лабури (François Labourie) сказал: «Математика разделилась на то, что было до статьи Сакса-Уленбек, и то, что было после». В 2019 году она стала первой женщиной, получившей Абелевскую премию (Abel Prize).

Кливленд и библиотечный читательский билет

Карен Кескулла Уленбек (Karen Keskulla Uhlenbeck) родилась 24 августа 1942 года в Кливленде, штат Огайо, и была старшим из четырех детей инженера Арнольда Кескуллы (Arnold Keskulla) и художницы Кэролин Винделер Кескуллы (Carolyn Windeler Keskulla). Она выросла в сельской местности и была одержима чтением. «В детстве я много читала, я читала все подряд», — вспоминала она. — «Я ходила в библиотеку, а потом всю ночь читала». Лет в двенадцать отец дал ей книги Фреда Хойла (Fred Hoyle) по астрофизике; книга Георгия Гамова (George Gamow) «Один, два, три... бесконечность» (One, Two, Three... Infinity) захватила ее, потому что она объясняла, что бесконечности бывают разных размеров.

Она поступила в Мичиганский университет (University of Michigan), намереваясь изучать физику, но в 1964 году получила степень бакалавра по математике. Затем последовала магистратура в Брандейском университете (Brandeis University) в 1966 году и докторская степень в 1968 году под руководством Ричарда Пале (Richard Palais).

Дверь, которая не открывалась

Затем карьера застопорилась по причинам, не имеющим ничего общего с математикой. После года постдокторантуры в Массачусетском технологическом институте (MIT) и двух лет преподавания в Беркли (Berkeley), Уленбек не могла получить постоянную работу. Она прямо говорила о причинах: «Мне говорили... что людей не нанимают женщин, что женщины должны сидеть дома и рожать детей». Университеты, которые хотели нанять ее мужа — MIT, Стэнфорд (Stanford), Принстон (Princeton) — отказались нанять ее, ссылаясь на правила против кумовства, чтобы сделать отказ процедурным.

В 1971 году она получила должность в Иллинойском университете в Урбане-Шампейне (University of Illinois at Urbana-Champaign), и ее муж последовал за ней, построив свою карьеру вокруг ее успехов. Оттуда она перешла в Иллинойский университет в Чикаго (University of Illinois at Chicago) и получила звание профессора. Стипендия Макартура (MacArthur Fellowship) в 1983 году привела ее в Чикагский университет (University of Chicago), а с 1988 года она занимает должность профессора фонда Сида У. Ричардсона (Sid W. Richardson Foundation Regents Chair) в Техасском университете в Остине (University of Texas at Austin).

Пузырение

Работа Сакса-Уленбек касалась гармонических отображений (harmonic maps): того, что происходит с энергетическими функционалами для отображений из поверхностей в искривленные пространства. Пара показала, что последовательности, минимизирующие энергию, почти везде сходятся к гармоническим отображениям, но в отдельных точках анализ дает сбой, и выделяется энергия размером со сферу — происходит «пузырение» (bubbles off). Суть была не в том, что метод сломался, а в том, что у этого сбоя была точная, классифицируемая структура. Сингулярности перестали быть препятствием и стали объектом изучения. Пузырение теперь является стандартным элементом геометрического анализа.

Теория калибровки и революция Дональдсона

В начале 1980-х годов Уленбек применила те же аналитические инстинкты к уравнениям Янга-Миллса (Yang–Mills equations) — математике, лежащей в основе физики калибровочных полей. Она ввела новые системы координат, адаптированные к задаче, доказала теорему о компактности для связностей с ограниченной кривизной и установила свои результаты об устранимых сингулярностях — фактически показав, что в четырех измерениях «плохие» точки могут быть заполнены.

Это был тот механизм, которого ждала вся область. Ее инструменты позволили использовать инстантоны (instantons) геометрически, что и сделал Саймон Дональдсон (Simon Donaldson) в работе, за которую он получил Филдсовскую премию (Fields Medal). По оценке самого Дональдсона, результаты Уленбек «лежат в основе большинства последующих работ в этой области».

Интегрируемые системы и собственная область

Вместе с Найджелом Хитчином (Nigel Hitchin) и Чжу-Лянь Тэн (Chuu-Lian Terng) Уленбек показала, что гармонические отображения из поверхностей в однородные пространства образуют однопараметрические семейства, связывая их с бесконечномерными интегрируемыми системами (integrable systems) — мостом между геометрией и алгебраическим аппаратом теории солитонов.

В совокупности эта работа означает основание современного геометрического анализа: преднамеренное слияние сложных уравнений в частных производных с топологией и геометрией. Описание того, как это делалось, у Уленбек характерно негламурное — как будто «прыгаешь с палубы, не зная, что произойдет».

Расчищая путь

Она не относилась к своему прохождению через профессию как к личному делу. Уленбек стала сооснователем программы «Женщины и математика» в Институте перспективных исследований (Institute for Advanced Study) в Принстоне и помогла основать Математический институт Парк-Сити (Park City Mathematics Institute); ее наставничество женщин-математиков называют легендарным. Она отказывалась принимать самолюбование дисциплины по поводу прогресса. Получая премию Стила (Steele Prize) Американского математического общества (AMS) в 2007 году, она сказала: «Я по-прежнему весьма разочарована количеством женщин, занимающихся математикой и занимающих руководящие должности. На мой взгляд, это в основном связано с культурой математического сообщества, а также с суровым социальным давлением извне».

Награды накапливались: стипендия Макартура в 1983 году, Американская академия искусств и наук (American Academy of Arts and Sciences) в 1985 году, Коллоквиум AMS в том же году, Национальная академия наук (National Academy of Sciences) в 1986 году, лекция Нётер (Noether Lecture) в 1988 году, пленарный доклад на Международном конгрессе математиков (International Congress of Mathematicians) в 1990 году — лишь вторая женщина в истории, выступившая с ним, Национальная научная медаль (National Medal of Science) в 2000 году «за многочисленные новаторские вклады в глобальную геометрию», премия Стила в 2007 году, Абелевская премия в 2019 году, стипендия AWM в 2020 году и членство в Королевском обществе (Royal Society) в 2023 году.

Почему Карен называют гением

Речь идет об особом виде смелости: инстинкт Уленбек состоит в том, чтобы идти прямо в точку, где метод разрушается. Большинство математиков обходят сингулярности. Она относилась к месту, где анализ дает сбой, как к месту, где на самом деле «живет» геометрия, а затем строила технический аппарат для его описания. Именно поэтому ее результаты функционируют как инфраструктура — пузырение, компактность, устранимые сингулярности — это не столько теоремы, которые люди цитируют, сколько инструменты, которые люди используют, даже не замечая этого.

Люди, которые так говорят, — не рекламщики. В представлении к Абелевской премии ей отдается должное за «новаторские достижения в геометрических уравнениях в частных производных, теории калибровки и интегрируемых системах» и за «фундаментальное влияние» на анализ, геометрию и математическую физику, а Норвежская академия наук описала ее работу как создание некоторых из самых драматических достижений в математике за последние сорок лет. Дональдсон говорит, что ее результаты лежат в основе этой области. Сан-Юнг Элис Чанг (Sun-Yung Alice Chang) отмечает, что «ее влияние охватывает различные отрасли математики». Лабури проводит черту в истории на одной из ее работ.

Честный контраргумент состоит из двух частей. Во-первых, ее главные достижения являются «вспомогательными»: анализ, который она предоставила, сделал возможными главные теоремы других людей, а Филдсовская премия за геометрию инстантонов досталась Дональдсону. Делает ли это ее более или менее важной фигурой — это настоящий спор, а не решенный вопрос. Во-вторых, признание пришло поздно и теперь неотделимо от того факта, что она была первой — это рамка, которая рискует превратить грозного аналитика в символ, тихо пропуская саму математику. Сама Уленбек всегда старалась не претендовать на ясновидение. Ее собственный рассказ о работе заключается в том, что она прыгнула с палубы, не зная, что внизу.

Наследие

Геометрический анализ существует как связная дисциплина во многом потому, что Уленбек настаивала на том, что самые сложные доступные аналитические методы принадлежат геометрии. Пузыри, которые они с Саксом обнаружили в конце 1970-х годов, теперь являются стандартной частью того, как математики думают о пределах и неудачах, а женщины, которые пришли в эту область благодаря ее Принстонской программе, составляют второй, менее цитируемый, но не менее важный массив работ.