Тогда как природа не допускает более трёх измерений ... может справедливо казаться совершенно неправильным говорить о теле ... вытянутом в четвёртое, пятое, шестое или дальнейшее измерение.
John Wallis был английским священником и математиком, которому приписывается частичная заслуга в развитии исчисления бесконечно малых. С 1643 по 1689 год он служил главным криптографом парламента и позже королевского двора. Ему приписывается введение символа ∞ для обозначения понятия бесконечности. Он также использовал 1/∞ для обозначения бесконечно малой величины. John Wallis был современником Newton и одним из величайших интеллектуалов эпохи раннего возрождения математики.
Жизнь
John Wallis родился в Ashford, Kent. Он был третьим из пяти детей преподобного John Wallis и Joanna Chapman. Первоначально он учился в школе в Ashford, но переехал в школу James Movat в Tenterden в 1625 году после вспышки чумы. Wallis впервые познакомился с математикой в 1631 году в Felsted School, которая тогда была известна как школа Martin Holbeach в Felsted; ему нравилась математика, но его учёба была непостоянной, так как «математика в то время у нас была едва ли признана академическим предметом, но скорее механическим» Scriba 1970. В школе в Felsted Wallis научился говорить и писать на латыни. К этому времени он также свободно владел французским, греческим и еврейским языками. Поскольку предполагалось, что он станет врачом, в 1632 году его отправили в Emmanuel College, Cambridge. Там он подготовил выступление по учению о кровообращении; это, как говорят, было первым случаем в Европе, когда эта теория была публично отстаивала в диспуте. Однако его интересы были сосредоточены на математике. Он получил степень бакалавра искусств в 1637 году и магистра в 1640 году, а затем вступил в духовенство. С 1643 по 1649 год он служил неголосующим секретарём на Westminster Assembly. Он был избран членом-корреспондентом Queens' College, Cambridge в 1644 году, с которого ему пришлось уйти после своего брака.
В течение всего этого времени Wallis был близок к парламентской партии, возможно, благодаря его знакомству с Holbeach в Felsted School. Он оказал им большую практическую помощь в расшифровке королевских депеш. Качество криптографии в то время было неровным; несмотря на отдельные успехи математиков, таких как François Viète, принципы, лежащие в основе разработки и анализа шифров, очень плохо понимались. Большинство шифров были ad hoc методами, основанными на секретном алгоритме, а не на системах, основанных на переменном ключе. Wallis понял, что последние были намного безопаснее – даже называя их «неразборчивыми», хотя он был недостаточно уверен в этом утверждении, чтобы поощрять раскрытие криптографических алгоритмов. Он также беспокоился об использовании шифров иностранными державами, отказав, например, запросу Gottfried Leibniz от 1697 года преподавать ганноверским студентам криптографию.
Вернувшись в London – он был назначен капелланом в St Gabriel Fenchurch в 1643 году – Wallis присоединился к группе учёных, которая позже развилась в Royal Society. Он, наконец, смог посвятить себя своим математическим интересам, овладев Clavis Mathematicae William Oughtred за несколько недель в 1647 году. Вскоре он начал писать свои собственные трактаты, посвящённые широкому спектру тем, что он продолжал делать всю жизнь. Wallis написал первый обзор математических концепций в Англии, в котором обсуждал индийско-арабскую систему.
Wallis присоединился к умеренным пресвитерианам при подписании возражения против казни Charles I, чем он навлёк на себя длительную враждебность независимых. Несмотря на их оппозицию, в 1649 году он был назначен на должность Savilian Chair of Geometry в Oxford University, где жил до своей смерти 8 ноября 1703 года. В 1650 году Wallis был рукоположен в сан министра. После этого он провёл два года с Sir Richard Darley и Lady Vere в качестве частного капеллана. В 1661 году он был одним из двенадцати пресвитерианских представителей на Savoy Conference.
Помимо своих математических работ он писал по теологии, логике, английской грамматике и философии, и участвовал в разработке системы обучения глухого мальчика говорить в Littlecote House. William Holder ранее научил глухого человека, Alexander Popham, говорить «ясно и отчётливо, с хорошим и грациозным тоном». Позже Wallis заявил о своём авторстве, что привело Holder к обвинению Wallis в «грабеже своих соседей и украшении себя их добычей».
Назначение Wallis в должность Savilian Professor of Geometry в Oxford University
Парламентская визитация Oxford, которая началась в 1647 году, удалила многих старших академиков из их должностей, включая в ноябре 1648 года Savilian Professors of Geometry and Astronomy. В 1649 году Wallis был назначен Savilian Professor of Geometry. Кажется, что Wallis был выбран главным образом на политических основаниях, как, возможно, был его роялистский предшественник Peter Turner, который несмотря на своё назначение на две профессуры никогда не опубликовал никаких математических работ; в то время как Wallis был, возможно, ведущим криптографом страны и являлся частью неформальной группы учёных, которая позже стала Royal Society, он не имел особой репутации математика. Тем не менее, назначение Wallis оказалось богато оправданным его последующей работой в течение 54 лет, в течение которых он служил Savilian Professor.
Вклад в математику
Wallis внёс значительный вклад в тригонометрию, исчисление, геометрию и анализ бесконечных рядов. В его Opera Mathematica I 1695 году он ввёл термин «непрерывная дробь».
Wallis отвергал как абсурдную привычную идею отрицательного числа как чего-то меньшего, чем ничто, но принял точку зрения, что оно больше бесконечности. Аргумент о том, что отрицательные числа больше бесконечности, включает частное 1 x и рассмотрение того, что происходит, когда x приближается и пересекает точку x = 0 с положительной стороны. Несмотря на это, он обычно считается автором идеи числовой прямой, на которой числа представлены геометрически на линии с отрицательными числами, представленными длинами, противоположными по направлению длинам положительных чисел.
Аналитическая геометрия
В 1655 году Wallis опубликовал трактат о конических сечениях, в котором они определены аналитически. Это была первая книга, в которой эти кривые рассматривались и определялись как кривые второй степени. Это помогло устранить некоторые из воспринимаемых трудностей и неясностей в работе René Descartes по аналитической геометрии. В Treatise on the Conic Sections Wallis популяризировал символ ∞ для обозначения бесконечности. Он писал: «Я предполагаю, что любую плоскость, следуя геометрии неделимых Cavalieri, составляют бесконечное количество параллельных линий, или, как я предпочитаю, бесконечное количество параллелограммов одинаковой высоты; пусть высота каждого из них будет бесконечно малой частью 1/∞ всей высоты, и пусть символ ∞ обозначает бесконечность, а высота всех составляет высоту фигуры».
Интегральное исчисление
Arithmetica Infinitorum, самая важная из работ Wallis, была опубликована в 1656 году. В этом трактате методы анализа Descartes и Cavalieri были систематизированы и расширены, но некоторые идеи были открыты для критики. Он начал, после короткого трактата о конических сечениях, с развития стандартной нотации для степеней, распространяя их с положительных целых чисел на рациональные числа:
Оставив многочисленные алгебраические применения этого открытия, он затем приступил к нахождению путём интегрирования площади, ограниченной кривой y = xm, осью x и любой ординатой x = h, и доказал, что отношение этой площади к площади параллелограмма на одном основании и одной высоте составляет 1/m + 1, расширив формулу квадратуры Cavalieri. Он, видимо, предполагал, что тот же результат был бы верен также для кривой y = axm, где a любая постоянная и m любое число положительное или отрицательное, но он обсуждал только случай параболы, в котором m = 2, и гиперболы, в которой m = −1. В последнем случае его интерпретация результата неверна. Затем он показал, что аналогичные результаты могут быть записаны для любой кривой вида
и, следовательно, что если ордината y кривой может быть разложена в степени x, её площадь может быть определена: таким образом, он говорит, что если уравнение кривой y = x + x1 + x2 + ..., её площадь будет x + x2/2 + x3/3 + ... Затем он применил это к квадратуре кривых y = x − x2, y = x − x21, y = x − x22 и т. д., взятых между пределами x = 0 и x = 1. Он показывает, что площади соответственно равны 1, 1/6, 1/30, 1/140 и т. д. Затем он рассмотрел кривые вида y = x1/m и установил теорему, что площадь, ограниченная этой кривой и линиями x = 0 и x = 1, равна площади прямоугольника на одном основании и одной высоте как m : m + 1. Это эквивалентно вычислению
Он иллюстрировал это параболой, в случае которой m = 2. Он утверждал, но не доказывал, соответствующий результат для кривой вида y = xp/q.
Wallis проявил значительное мастерство в сведении уравнений кривых к приведённым выше формам, но, так как он был незнаком с биномиальной теоремой, он не мог выполнить квадратуру круга, уравнение которого y = 1 − x 2 можно рассматривать как среднее геометрическое значений
то есть 1 и 2 3 должны быть выбраны так, чтобы подчиняться закону этого ряда. Это, посредством сложного метода, который здесь не описан в деталях, приводит к значению интерполированного члена, который эквивалентен принятию
который теперь известен как произведение Wallis.
В этой работе также обсуждаются формирование и свойства непрерывных дробей, тема получившая известность благодаря использованию этих дробей Brouncker.
Несколько лет спустя, в 1659 году, Wallis опубликовал трактат, содержащий решение задач о циклоиде, которые были предложены Blaise Pascal. В этом он случайно объяснил, как принципы, изложенные в его Arithmetica Infinitorum, могли быть использованы для спрямления алгебраических кривых и дал решение задачи спрямления, то есть найти длину полукубической параболы x3 = ay2, которая была открыта в 1657 году его учеником William Neile. Поскольку все попытки спрямления эллипса и гиперболы обязательно были неудачными, предполагалось, что ни одна кривая не может быть спрямлена, как действительно определённо утверждал Descartes. Логарифмическая спираль была спрямлена Evangelista Torricelli и была первой кривой линией, отличной от круга, длина которой была определена, но расширение Neile и Wallis на алгебраическую кривую было новым. Циклоида была следующей спрямлённой кривой; это было сделано Christopher Wren в 1658 году.
В начале 1658 года аналогичное открытие, независимое от открытия Neile, было сделано van Heuraët, и это было опубликовано van Schooten в его издании Descartes's Geometria в 1659 году. Метод van Heuraët следующий. Он предполагает, что кривая отнесена к прямоугольным осям; если это так, и если x, y – координаты любой точки на ней, и n – длина нормали, и если другая точка, координаты которой x, η, выбрана так, что η : h = n : y, где h – постоянная; то, если ds – элемент длины требуемой кривой, мы имеем подобными треугольниками ds : dx = n : y. Следовательно, h ds = η dx. Отсюда, если можно найти площадь локуса точки x, η, первая кривая может быть спрямлена. Таким образом, van Heuraët осуществил спрямление кривой y3 = ax2, но добавил, что спрямление параболы y2 = ax невозможно, так как оно требует квадратуры гиперболы. Решения, дали Neile и Wallis, несколько похожи на решение van Heuraët, хотя общее правило не сформулировано, и анализ неловкий. Третий метод был предложен Fermat в 1660 году, но он неэлегантен и утомителен.
Столкновение тел
Теория столкновения тел была предложена Royal Society в 1668 году для рассмотрения математиков. Wallis, Christopher Wren и Christian Huygens отправили правильные и аналогичные решения, все зависящие от того, что теперь называется сохранением импульса; но, в то время как Wren и Huygens ограничили свою теорию совершенно упругими телами упругим столкновением, Wallis рассмотрел также несовершенно упругие тела неупругое столкновение. За этим последовала в 1669 году работа о статике центров тяжести и в 1670 году работа о динамике: они содержат удобный синопсис того, что было известно на тот момент по этому предмету.
Алгебра
В 1685 году Wallis опубликовал Algebra, предваренную историческим отчётом о развитии предмета, который содержит большое количество ценной информации. Второе издание, выпущенное в 1693 году и составляющее второй том его Opera, было значительно расширено. Эта алгебра замечательна тем, что содержит первое систематическое использование формул. Данная величина здесь представлена числовым отношением, которое она имеет к единице одного вида величины: таким образом, когда Wallis хочет сравнить две длины, он рассматривает каждую как содержащую столько единиц длины. Это, возможно, будет более ясно, если отметить, что отношение между пространством, описанным в любое время частицей, движущейся с равномерной скоростью, обозначается Wallis формулой
s = vt,
где s – число, представляющее отношение описанного пространства к единице длины; в то время
