Carl Gustav Jacob Jacobi

Carl Gustav Jacob Jacobi был немецким математиком, который внёс фундаментальный вклад в теорию эллиптических функций, динамику, дифференциальные уравнения, определители и теорию чисел. 

Jacobi был первым еврейским математиком, назначенным профессором в немецком университете.

Биография

Jacobi родился из ашкеназской еврейской семьи в Потсдаме 10 декабря 1804 года. Он был вторым из четырёх детей банкира Simon Jacobi. Его старший брат Moritz von Jacobi позже стал известным инженером и физиком. Первоначально он обучался на дому у своего дяди Lehman, который обучал его классическим языкам и основам математики. В 1816 году двенадцатилетний Jacobi поступил в Потсдамскую гимназию, где учащихся преподавали все стандартные предметы: классические языки, история, филология, математика, науки и прочее. Благодаря хорошему образованию, полученному от дяди, а также собственным замечательным способностям, менее чем за полгода Jacobi был переведён в старший класс несмотря на его молодой возраст. Однако поскольку университет не принимал студентов младше 16 лет, ему пришлось оставаться в старшем классе до 1821 года. Он использовал это время для расширения своих знаний, проявляя интерес ко всем предметам, включая латынь, греческий язык, филологию, историю и математику. В этот период он также сделал первые попытки исследований, пытаясь решить уравнение пятой степени в радикалах.

В 1821 году Jacobi поступил учиться в Берлинский университет, где сначала разделял своё внимание между увлечением филологией и математикой. По филологии он участвовал в семинарах Böckh, привлекая внимание профессора своим талантом. Jacobi не посещал много занятий по математике в университете, так как низкий уровень математики в Берлинском университете в то время делал их слишком элементарными для него. Однако он продолжал самостоятельно изучать более продвинутые работы Euler, Lagrange и Laplace. К 1823 году он понял, что ему нужно сделать выбор между конкурирующими интересами и выбрал посвятить всё своё внимание математике. В том же году он получил квалификацию для преподавания в средней школе и ему предложили должность в гимназии Joachimsthal в Берлине. Jacobi решил вместо этого продолжить работу в направлении получения должности в университете. В 1825 году он получил степень доктора философии с диссертацией о разложении рациональных дробей в ряд простых дробей, защищённой перед комиссией под руководством Enno Dirksen. Вслед за этим он прошёл хабилитацию и одновременно принял христианство. Теперь, имея право преподавать в университете, 21-летний Jacobi в 1825/26 году читал лекции по теории кривых и поверхностей в Берлинском университете.

В 1827 году Jacobi стал профессором, а в 1829 году – профессором с постоянным контрактом в области математики в университете Königsberg, и занимал эту должность до 1842 года. В 1843 году он перенёс нервный срыв от переутомления. Затем он посетил Италию на несколько месяцев, чтобы восстановить своё здоровье. По возвращении он переехал в Берлин, где жил в качестве королевского пенсионера до своей смерти. Во время революции 1848 года Jacobi был политически активен и безуспешно выдвинул свою кандидатуру в парламент от либерального клуба. Это привело после подавления революции к сокращению его королевского пособия – но его слава и репутация были такими, что вскоре оно было возобновлено. В 1836 году он был избран иностранным членом Королевской шведской академии наук.

Jacobi умер в 1851 году от оспы. Его могила сохранена на кладбище в районе Kreuzberg в Берлине, Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde 61 Baruther Street. Его могила находится рядом с могилой Johann Encke, астронома. Кратер Jacobi на Луне назван в его честь.

Научные достижения

Одним из величайших достижений Jacobi была его теория эллиптических функций и их связь с эллиптической тета-функцией. Это было развито в его великом трактате Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum 1829 года и в более поздних работах в Crelle's Journal. Тета-функции имеют большое значение в математической физике благодаря их роли в обратной задаче для периодических и квазипериодических потоков. Уравнения движения интегрируемы в терминах эллиптических функций Jacobi в хорошо известных случаях маятника, волчка Euler, симметричного волчка Lagrange в гравитационном поле и задачи Kepler планетарного движения в центральном гравитационном поле.

Он также сделал фундаментальные вклады в изучение дифференциальных уравнений и классической механики, особенно в теорию Hamilton–Jacobi.

Особенная сила Jacobi проявлялась в алгебраическом развитии, и он сделал важные вклады этого рода во многих областях математики, как показывает его длинный список работ в Crelle's Journal и других изданиях с 1826 года. Говорят, что он советовал своим студентам, что при поиске темы для исследования следует 'Invert, always invert' 'man muss immer umkehren', отражая его убеждение, что инверсия известных результатов может открыть новые области для исследований, например инверсия эллиптических интегралов и фокусировка на природе эллиптических и тета-функций.

В своей работе 1835 года Jacobi доказал следующий фундаментальный результат, классифицирующий периодические функции, включая эллиптические: если одномерная однозначная функция имеет несколько периодов, то такая функция не может иметь более двух периодов, и отношение периодов не может быть действительным числом. Он открыл многие фундаментальные свойства тета-функций, включая функциональное уравнение и формулу тройного произведения Jacobi, а также множество других результатов по q-рядам и гипергеометрическим рядам.

Решение проблемы инверсии Jacobi для гиперэллиптического отображения Abel, сделанное Weierstrass в 1854 году, потребовало введения гиперэллиптической тета-функции и позже общей тета-функции Riemann для алгебраических кривых произвольного рода. Комплексный тор, связанный с родом g решёткой периодов, называется многообразием Jacobian. Этот метод инверсии и его последующее расширение Weierstrass и Riemann на произвольные алгебраические кривые можно рассматривать как обобщение на более высокий род связи между эллиптическими интегралами и эллиптическими функциями Jacobi или Weierstrass.

Jacobi был первым, кто применил эллиптические функции к теории чисел, например доказав теорему Fermat о двух квадратах и теорему Lagrange о четырёх квадратах, а также аналогичные результаты для 6 и 8 квадратов. Его другие работы в теории чисел продолжали работу C. F. Gauss: новые доказательства квадратичного закона взаимности и введение символа Jacobi; вклады в законы более высокой взаимности, исследования непрерывных дробей и изобретение сумм Jacobi.

Он был также одним из ранних основателей теории определителей. В частности, он изобрёл определитель Jacobian, составленный из n2 частных производных n данных функций n независимых переменных, который играет важную роль в изменении переменных в кратных интегралах и во многих аналитических исследованиях. В 1841 году он переввёл обозначение частной производной ∂ от Legendre, которое стало стандартным.

Он был одним из первых, кто ввёл и изучал симметричные многочлены, которые теперь известны как многочлены Schur, дав так называемую биальтернантную формулу для них, которая является частным случаем формулы характера Weyl, и выведя тождества Jacobi–Trudi. Он также открыл формулу Desnanot–Jacobi для определителей, которая лежит в основе отношений Plucker для Grassmannians.

Студенты, изучающие векторные поля, теорию Lie, гамильтонову механику и алгебры операторов, часто встречаются с тождеством Jacobi, аналогом ассоциативности для операции скобки Lie.

Теория планет и другие частные динамические задачи также время от времени привлекали его внимание. Внося вклад в небесную механику, он ввёл интеграл Jacobi в 1836 году для звёздной системы координат. Его теория последнего множителя изложена в Vorlesungen über Dynamik, отредактировано Alfred Clebsch в 1866 году.

Carl Gustav оставил много рукописей, части которых были опубликованы от случая к случаю в Crelle's Journal. Его другие работы включают Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem 1832, Canon arithmeticus 1839 и Opuscula mathematica 1846–1857. Его Gesammelte Werke 1881–1891 были опубликованы Берлинской академией.

Интересный факт

Имя Carl Gustav иногда писалось как Carolus Gustavus Iacobus Iacobi в его латинских книгах, и его имя иногда дают как Karl.