Джузеппе Пеано: человек, который заставил математику говорить то, что она имела в виду

В августе 1900 года на Международном философском конгрессе в Париже Бертран Рассел (Bertrand Russell) наблюдал за тем, как невысокий итальянский профессор громил противника за противником. «Я заметил, что он всегда был точнее всех остальных, — писал позже Рассел, — и что он неизменно выходил победителем из любого спора, в который вступал». Рассел уехал домой с пачкой работ Пеано и удалился в деревню, чтобы в тишине изучить каждое слово, написанное им или его учениками. С этого момента, по сути, берет начало современная аналитическая философия.

Ферма в Спинетте

Пеано родился 27 августа 1858 года на ферме недалеко от Кунео в Пьемонте, который тогда входил в Сардинское королевство. Его родители были сельскохозяйственными рабочими; он посещал сельскую школу в Спинетте, а затем ежедневно проходил пять километров пешком до школы в Кунео. Спасение пришло благодаря семье. Его дядя по материнской линии, священник и юрист в Турине, разглядел способности мальчика и в 1870 году привез его в город для получения полноценного среднего образования в лицее Кавур (Liceo Cavour).

В 1876 году он поступил в Туринский университет. Д'Овидио (D'Ovidio) преподавал ему аналитическую геометрию и алгебру на первом курсе, Анджело Дженоччи (Angelo Genocchi) — математический анализ на втором, и к третьему курсу он остался единственным студентом на факультете, изучавшим чистую математику — все остальные перевелись на инженерное дело. Он получил докторскую степень 29 сентября 1880 года, и университет оставил его ассистентом сначала у Д'Овидио, а затем у Дженоччи, который занимал кафедру анализа.

Человек, находивший ошибки

Характерная черта Пеано проявилась почти сразу. В 1882 году, работая со стандартным учебником по анализу Серре (Serret), он обнаружил, что определение площади кривой поверхности было неверным. Он принес его Дженоччи и узнал, что Шварц (Schwarz) уже заметил это, — но инстинкт был сформирован и никогда его не покидал. Он всю жизнь посвятил чтению работ других математиков и поиску мест, где рассуждения тихо давали сбой.

Это не было хобби. Когда Коррадо Сегре (Corrado Segre) защищал нестрогие утверждения на том основании, что момент открытия важнее строгой формулировки, ответ Пеано был уничтожающим: «Я считаю, что в истории математики впервые авторы сознательно используют в своих исследованиях положения, для которых известны исключения или для которых у них нет доказательств». Он разгромил доказательства Германа Лорана (Hermann Laurent), а рецензируя книгу Веронезе (Veronese), заключил, что ее ошибки и отсутствие строгости лишают ее всякой ценности. Он постоянно наживал врагов.

Когда здоровье Дженоччи пошатнулось, Пеано взял на себя чтение лекций по анализу, и в 1884 году работа Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale (Принципы дифференциального и интегрального исчисления) вышла под именем Дженоччи. Дженоччи, проявив благородство, сделал публичное заявление: все, по его словам, было заслугой «того выдающегося молодого человека, доктора Джузеппе Пеано».

Две бомбы: 1889 и 1890 годы

В 1889 году Пеано опубликовал работу Arithmetices principia, nova methodo exposita (Принципы арифметики, изложенные новым методом). В ней он сформулировал аксиомы, которые до сих пор носят его имя, — стандартную аксиоматизацию натуральных чисел, выводя всю арифметику из начальной точки, операции следования и индукции. Это одновременно веха в истории математической логики и в основаниях математики. Он написал ее на латыни, что один историк назвал чистым романтизмом.

Год спустя появилась кривая, заполняющая пространство. Кантор (Cantor) доказал, что единичный интервал и единичный квадрат имеют одинаковую мощность; Нетто (Netto) показал, что такое соответствие не может быть одновременно взаимно однозначным и непрерывным. Пеано построил непрерывную кривую, проходящую через каждую точку квадрата, — отказавшись от инъективности ради непрерывности и разрушив в процессе все привычные представления о том, что такое кривая и что означает размерность. Хаусдорф (Hausdorff) назвал это одним из самых примечательных фактов теории множеств. Рядом с этим стоят теорема Пеано о существовании решений дифференциальных уравнений, мера Пеано—Жордана (Peano–Jordan) и теорема Пеано о ядре.

В 1889 году он был назначен профессором первого класса в Королевской военной академии, в 1890-м — экстраординарным профессором анализа в Турине, а в 1895-м — ординарным профессором.

Язык для математики

С 1891 года Пеано занимался проектом, который поглотил остаток его профессиональной жизни: Formulario Mathematico — энциклопедией, предназначенной для включения всех известных формул и теорем математики, каждая из которых была сформулирована в стандартной символической нотации его собственного изобретения. «Такой сборник, — писал он, — который был бы долгим и трудным на обычном языке, стал заметно проще благодаря использованию нотации математической логики».

Нотация стала его главным достижением. Символы, которые профессиональные математики используют каждый день для обозначения принадлежности, объединения, пересечения и существования, ведут свое происхождение от Пеано. Финальное издание 1908 года содержало 4200 формул и теорем, все они были полностью изложены, а большинство — доказаны. Почти никто их не читал.

Почему Джузеппе называют гением

Его уникальная способность заключалась в своего рода беспощадной семантической ясности: умении взглянуть на математическое предложение, которое все принимали, и точно увидеть, какое слово выполняет непроверенную работу, — а затем либо исправить его новым символом, либо разрушить контрпримером. Кривая, заполняющая пространство, и аксиомы арифметики — это одна и та же способность, направленная в противоположные стороны: одна разрушает ложную интуицию, другая перестраивает фундамент так, чтобы интуиция была вовсе не нужна.

Этим словом его называли люди, чье мнение чего-то стоило. Рассел называл нотацию Пеано «инструментом логического анализа, который я искал годами». Хаусдорф называл кривую одним из самых примечательных фактов теории множеств. Его биограф Кеннеди (Kennedy) считал его одним из величайших ученых своего века.

Обратная сторона медали необычайно ясна, и поклонники Пеано сами признают ее. Его оригинальность была сосредоточена в годы до 1900-го; после этого он вложил огромную энергию в два проекта — «Формуляр» и искусственный язык, — которые математическое сообщество просто не использовало. Он был настолько увлечен обучением своим символам, что пренебрег анализом, за преподавание которого ему платили, и в 1901 году Военная академия уволила его; только институциональная автономия Туринского университета спасла его профессорскую должность. И хотя Пеано основал математическую логику как рабочую практику, отцом ее обычно называют Готлоба Фреге (Gottlob Frege). Гений Пеано был реальным, узким и частично растраченным своим владельцем.

Латынь без грамматики

В 1903 году он анонсировал Latino sine flexione — латынь без словоизменения, со словарем, взятым из латинского, английского, французского и немецкого языков, задуманную как универсальный вспомогательный язык для науки. 3 января 1908 года он прочитал в Туринской академии наук доклад, который начался на обычной латыни и, через череду упрощений, закончился на новом языке. Его избрали директором Academia pro Interlingua, которая отказалась от языка Idiom Neutral в пользу его проекта. На нем он написал финальный «Формуляр», что никак не помогло привлечению читателей.

Последняя лекция

В 1887 году он женился на Кароле Крозио (Carola Crosio), дочери туринского художника Луиджи Крозио (Luigi Crosio). Награды накапливались постоянно: Академия наук Турина в 1891 году, орден Святых Маврикия и Лазаря в 1901-м, член-корреспондент Академии деи Линчеи (Accademia dei Lincei) в 1905-м, командор ордена Короны Италии в 1921-м. Он преподавал в Турине до дня своей смерти, последовавшей от сердечного приступа 20 апреля 1932 года в возрасте семидесяти трех лет. Каждый студент, пишущий о том, что элемент принадлежит множеству, использует его почерк.