Георг Кантор: человек, сделавший бесконечность счетной

В январе 1874 года Кантор задал вопрос своему другу Рихарду Дедекинду (Richard Dedekind): «Можно ли поставить поверхность (скажем, квадрат, включая границу) в однозначное соответствие линии... так, чтобы каждой точке на поверхности соответствовала точка на линии, и наоборот?» Он предположил, что ответ — явно нет. Три года спустя он доказал, что ответ — да: целый квадрат, и вообще пространство любого количества измерений, содержит ровно столько же точек, сколько один линейный отрезок. Он немедленно написал Дедекинду: «Я вижу это, но не могу в это поверить!»

Сын купца в Санкт-Петербурге

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor) родился 3 марта 1845 года в Санкт-Петербурге. Его отец, Георг Вальдемар Кантор (Georg Waldemar Cantor), был успешным купцом; его мать, Мария Анна Бём (Maria Anna Böhm), была русской и обладала заметным музыкальным талантом. В 1856 году, когда Георгу было одиннадцать, состояние здоровья отца заставило семью переехать в Германию, где они сначала обосновались в Висбадене.

Он учился в гимназии во Франкфурте и в реальном училище в Дармштадте, окончив его в 1860 году с исключительными оценками по математике и тригонометрии. Отец прочил его в инженеры, но Кантор добился разрешения изучать математику. В 1862 году он поступил в Цюрихский политехникум (Zürich Polytechnic), а после смерти отца в июне 1863 года перевелся в Берлинский университет, где учился у Вейерштрасса (Weierstrass), Куммера (Kummer) и Леопольда Кронекера (Leopold Kronecker) и подружился с Германом Шварцем (Hermann Schwarz). Его диссертация по неопределенным уравнениям была завершена в 1867 году.

Галле и проблема Гейне

После короткого периода преподавания в женской школе в Берлине, Кантор в 1869 году присоединился к Галлескому университету (University of Halle) — провинциальному учреждению, где он провел всю свою карьеру. Его коллега Гейне (Heine) дал ему давнюю проблему об однозначности представлений тригонометрических рядов. Кантор решил её к апрелю 1870 года.

Эта проблема стала зерном всего последующего. Отслеживание исключительных точек, где такой ряд может вести себя неправильно, заставило его серьезно задуматься о бесконечных множествах точек, и к 1872 году он определил иррациональные числа с помощью сходящихся последовательностей рациональных чисел и начал переписку с Дедекиндом, которая поддерживала его целое десятилетие.

Больше, чем одна бесконечность

В 1874 году Кантор опубликовал результат, который перевернул мир. Он доказал, что рациональные числа можно поставить в однозначное соответствие с натуральными числами — они счетны, — тогда как действительные числа — нет. Существует не одна бесконечность; их как минимум две, и они разного размера.

Метод был тем критерием, который он изобрел: два множества имеют одинаковый размер, если их члены могут быть точно спарены, независимо от того, насколько велико каждое из них. Это выглядело как трюк, и последствия были немедленными и ошеломляющими. Кантор заметил, что из этого следует, что «почти все» числа являются трансцендентными, а не алгебраическими — доказательство существования целого класса чисел, полученное без предъявления хотя бы одного из них.

Трансфинитные числа

Его статья 1878 года в Журнале (Journal) Крелле (Crelle) ввела термин «счетные множества». Враждебность Кронекера едва не заблокировала публикацию, и Дедекинду пришлось вмешаться; Кантор больше никогда не публиковался в журнале Крелле.

Между 1879 и 1884 годами он опубликовал шесть статей в Mathematische Annalen, заложивших основы теории множеств. В работе 1883 года Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre трансфинитные числа были представлены как «автономное и систематическое расширение натуральных чисел» — не уловки или пределы, а числа, которые можно упорядочивать и с которыми можно производить арифметические операции. Он знал, что делает: «Я осознаю, что в этом начинании я ставлю себя в оппозицию к широко распространенным взглядам на математическую бесконечность».

Он обозначил трансфинитные кардиналы еврейской буквой алеф, где ℵ₀ — наименьший, а размер действительных чисел выразил как 2^ℵ₀. Это подняло вопрос, который поглотил остаток его жизни. Является ли континуум следующей бесконечностью после счетной — равен ли 2^ℵ₀ = ℵ₁? Против конструктивизма Кронекера он выпустил свой манифест: «сущность математики заключается именно в её свободе».

Срыв, Бэкон и Папа

Кантор пережил свою первую зафиксированную депрессию в мае 1884 года. Старая история гласит, что преследования Кронекера свели его с ума; современные интерпретации меняют причинно-следственную связь, утверждая, что депрессия усиливала его математические тревоги, а не была вызвана ими. Годами он метался между убеждением, что доказал истинность континуум-гипотезы, и убеждением, что доказал её ложность, каждый раз находя ошибку.

В 1885 году Миттаг-Леффлер (Mittag-Leffler) убедил его отозвать статью из Acta Mathematica на том основании, что она опередила время лет на сто. Шутка Кантора была горькой: «Если бы всё зависело от Миттаг-Леффлера, мне пришлось бы ждать до 1984 года, что для меня было слишком большим требованием!» Их переписка фактически прекратилась, а вместе с ней и двенадцатилетний творческий подъем, создавший теорию множеств.

В периоды депрессии он обращался к философии и литературе, зациклившись на теории о том, что Фрэнсис Бэкон (Francis Bacon) написал пьесы Шекспира, и опубликовал об этом брошюры в 1896–97 годах. Он также был глубоко религиозен и верил, что трансфинитные числа были сообщены ему Богом. Он переписывался с католическими теологами о природе бесконечного и писал напрямую Папе Льву XIII (Pope Leo XIII), надеясь, что его математика может внести вклад в церковное учение.

Последние десятилетия

Около 1890 года он основал Немецкое математическое общество (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) и стал его первым президентом. Его последние крупные статьи, вышедшие в 1895 и 1897 годах, охватывали трансфинитную арифметику и вполне упорядоченные множества. На Международном конгрессе в Цюрихе в 1897 году его публично хвалили Гурвиц (Hurwitz) и Адамар (Hadamard), и он примирился с Дедекиндом.

К тому времени он сам нашел трещины, сообщив Гильберту (Hilbert) в 1896 году о парадоксах, скрывающихся в теории множеств; Бурали-Форти (Burali-Forti) независимо опубликовал один из них в 1897 году. Личные потери следовали одна за другой — мать в октябре 1896 года, брат в январе 1899 года, младший сын 16 декабря 1899 года. Депрессия доминировала в остальной части его жизни, и после 1900 года он проводил долгие периоды в психиатрической клинике (Nervenklinik) в Галле, беря отпуска от преподавания зимой 1902–03, 1904–05 и 1907–08 годов. Он получил медаль Копли (Copley Medal) Королевского общества и почетную степень университета Сент-Эндрюс, куда ездил в 1911 году на 500-летие университета. Он умер от сердечного приступа в Галле 6 января 1918 года.

Почему Георга называют гением

Гильберт сам подобрал это слово, назвав работу Кантора «лучшим продуктом математического гения и одним из величайших достижений чисто интеллектуальной деятельности человека». Особым качеством была готовность доверять определению больше, чем интуиции. Все до него рассматривали бесконечность как направление, а не как количество. Кантор предложил критерий одинаковости размера — точное спаривание — без колебаний применил его к бесконечным множествам и следовал за ним всюду, куда бы он ни вел, включая выводы, в которые он сам не мог поверить. «Я вижу это, но не могу в это поверить» — фраза человека, которого ведет его собственная логика, и который все равно идет.

Стоит сказать и о противоположной стороне. Он так и не решил континуум-гипотезу, неоднократно убеждая себя, что сделал это — в обоих направлениях — прежде чем находил свои ошибки, что говорит как о его суждениях, так и о глубине проблемы. Гёдель (Gödel) и Коэн (Cohen) в конечном итоге показали, что гипотеза независима от стандартных аксиом, так что то, за чем он гнался тридцать лет, не могло быть поймано. То, что он построил, было также незаконченным и противоречивым: он обнаружил парадоксы в своей собственной системе, и потребовалась аксиоматизация Цермело (Zermelo), а позже Франкеля (Fraenkel) и фон Неймана (von Neumann), чтобы сделать теорию множеств безопасной. Его убежденность в том, что трансфинитные числа пришли от Бога, его лоббирование Ватикана и его бэконианские брошюры говорят о уверенности, которая не всегда была хорошо откалибрована. И он так и не получил престижную кафедру, которую хотел, проведя сорок лет в Галле.

Наследие

Теория множеств стала фундаментом, на котором держится современная математика, от Principia Mathematica до аксиом Цермело-Френкеля (Zermelo–Fraenkel axioms), которые математики используют до сих пор. Признание Гильберта осталось навсегда: никто не изгонит нас из рая, который создал Кантор.