Эрнест Майкл: Как выбирать, не выбирая плохо

В 1956 году молодой тополог из Вашингтонского университета опубликовал теорему о принятии решений. Если задано правило, которое сопоставляет каждой точке не одно значение, а целый набор приемлемых значений, когда можно выбрать по одному из каждого — непрерывно, так, чтобы близкие точки получали близкие выборы? Ответ, который он дал, используется сегодня каждый раз, когда экономист доказывает существование равновесия или теоретик управления доказывает, что системой можно управлять. Пятьдесят лет спустя журнал посвятил целый специальный выпуск тому, что из этого выросло, и назвал 1956 год «годом рождения этой теории».

Цюрих, Берлин, Гаага, Нью-Йорк

Майкл родился в Цюрихе 26 августа 1925 года в семье Якоба и Эрны Майкл, ашкеназской еврейской семье.

Следующие четырнадцать лет читаются как карта континента, который катится в пропасть. Семья уехала из Берлина в 1932 году — за год до прихода Гитлера к власти, что означает, что они прочитали ситуацию рано и правильно. Они отправились в Гаагу. В 1939 году, когда до вторжения в Нидерланды оставались считанные месяцы, они снова эмигрировали, на этот раз в Нью-Йорк. Позже Майкла будут описывать как американца швейцарского и немецкого происхождения; каждое из этих слов было куплено ценой отъезда.

Он окончил школу Горация Манна в пятнадцать лет. Он поступил в Корнелл, но война прервала его учебу: с 1944 по 1946 год он служил на борту USS Kwajalein, а затем вернулся, чтобы получить степень бакалавра в 1947 году. В 1948 году последовала степень магистра в Гарварде, а в 1951 году — докторская степень в Чикагском университете под руководством Ирвинга Сигала с диссертацией по локально мультипликативно-выпуклым топологическим алгебрам.

Сорок один год в Сиэтле

В 1952 году Майкл присоединился к математическому факультету Вашингтонского университета. Он был доцентом с 1952 по 1956 год, адъюнкт-профессором с 1956 по 1960 год и профессором с 1960 года до выхода на пенсию в 1993 году — сорок один год на одном факультете, в жизни, первые четырнадцать лет которой вместили три страны.

Он путешествовал из этой базы, а не переезжал снова: четыре отдельных периода в качестве приглашенного исследователя в Институте перспективных исследований, год в ETH Цюриха в 1973–74 годах — возвращение в город своего рождения — и год в Штутгартском университете в 1978–79 годах.

Теорема о селекции

Результат 1956 года касается многозначных отображений, иногда называемых соответствиями или мультифункциями.

Обычная функция дает один выход на вход. Многозначное отображение дает целый набор: для каждой цены — набор количеств, которые фирма может оптимально произвести; для каждого состояния машины — набор допустимых управлений. Селекция — это обычная функция, которая выбирает один элемент из каждого такого набора. Селекции существуют всегда, если принять аксиому выбора, но они, как правило, будут крайне разрывными, а разрывный выбор бесполезен для целей, которые на самом деле есть у людей.

Теорема Майкла о селекции дает условия, при которых существует непрерывная селекция: грубо говоря, область определения должна быть паракомпактной, а отображение — полунепрерывным снизу с замкнутыми выпуклыми значениями. Эта теорема — причина, по которой работает большая часть современного анализа. Аргументы о неподвижной точке в математической экономике, теория дифференциальных включений, оптимизация и управление — все они в какой-то момент зависят от возможности непрерывного выбора из движущегося множества.

Он не остановился на этой теореме. Он основал вокруг нее целую теорию непрерывных селекций, и статья 1956 года по праву считается началом этой области.

Прямая Майкла

Его другая знаменитая конструкция — это контрпример, и он является одним из самых цитируемых в общей топологии.

Топологи давно хотели, чтобы свойства хорошо вели себя при умножении — если два пространства хороши, то их произведение должно быть хорошим. Прямая Майкла убивает эту надежду для конкретной и важной пары. Это паракомпактное пространство, произведение которого с пространством иррациональных чисел даже не является нормальным.

Контрпримеры такого качества выполняют особую работу в математике. Они отмечают границу возможного и спасают всех, кто придет после, от траты лет на попытки доказательства чего-то ложного. Имя Майкла также связано с топологией произведения Майкла и результатами о замкнутых подпространствах, и он опубликовал более ста статей по общей топологии в Transactions, Annals и Duke о гиперпространствах подмножеств, паракомпактности, непрерывных селекциях и поведении нормальных пространств.

Почему Эрнеста называют гением

Самое сильное доказательство — это долговечность особого и необычного рода. Одна статья, опубликованная в 1956 году, спустя пятьдесят лет все еще порождала достаточно новой математики, чтобы журнал Topology and Its Applications посвятил юбилею специальный выпуск. Очень немногие результаты этого удостаиваются.

Вовлеченное когнитивное качество стоит назвать точно, потому что это не просто грубая вычислительная мощность. Дар Майкла заключался в поиске точных гипотез — минимальных условий, при которых желаемое утверждение истинно, в сочетании с острыми примерами, показывающими, что происходит, как только вы их ослабляете. Теорема о селекции и прямая Майкла — это один и тот же талант, направленный в противоположные стороны: один отображает, где почва твердая, другой точно отмечает, где она проседает. Математики такого типа встречаются реже, чем решатели задач, и более полезны для долгосрочного здоровья области, потому что они определяют ее географию.

Честный контраргумент заключается в том, что знаменитая работа Майкла узка по площади поверхности. Общая топология во второй половине двадцатого века не была центром тяжести дисциплины; его главной наградой стало включение в первый класс стипендиатов Американского математического общества в 2012 году, большое и коллективное отличие, которое пришло через пятьдесят шесть лет после теоремы. Он не получил ни премии Вольфа, ни премии Стила, ни членства в национальной академии, зафиксированного в доступных источниках. Нет записей о том, чтобы кто-то из коллег называл его гением. Большая часть славы его теоремы о селекции заимствована у пользователей — экономистов и теоретиков управления, которые цитируют ее как лемму, вообще не вникая в ее топологию. Справедливый вердикт заключается в том, что Майкл был математиком исключительной точности, который нашел одну теорему настолько точно правильную, что она пережила моду его собственной области.

Наследие

Майкл вышел на пенсию в 1993 году и умер 29 апреля 2013 года в возрасте восьмидесяти семи лет в Сиэтле.

Теорема есть в каждом учебнике для аспирантов по многозначному анализу. Прямая Майкла есть в каждом курсе топологии, где обсуждаются произведения. И то, и другое преподается большую часть времени без упоминания того, что их автор был еврейским мальчиком, который покинул Берлин в 1932 году, пересек океан перед вторжением, служил на Тихом океане, а затем сорок один год просидел в комнате в Сиэтле, выясняя, когда именно возможно сделать хороший выбор.