Если мы придём к уравнению, содержащему с каждой стороны одинаковый член, но с разными коэффициентами, мы должны вычесть равные из равных, пока не получим один член, равный другому члену. Но если есть на одной или на обеих сторонах отрицательные члены, недостатки должны быть добавлены на обе стороны, пока все члены на обеих сторонах не станут положительными. Затем мы должны вычесть равные из равных, пока на каждой стороне не останется по одному члену.
Диофант Александрийский был александрийским математиком, автором серии книг под названием «Арифметика», многие из которых теперь утеряны. Его тексты посвящены решению алгебраических уравнений. Читая издание «Арифметики» Диофанта, подготовленное Claude Gaspard Bachet de Méziriac, Pierre de Fermat заключил, что определённое уравнение, рассмотренное Диофантом, не имеет решений, и заметил на полях без пояснений, что он нашёл «поистине чудесное доказательство этого утверждения», теперь известное как Великая теорема Ферма. Это привело к огромному прогрессу в теории чисел, и изучение диофантовых уравнений, «диофантовой геометрии» и диофантовых приближений остаются важными областями математических исследований. Диофант ввёл термин παρισότης parisotes для обозначения приблизительного равенства. Этот термин был переведён на латынь как adaequalitas и стал техникой адекватности, разработанной Pierre de Fermat для нахождения максимумов функций и касательных линий к кривым. Диофант был первым греческим математиком, который признал дроби числами; таким образом он допускал положительные рациональные числа для коэффициентов и решений. В современном использовании диофантовы уравнения обычно являются алгебраическими уравнениями с целыми коэффициентами, для которых ищут целые решения.
Биография
О жизни Диофанта известно очень мало. Он жил в Alexandria, Egypt, во времена Римской империи, вероятно, между 200 и 214 годами нашей эры до 284 или 298 года. Диофант различным образом описывался историками либо как грек, либо как возможно эллинизированный египтянин, либо как эллинизированный вавилонянин. Многие из этих отождествлений могут быть результатом путаницы с риторником IV века Диофантом Арабом. Большая часть наших знаний о жизни Диофанта происходит из греческой антологии V века с числовыми играми и головоломками, созданной Metrodorus. Одна из задач, иногда называемая его эпитафией, гласит:
«Здесь покоится Диофант», чудо, вот это дело. Через искусство алгебры камень рассказывает, сколько ему было: «Бог дал ему в детстве шестую часть жизни, Двенадцатую часть ещё, когда отрастали волосы на лице; И затем ещё одну седьмую, прежде чем начался брак; Через пять лет родился долгожданный сын. Увы, дорогой ребёнок учёного мужа После того, как прожил половину жизни отца, суровая судьба его взяла. После четырёх лет утешения наукой чисел он закончил свою жизнь.»
Эта головоломка предполагает, что возраст Диофанта x можно выразить как
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
что даёт x значение 84 года. Однако точность информации не может быть независимо подтверждена.
В популярной культуре эта головоломка была головоломкой № 142 в Professor Layton and Pandora's Box как одна из самых сложных головоломок в игре, которую нужно было разблокировать, решив сначала другие головоломки.
Арифметика
«Арифметика» — это главный труд Диофанта и наиболее известное произведение по алгебре в греческой математике. Это сборник задач, дающих численные решения как определённых, так и неопределённых уравнений. Из оригинальных тринадцати книг, из которых состояла «Арифметика», сохранилось только шесть, хотя есть те, кто полагает, что четыре арабские книги, обнаруженные в 1968 году, также принадлежат Диофанту. Некоторые диофантовы задачи из «Арифметики» были найдены в арабских источниках.
Следует отметить, что Диофант никогда не использовал общие методы в своих решениях. Hermann Hankel, известный немецкий математик, сделал следующее замечание о Диофанте.
«У нашего автора Диофанта не малейшего следа общего, всеобъемлющего метода не видно; каждая задача требует какого-то специального метода, который не работает даже для самых близких по отношению к ней задач. По этой причине современному учёному трудно решить 101-ю задачу даже после изучения 100 решений Диофанта».
История
Как и многие другие греческие математические трактаты, Диофант был забыт в Западной Европе в так называемые Тёмные века, так как изучение древнегреческого языка и грамотность в целом значительно снизились. Часть греческой «Арифметики», которая пережила, однако, как и все древнегреческие тексты, передаваемые в ранний современный мир, была скопирована и, таким образом, известна средневековым византийским учёным. Схолии на Диофанта, написанные византийским греческим учёным John Chortasmenos 1370–1437, сохранились вместе с подробным комментарием, написанным более ранним греческим учёным Maximos Planudes 1260–1305, который подготовил издание Диофанта в библиотеке монастыря Chora в византийском Constantinople. Кроме того, часть «Арифметики» вероятно пережила в арабской традиции см. выше. В 1463 году немецкий математик Regiomontanus писал:
Никто ещё не перевёл с греческого на латынь тринадцать книг Диофанта, в которых скрыт самый цвет всей арифметики . . . .
«Арифметика» была впервые переведена с греческого на латынь Bombelli в 1570 году, но перевод никогда не был опубликован. Однако Bombelli позаимствовал много задач для своей собственной книги Algebra. Editio princeps «Арифметики» была опубликована в 1575 году Xylander. Самый известный латинский перевод «Арифметики» был сделан Bachet в 1621 году и стал первым латинским изданием, которое было широко доступно. Pierre de Fermat владел копией, изучал её и делал заметки на полях.
Маргинальные записи Ферма и Chortasmenos
Издание «Арифметики» 1621 года Bachet приобрело известность после того, как Pierre de Fermat написал свою знаменитую «Последнюю теорему» на полях своей копии:
Если целое число n больше 2, то an + bn = cn не имеет решений в ненулевых целых числах a, b и c. У меня есть поистине чудесное доказательство этого утверждения, но эти поля слишком узки, чтобы его вместить.
Доказательство Ферма так и не было найдено, и проблема поиска доказательства этой теоремы оставалась нерешённой на протяжении веков. Доказательство было наконец найдено в 1994 году Andrew Wiles после семи лет работы над ним. Считается, что Ферма на самом деле не имел доказательства, которое он утверждал имел. Хотя оригинальная копия, на которой Ферма это написал, сегодня потеряна, сын Ферма отредактировал следующее издание Диофанта, опубликованное в 1670 году. Несмотря на то, что текст в целом уступает изданию 1621 года, аннотации Ферма — включая «Последнюю теорему» — были напечатаны в этой версии.
Ферма был не первым математиком, которого так вдохновило писать в его собственные маргинальные заметки на Диофанта; византийский учёный John Chortasmenos 1370–1437 написал «Твоя душа, Диофант, да будет с сатаной за сложность твоих других теорем и особенно настоящей теоремы» рядом с той же задачей.
Другие работы
Диофант писал несколько других книг помимо «Арифметики», но очень немногие из них сохранились.
Поризмы
Диофант сам ссылается на работу, состоящую из сборника лемм под названием «Поризмы» или Porismata, но эта книга полностью утеряна.
Хотя «Поризмы» потеряны, мы знаем три леммы, содержащиеся там, так как Диофант ссылается на них в «Арифметике». Одна лемма гласит, что разность кубов двух рациональных чисел равна сумме кубов двух других рациональных чисел, то есть, учитывая любые a и b, с a > b, существуют c и d, все положительные и рациональные, такие, что
a3 − b3 = c3 + d3.
Многоугольные числа и геометрические элементы
Диофант также известен тем, что писал о многоугольных числах, теме, представляющей большой интерес для Pythagoras и пифагорейцев. Сохранились фрагменты книги, посвящённой многоугольным числам.
Книга, называемая «Введение в геометрические элементы», традиционно приписывается Hero of Alexandria. Её недавно изучал Wilbur Knorr, который предположил, что приписание Hero неправильно и что истинный автор — Диофант.
Влияние
Работа Диофанта оказала большое влияние на историю. Издания «Арифметики» оказали глубокое влияние на развитие алгебры в Европе в конце шестнадцатого и на протяжении семнадцатого и восемнадцатого веков. Диофант и его работы также повлияли на арабскую математику и были очень известны среди арабских математиков. Работа Диофанта создала основу для работы по алгебре, и фактически большая часть высшей математики основана на алгебре. Насколько он повлиял на Индию, является предметом дебатов.
Диофант часто называют «отцом алгебры» потому, что он значительно способствовал теории чисел, математической нотации, и потому, что «Арифметика» содержит самое раннее известное использование синкопированной нотации.
Диофантов анализ
Сегодня диофантов анализ — это область исследования, где ищут целые, цельные решения для уравнений, и диофантовы уравнения — это полиномиальные уравнения с целыми коэффициентами, для которых ищут только целые решения. Обычно довольно сложно определить, разрешимо ли данное диофантово уравнение. Большинство задач в «Арифметике» приводят к квадратным уравнениям. Диофант рассматривал 3 различных типа квадратных уравнений: ax2 + bx = c, ax2 = bx + c и ax2 + c = bx. Причина, по которой у Диофанта было три случая, в то время как сегодня у нас есть только один случай, заключается в том, что у него не было понятия нуля и он избегал отрицательных коэффициентов, рассматривая данные числа a, b, c как все положительные в каждом из трёх указанных случаев. Диофант всегда был доволен рациональным решением и не требовал целого числа, что означает, что он принимал дроби как решения своих задач. Диофант считал отрицательные или иррациональные решения квадратного корня «бесполезными», «бессмысленными» и даже «абсурдными». Чтобы привести один конкретный пример, он называет уравнение 4 = 4x + 20 «абсурдным», потому что оно привело бы к отрицательному значению x. Он искал только одно решение в квадратном уравнении. Нет свидетельств того, что Диофант вообще понимал, что квадратное уравнение может иметь два решения. Он также рассматривал одновременные квадратные уравнения.
Математическая нотация
Диофант добился важных успехов в математической нотации, став первым известным человеком, использовавшим алгебраическую нотацию и символизм. До него все писали уравнения полностью. Диофант ввёл алгебраический символизм, который использовал сокращённую нотацию для часто встречающихся операций и сокращение для неизвестного и для степеней неизвестного. Математический историк Kurt Vogel заявляет:
Символизм, который Диофант ввёл впервые и несомненно разработал сам, предоставил краткое и легко понимаемое средство выражения уравнения... Так как сокращение также использовалось для слова «равно», Диофант сделал фундаментальный шаг от словесной алгебры к символической алгебре.
Хотя Диофант добился важных успехов в символизме, ему всё ещё не хватало необходимой нотации для выражения более общих методов. Это привело к тому, что его работа была больше сосредоточена на конкретных задачах, чем на общих ситуациях. Некоторые ограничения нотации Диофанта заключаются в том, что у него была нотация только для одного неизвестного, и когда задачи включали более одного неизвестного, Диофант был вынужден выражать «первое неизвестное», «второе неизвестное» и т. д. словами. Ему также не хватало символа для общего числа n. Где мы написали бы 12 + 6n/n2 − 3, Диофант должен был прибегнуть к построениям вроде: «... число в шесть раз увеличенное на двенадцать, которое делится на разность, на которую квадрат числа превышает три».
Алгебре ещё предстояло пройти долгий путь, прежде чем очень общие задачи могли быть записаны и решены сжато.
