Аксиома параллельности Евклида
Аксиома о параллельных гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Это кажется очевидным. Но, в отличие от других постулатов Евклида, это не является самоочевидным фактом. 2000 лет математики предполагали, что это можно вывести из остальных постулатов. Это невозможно.
Гиперболическая геометрия Лобачевского
Лобачевский (1829) и Бойяи (1832) независимо показали, что если предположить, что через точку проходит бесконечно много параллельных прямых, получается непротиворечивая геометрия — гиперболическая геометрия. В гиперболическом пространстве сумма углов треугольника меньше 180°, а геометрия имеет отрицательную кривизну (как поверхность седла).
Расширение Римана
Бернхард Риман (1854) пошел дальше: могут существовать и нулевые параллельные прямые (сферическая геометрия, где большие круги всегда пересекаются). И геометрия не обязана быть плоской даже в трех измерениях — само пространство может искривляться. Это стало математическим каркасом, который Эйнштейн использовал для общей теории относительности 60 лет спустя.
Двадцать вопросов, восемь минут на часах и процентиль, измеренный по всем, кто его проходил. Без регистрации.
Пройти тест IQ →Отвержение и признание
Лобачевский опубликовал свои результаты в 1829 году; они были высмеяны и проигнорированы. Отец Бойяи отправил работу Гауссу, который ответил, что думал обо всем этом годами ранее (вероятно, правда, но он никогда не публиковал свои идеи). Лобачевский умер, так и не увидев признания своей работы. Оправдание пришло с обобщением Римана и, наконец, с подтверждением Эйнштейна, что пространство действительно искривлено.
Часто задаваемые вопросы
Что такое неевклидова геометрия?
Неевклидова геометрия — это любая геометрия, отвергающая постулат Евклида о параллельных. В гиперболической геометрии (Лобачевский, Бойяи) через точку проходят несколько параллельных прямых; в сферической геометрии (Риман) — ни одной. Обе являются внутренне непротиворечивыми и описывают реальные физические пространства.
Кто изобрел неевклидову геометрию?
Николай Лобачевский (Россия, 1829) и Янош Бойяи (Венгрия, 1832) независимо открыли гиперболическую неевклидову геометрию. Гаусс позже утверждал, что открыл ее независимо, но никогда не публиковал. Риман обобщил все это в 1854 году.
Как неевклидова геометрия связана с Эйнштейном?
Общая теория относительности Эйнштейна (1915) использует риманову геометрию для описания гравитации как искривления четырехмерного пространства-времени. Массивные объекты искривляют геометрию пространства; то, что мы ощущаем как гравитационное притяжение, — это движение по искривленным геодезическим линиям. Без неевклидовой геометрии общая теория относительности не имела бы математического языка.