Edward Lorenz и открытие
В 1963 году метеоролог Edward Lorenz запускал моделирование погоды на ранних компьютерах. Он перезапустил моделирование с середины, введя округлённые значения (0,506 вместо 0,506127). Результат полностью отличался от первоначального. Ошибка округления — одна тысячная — усилилась до того, что два моделирования не имели ничего общего. Lorenz открыл чувствительную зависимость от начальных условий: отличительный признак хаоса.
The Lorenz Attractor
Упрощённые уравнения погоды Lorenz создают «странный аттрактор» — траекторию в фазовом пространстве, которая никогда не повторяется, но остаётся в ограниченной области, вечно начертывая кривую в форме крыльев бабочки. Странные аттракторы — это фракталы: они имеют дробные размерности. Аттрактор Lorenz имеет размерность примерно 2,06 — между поверхностью и сплошным телом.
Fractals
Benoît Mandelbrot разработал фрактальную геометрию в 1970-х годах: самоподобные структуры с дробными размерностями, появляющиеся в хаотических системах, береговых линиях, облаках, лёгких и финансовых рынках. Множество Mandelbrot — граница в комплексной плоскости, создаваемая итерацией z → z² + c — самый знаменитый математический объект XX века и эмблема визуального богатства теории хаоса.
Детерминизм против предсказуемости
Хаос не означает случайность. Хаотические системы полностью детерминированы — одинаковые начальные условия всегда дают одинаковый исход. Непредсказуемость возникает из ограничений измерения: мы никогда не можем узнать начальные условия с бесконечной точностью, и в хаотических системах любая конечная точность в итоге подавляется экспоненциальным ростом ошибки.
Frequently Asked Questions
Что такое эффект бабочки?
Эффект бабочки — популярное название чувствительной зависимости от начальных условий в хаотических системах: идея о том, что малое возмущение (например, взмах крыльев бабочки) может через цепь усиливающихся эффектов привести к большой разнице в исходе (например, к торнадо в тысячах километров). Это описал метеоролог Edward Lorenz в 1963 году.
Хаос — это то же самое, что случайность?
Нет. Хаотические системы полностью детерминированы — одинаковые начальные условия всегда дают одинаковую эволюцию. Хаос непредсказуем на практике, потому что малые ошибки измерений растут экспоненциально, а не потому что есть врождённая случайность. Случайные системы (как квантовая механика) принципиально непредсказуемы; хаотические системы непредсказуемы только практически.
What is a fractal?
Фрактал — геометрическая фигура, проявляющая самоподобие при разных масштабах: выглядит одинаково при увеличении или уменьшении масштаба. Фракталы обычно имеют нецелые размерности (между линией и поверхностью, например). Они встречаются в природе (береговые линии, снежинки, лёгкие, брокколи) и математически генерируются итеративными процессами. Benoît Mandelbrot разработал фрактальную геометрию в 1970-х годах.
Прочитайте полную статью на Geniuses.Club