Pál Turán: Teoremas de um campo de trabalho

Em julho de 1944, um judeu húngaro em trabalhos forçados empurrava vagonetas de tijolos sobre trilhos em uma fábrica perto de Budapeste. Onde as vias se cruzavam, as vagonetas sacudiam e o trabalho tornava-se mais difícil. A maioria dos homens teria amaldiçoado os cruzamentos. Turán começou a se perguntar qual era o número mínimo possível de cruzamentos para m fornos e n armazéns — e, ao fazê-lo, propôs o que hoje é chamado de problema da fábrica de tijolos de Turán, uma das questões fundadoras da teoria dos números de cruzamento. Ele era um prisioneiro. Ele também estava, naquele momento, fazendo matemática.

Budapeste, Fejér e uma porta fechada

Turán nasceu em 18 de agosto de 1910 em Budapeste, então Áustria-Hungria, em uma família judia húngara. Seu talento manifestou-se na escola secundária. Obteve seu diploma de ensino na Universidade de Budapeste em 1933 e seu doutorado em 1935 na Universidade Eötvös Loránd sob a orientação de Lipót Fejér, a figura central da análise húngara.

Publicou dois artigos significativos em 1933, nos periódicos das Sociedades Matemáticas Americana e de Londres. Isso não fez diferença para sua empregabilidade. As leis de numerus clausus da Hungria, que restringiam a participação judaica no ensino superior, mantiveram-no fora de um trabalho acadêmico estável por anos, e o cargo que ele finalmente conseguiu em 1938 foi em uma escola de formação rabínica em Budapeste. Eis um matemático publicando internacionalmente aos vinte e três anos e ensinando em um seminário aos vinte e oito porque o Estado o havia excluído legalmente da universidade.

Conhecendo Erdős

Em 1º de setembro de 1930, em um seminário de matemática na Universidade de Budapeste, Turán conheceu Paul Erdős. Ambos tinham sido notáveis resolvedores de problemas na revista KöMaL quando eram estudantes. A colaboração que começou naquele dia durou quarenta e seis anos e produziu vinte e oito artigos conjuntos — uma das grandes parcerias sustentadas da matemática do século XX, e a fonte de muito do que sabemos sobre o caráter de Turán, porque Erdős escreveu extensamente sobre ele e não o lisonjeou.

Cinco anos nos campos

Em setembro de 1940, Turán foi preso devido à sua herança judaica e enviado para campos de trabalho. Ele passou cinco anos em vários campos pela Transilvânia e Hungria.

O período deveria ter sido um vazio em sua bibliografia. Não foi. Um oficial chamado Joshef Winkler, ele próprio treinado em matemática, reconheceu o nome de Turán e organizou tarefas mais leves para ele. Turán usou a margem que isso lhe proporcionou. Ele compôs um artigo importante sobre a função zeta de Riemann enquanto estava internado, e manteve-se íntegro resolvendo problemas em sua cabeça e pensando sobre problemas. A observação da fábrica de tijolos surgiu em julho de 1944; ele a retomou seriamente apenas após 1952, mas a questão nasceu nos trilhos.

Erdős disse claramente: Turán "não perdeu o ânimo nem mesmo nos campos nazistas e fez um trabalho brilhante lá". Ele foi libertado em 1944 e retornou ao ensino.

Teoria extremal de grafos

A coisa mais consequente que Turán construiu, ele construiu enquanto estava preso. Erdős novamente: "Em 1940–1941, ele criou a área de problemas extremais na teoria dos grafos, que agora é um dos assuntos de crescimento mais rápido na combinatória".

O resultado fundador, o teorema de Turán, fornece um limite superior para o número de arestas que um grafo pode ter sem conter um subgrafo completo em r vértices. Para prová-lo, ele inventou o grafo de Turán, uma generalização de grafos bipartidos completos. A importância do teorema não é o limite específico, mas a forma de pergunta que ele estabeleceu: quanta estrutura você pode ter antes que algum padrão seja forçado a aparecer? Essa pergunta, feita em milhares de cenários desde então, é o que é a combinatória extremal. O teorema de Kővári–Sós–Turán estendeu a abordagem para grafos bipartidos com subgrafos proibidos.

A peneira e a soma de potências

A teoria dos números era seu campo principal. A peneira de Turán, de 1934, forneceu uma prova simplificada de um resultado de 1917 de Hardy e Ramanujan sobre a ordem normal do número de divisores primos distintos. Halász identificou seu significado real: "Seu verdadeiro significado reside no fato de que foi o ponto de partida da teoria probabilística dos números". Uma simplificação que funda uma disciplina não é uma simplificação. A desigualdade de Turán–Kubilius generalizou o trabalho.

Ele cunhou o termo "corrida dos números primos" para as irregularidades em como os primos se distribuem pelas classes de resíduos, trabalhando com Knapowski em resultados relacionados ao viés de Chebyshev. A conjectura de Erdős–Turán diz respeito aos primos em progressão aritmética. E ele desenvolveu o método da soma de potências, uma técnica para desigualdades sobre somas de potências dos zeros da função zeta de Riemann, com aplicações que alcançam a análise complexa, análise numérica, equações diferenciais, teoria dos números transcendentes e a estimativa de zeros em geral.

Sobre a hipótese em si, Erdős registrou que Turán era "um 'incrédulo', de fato, um 'pagão': ele não acreditava na verdade da hipótese de Riemann". Sua análise produziu as desigualdades de Turán sobre polinômios de Legendre e, com Erdős, a desigualdade de equidistribuição de Erdős–Turán.

Um diagnóstico mantido em segredo

Tornou-se professor associado na Universidade de Budapeste em 1945 e professor titular em 1949. O Prêmio Kossuth veio em 1948 e novamente em 1952; ele foi eleito membro correspondente da Academia Húngara de Ciências em 1948 e membro ordinário em 1953. Ele fundou e presidiu a Sociedade Matemática János Bolyai, participou dos conselhos editoriais de periódicos líderes, falou no Congresso Internacional de Matemáticos em 1970 e foi convidado para o comitê do Prêmio Fields naquele ano. O Prêmio Tibor Szele seguiu em 1975.

Casou-se com Edit Kóbor em 1939, com quem teve um filho, Róbert; em 1952 casou-se com a matemática Vera Sós, com quem publicou conjuntamente e teve dois filhos, György e Tamás.

Por volta de 1970, foi diagnosticado com leucemia. Apenas Vera sabia. Ela escolheu não lhe contar, acreditando que ele era "apaixonado demais pela vida" e teria se desesperado. Ela contou a Erdős apenas em 1976. Erdős lamentou mais tarde o custo: não sabendo que seu tempo era curto, Turán adiou certos trabalhos "para mais tarde" e nunca os completou.

Por que Pál é chamado de gênio

A faculdade específica é a criação de problemas no nível de disciplinas inteiras. Os teoremas individuais de Turán são fortes, mas sua assinatura é que três áreas separadas traçam sua origem até ele: a teoria extremal de grafos, que Erdős lhe atribui explicitamente ter criado em 1940–41; a teoria probabilística dos números, que Halász diz ter começado com sua peneira de 1934; e a teoria dos números de cruzamento, que começou com tijolos. Fundar um campo é uma carreira. Fundar três é outra coisa — um instinto incomum para a pergunta subjacente à pergunta, cuja forma geral é uma instância de uma dificuldade específica.

As circunstâncias aguçam a afirmação em vez de apenas decorá-la. Ele criou a teoria extremal de grafos em um campo de trabalho, sem biblioteca, sem colegas e sem papel, mantendo as estruturas em sua cabeça. Erdős, que não era sentimental sobre a capacidade matemática e conhecia todos que valiam a pena conhecer, disse que ele fez um trabalho brilhante lá.

O contra-argumento é mais fraco do que o habitual, mas real. Erdős foi seu amigo mais próximo por quarenta e seis anos e seu avaliador mais citado, o que não é uma fonte independente. O método da soma de potências de Turán, apesar de todo o seu alcance, não resolveu a hipótese de Riemann em que ele não acreditava. Suas honrarias — dois Prêmios Kossuth, o Prêmio Szele, a associação à academia — são reconhecimentos nacionais húngaros em vez dos principais prêmios internacionais da disciplina. E o crescimento explosivo da teoria extremal de grafos deve muito àqueles que a desenvolveram depois dele. Ele propôs a questão; outros construíram o assunto.

Legado

Turán morreu de leucemia em Budapeste em 26 de setembro de 1976, aos sessenta e seis anos, ainda sem saber o que o estava matando. Cada curso de combinatória agora ensina seu teorema, e a teoria probabilística dos números data sua fundação de uma peneira que ele concebeu aos vinte e quatro anos. O problema da fábrica de tijolos permanece aberto em geral. É um monumento apropriado: uma questão proposta por um prisioneiro observando cruzamentos de trilhos, que a disciplina ainda não terminou de responder.