Giuseppe Peano: O homem que fez a matemática dizer o que significava

Em agosto de 1900, no Congresso Internacional de Filosofia em Paris, Bertrand Russell viu um pequeno professor italiano demolir um oponente após o outro. "Observei que ele era sempre mais preciso do que qualquer outro", escreveu Russell mais tarde, "e que ele invariavelmente levava a melhor em qualquer argumento em que se empenhava". Russell voltou para casa com uma pilha de artigos de Peano e retirou-se para o campo para estudar silenciosamente cada palavra escrita por ele ou pelos seus discípulos. A filosofia analítica moderna começa aproximadamente aí.

A quinta em Spinetta

Peano nasceu a 27 de agosto de 1858 numa quinta perto de Cuneo, no Piemonte, então Reino da Sardenha. Os seus pais eram trabalhadores agrícolas; frequentou a escola da aldeia em Spinetta e depois caminhava cinco quilómetros por dia para a escola em Cuneo. A fuga veio através da família. O seu tio materno, padre e advogado em Turim, viu o que o rapaz conseguia fazer e trouxe-o para a cidade em 1870 para uma educação secundária adequada no Liceo Cavour.

Entrou na Universidade de Turim em 1876. D'Ovidio ensinou-lhe geometria analítica e álgebra no primeiro ano, Angelo Genocchi ensinou-lhe cálculo no segundo, e no terceiro ano ele era o único estudante da faculdade a ler ainda matemática pura — todos os outros tinham-se transferido para Engenharia. Graduou-se com um doutoramento a 29 de setembro de 1880, e a universidade manteve-o para assistir primeiro D'Ovidio e depois Genocchi, que detinha a cátedra de cálculo.

O homem que encontrou os erros

O traço definidor de Peano anunciou-se quase imediatamente. Em 1882, trabalhando no texto padrão de cálculo de Serret, descobriu que a sua definição da área de uma superfície curva estava errada. Levou-a a Genocchi e soube que Schwarz já a tinha detetado — mas o instinto estava estabelecido e nunca o deixou. Passaria a vida a ler o trabalho de outros matemáticos e a encontrar o lugar onde o raciocínio falhava silenciosamente.

Isto não era um passatempo. Quando Corrado Segre defendeu afirmações imprecisas com base no argumento de que o momento da descoberta importava mais do que a formulação rigorosa, a resposta de Peano foi fulminante: "Creio que é novo na história da matemática que os autores utilizem conscientemente nas suas investigações proposições para as quais se conhecem exceções, ou para as quais não têm provas". Desmantelou as provas de Hermann Laurent e, ao rever um livro de Veronese, concluiu que os seus erros e falta de rigor lhe retiravam todo o valor. Fez inimigos a um ritmo constante.

Quando a saúde de Genocchi falhou, Peano assumiu as aulas de cálculo, e o Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale de 1884 apareceu sob o nome de Genocchi. Genocchi, honradamente, emitiu um aviso público: tudo, disse ele, devia-se "àquele notável jovem Dr. Giuseppe Peano".

Duas bombas, 1889 e 1890

Em 1889, Peano publicou Arithmetices principia, nova methodo exposita — Princípios de Aritmética, Apresentados por um Novo Método. Nele estabeleceu os axiomas que ainda carregam o seu nome, a axiomatização padrão dos números naturais, derivando toda a aritmética de um ponto de partida, uma operação de sucessor e indução. É, simultaneamente, um marco na história da lógica matemática e nos fundamentos da matemática. Escreveu-o em latim, um ato que um historiador chama de puro romantismo.

Um ano depois veio a curva que preenche o espaço. Cantor tinha mostrado que o intervalo unidade e o quadrado unidade têm a mesma cardinalidade; Netto tinha mostrado que tal correspondência não podia ser biunívoca e contínua ao mesmo tempo. Peano construiu uma curva contínua que passa por todos os pontos do quadrado — abandonando a injetividade para manter a continuidade e, no processo, destruindo toda a intuição confortável sobre o que é uma curva e o que significa dimensão. Hausdorff chamou-lhe um dos factos mais notáveis da teoria dos conjuntos. Ao lado destes encontram-se o teorema de existência de Peano para equações diferenciais, a medida de Peano-Jordan e o teorema do núcleo de Peano.

Foi nomeado professor de Primeira Classe na Academia Militar Real em 1889, professor extraordinário de cálculo infinitesimal em Turim em 1890 e professor ordinário em 1895.

Uma linguagem para a matemática

A partir de 1891, Peano perseguiu o projeto que consumiria o resto da sua vida profissional: o Formulario Mathematico, uma enciclopédia destinada a conter todas as fórmulas e teoremas conhecidos da matemática, cada um declarado numa notação simbólica padrão da sua própria invenção. "Tal coleção", escreveu ele, "que seria longa e difícil em linguagem comum, torna-se notavelmente mais fácil usando a notação da lógica matemática".

A notação foi a verdadeira conquista. Os símbolos que os matemáticos em atividade usam todos os dias para pertinência, união, interseção e existência descendem de Peano. A edição final de 1908 continha 4200 fórmulas e teoremas, todos totalmente declarados e a maioria deles provados. Quase ninguém a leu.

Por que Giuseppe é chamado de génio

A faculdade específica é uma espécie de clareza semântica implacável: uma capacidade de olhar para uma frase matemática que todos aceitavam e ver precisamente qual palavra estava a fazer um trabalho não examinado — e depois corrigi-la com um novo símbolo ou fazê-la explodir com um contraexemplo. A curva que preenche o espaço e os axiomas da aritmética são o mesmo talento apontado em direções opostas, um destruindo uma falsa intuição, o outro reconstruindo uma base para que nenhuma intuição seja necessária.

A palavra foi usada por pessoas cujo julgamento conta. Russell chamou à notação de Peano "um instrumento de análise lógica tal como eu vinha à procura há anos". Hausdorff chamou à curva um dos factos mais notáveis da teoria dos conjuntos. O seu biógrafo Kennedy julgou-o um dos grandes cientistas do seu século.

O contra-argumento é invulgarmente claro, e os próprios admiradores de Peano apresentam-no. A sua originalidade está concentrada nos anos anteriores a 1900; depois disso, dedicou uma enorme energia a dois projetos — o Formulario e uma língua artificial — que a comunidade matemática simplesmente não usou. Ele estava tão determinado a ensinar os seus símbolos que negligenciou o cálculo que era pago para ensinar, e a Academia Militar despediu-o em 1901; apenas a autonomia institucional de Turim salvou o seu posto universitário. E embora Peano tenha fundado a lógica matemática como prática de trabalho, é Gottlob Frege quem é geralmente chamado o seu pai. O génio de Peano era real, estreito e parcialmente desperdiçado pelo seu dono.

Latim sem gramática

Em 1903 anunciou Latino sine flexione — latim despojado de flexão, com vocabulário retirado do latim, inglês, francês e alemão, destinado a ser uma língua auxiliar universal para a ciência. A 3 de janeiro de 1908 leu um artigo perante a Academia de Ciências de Turim que começava em latim comum e, simplificação após simplificação, terminava na nova língua. Foi eleito diretor da Academia pro Interlingua, que abandonou o Idiom Neutral em seu favor. Escreveu o Formulario final nela, o que em nada ajudou a sua leitura.

A última lição

Casou-se com Carola Crosio, filha do pintor de Turim Luigi Crosio, em 1887. As honras acumularam-se constantemente — a Academia de Ciências de Turim em 1891, cavaleiro da Ordem dos Santos Maurício e Lázaro em 1901, membro correspondente da Accademia dei Lincei em 1905, comendador da Coroa da Itália em 1921. Ensinou em Turim até ao dia antes de morrer, sofrendo um ataque cardíaco fatal a 20 de abril de 1932, com setenta e três anos. Cada estudante que escreve que um elemento pertence a um conjunto está a usar a sua caligrafia.