Ernest Michael: Como escolher sem escolher mal

Em 1956, um jovem topólogo da Universidade de Washington publicou um teorema sobre a tomada de decisões. Dada uma regra que atribui a cada ponto não um valor único, mas um conjunto inteiro de valores aceitáveis, quando se pode escolher um de cada — de forma contínua, para que pontos próximos obtenham escolhas próximas? A resposta que ele deu é usada hoje sempre que um economista prova que existe um equilíbrio ou um teórico de controle prova que um sistema pode ser direcionado. Cinquenta anos depois, uma revista dedicou uma edição especial inteira ao que surgiu disso, e chamou 1956 de "o ano de nascimento desta teoria".

Zurique, Berlim, Haia, Nova Iorque

Michael nasceu em Zurique a 26 de agosto de 1925, filho de Jacob e Erna Michael, uma família judaica asquenaze.

Os catorze anos seguintes leem-se como o mapa de um continente que se desmorona. A família mudou-se de Berlim em 1932 — o ano antes de Hitler tomar o poder, o que significa que leram a situação cedo e corretamente. Foram para Haia. Em 1939, com os Países Baixos a meses da invasão, emigraram novamente, para Nova Iorque. Michael seria descrito mais tarde como americano, de origem suíça e alemã; cada uma dessas palavras foi comprada com uma partida.

Graduou-se na Horace Mann School aos quinze anos. Foi para Cornell, mas a guerra interrompeu-o: serviu a bordo do USS Kwajalein de 1944 a 1946, regressando para tirar o seu bacharelato em 1947. Seguiu-se um mestrado em Harvard em 1948, e em 1951 um doutoramento pela Universidade de Chicago sob a orientação de Irving Segal, com uma tese sobre álgebras topológicas localmente multiplicativamente convexas.

Quarenta e um anos em Seattle

Em 1952, Michael juntou-se ao departamento de matemática da Universidade de Washington. Foi professor assistente de 1952 a 1956, professor associado de 1956 a 1960, e professor desde 1960 até à sua reforma em 1993 — quarenta e um anos num departamento, numa vida cujos primeiros catorze tinham contido três países.

Viajou a partir dessa base em vez de se mudar novamente: quatro períodos separados como visitante no Institute for Advanced Study, um ano na ETH Zurique em 1973–74 — de volta à cidade do seu nascimento — e um ano na Universidade de Estugarda em 1978–79.

O Teorema de Seleção

O resultado de 1956 diz respeito a mapas de valor conjunto, por vezes chamados de correspondências ou multifunções.

Uma função comum dá-lhe uma saída por entrada. Um mapa de valor conjunto dá-lhe um conjunto inteiro delas: para cada preço, o conjunto de quantidades que uma empresa poderia produzir de forma ótima; para cada estado de uma máquina, o conjunto de controlos que são permissíveis. Uma seleção é uma função comum que escolhe um elemento de cada um desses conjuntos. As seleções existem sempre se aceitar o axioma da escolha — mas serão geralmente extremamente descontínuas, e uma escolha descontínua é inútil para os propósitos que as pessoas realmente têm.

O teorema de seleção de Michael dá as condições sob as quais existe uma seleção contínua: grosso modo, que o domínio seja paracompacto e o mapa seja semicontínuo inferiormente com valores convexos fechados. O teorema é a razão pela qual uma grande parte da análise moderna funciona. Argumentos de ponto fixo na economia matemática, a teoria das inclusões diferenciais, otimização e controlo dependem todos, em algum momento, de ser capaz de escolher continuamente a partir de um conjunto em movimento.

Ele não parou no teorema. Fundou toda a teoria das seleções contínuas em torno dele, e o artigo de 1956 é corretamente considerado como a origem desse campo.

A Linha de Michael

A sua outra construção famosa é um contraexemplo, e é um dos mais citados na topologia geral.

Os topólogos há muito que queriam que as propriedades se comportassem bem sob produtos — se dois espaços são bons, o seu produto deveria ser bom. A linha de Michael mata essa esperança para um emparelhamento específico e importante. É um espaço paracompacto cujo produto com o espaço dos números irracionais não é sequer normal.

Contraexemplos desta qualidade fazem um trabalho particular na matemática. Marcam o limite do possível e salvam todos os que vêm depois de perder anos a tentar uma prova de algo falso. O nome de Michael também se liga à topologia de produto de Michael e a resultados sobre subespaços fechados, e ele publicou mais de cem artigos em topologia geral, nas Transactions, nos Annals e em Duke, sobre hiperespaços de subconjuntos, paracompacidade, seleções contínuas e o comportamento de espaços normais.

Por que Ernest é chamado de génio

A evidência mais forte é a durabilidade de um tipo específico e invulgar. Um único artigo publicado em 1956 ainda gerava nova matemática cinquenta anos depois, a ponto de a Topology and Its Applications dedicar uma edição especial ao aniversário. Muito poucos resultados conseguem isso.

A qualidade cognitiva envolvida vale a pena ser nomeada com precisão, porque não é poder computacional bruto. O dom de Michael era encontrar as hipóteses exatas — as condições mínimas sob as quais uma coisa desejável é verdadeira, emparelhadas com os exemplos agudos que mostram o que acontece no momento em que as relaxa. O teorema de seleção e a linha de Michael são o mesmo talento virado em direções opostas: um mapeia onde o solo é sólido, o outro marca precisamente onde ele cede. Matemáticos deste tipo são mais raros do que solucionadores de problemas e mais úteis para a saúde a longo prazo de um campo, porque definem a sua geografia.

O contra-argumento honesto é que o célebre trabalho de Michael é estreito em área de superfície. A topologia geral na segunda metade do século XX não era onde o centro de gravidade da disciplina se situava; a sua maior honra foi a inclusão na classe inaugural de Fellows da American Mathematical Society em 2012, uma distinção grande e coletiva que veio cinquenta e seis anos depois do teorema. Não ganhou nenhum Prémio Wolf, nenhum Prémio Steele, nem qualquer filiação em academia nacional registada nas fontes acessíveis. Nenhum colega está registado a chamá-lo de génio. Grande parte da fama do seu teorema de seleção é emprestada de utilizadores a jusante — economistas e teóricos de controlo que o citam como um lema sem se envolverem na sua topologia. Um veredito justo é que Michael foi um matemático de precisão excecional que encontrou um teorema tão exatamente correto que sobreviveu à moda do seu próprio campo.

Legado

Michael reformou-se em 1993 e morreu a 29 de abril de 2013, com oitenta e sete anos, em Seattle.

O teorema está em todos os textos de pós-graduação sobre análise de valor conjunto. A linha de Michael está em todos os cursos de topologia que discutem produtos. Ambos são ensinados, na maior parte do tempo, sem que ninguém mencione que o seu autor foi um rapaz judeu que deixou Berlim em 1932, atravessou um oceano antes de uma invasão, serviu no Pacífico, e depois sentou-se numa sala em Seattle durante quarenta e um anos e resolveu precisamente quando é possível escolher bem.