Carl Gustav Jacob Jacobi

Carl Gustav Jacob Jacobi foi um matemático alemão que fez contribuições fundamentais para funções elípticas, dinâmica, equações diferenciais, determinantes e teoria dos números. 

Jacobi foi o primeiro matemático judeu a ser nomeado professor em uma universidade alemã.

Biografia

Jacobi nasceu de ascendência judaica asquenazi em Potsdam em 10 de dezembro de 1804. Era o segundo de quatro filhos do banqueiro Simon Jacobi. Seu irmão mais velho Moritz von Jacobi também se tornaria conhecido posteriormente como engenheiro e físico. Foi inicialmente educado em casa por seu tio Lehman, que o instruiu nas línguas clássicas e elementos de matemática. Em 1816, o Jacobi de doze anos foi para o Potsdam Gymnasium, onde os alunos aprendiam todas as disciplinas padrão: línguas clássicas, história, filologia, matemática, ciências, etc. Como resultado da boa educação que havia recebido de seu tio, bem como suas próprias habilidades notáveis, após menos de meio ano Jacobi foi transferido para o último ano, apesar de sua idade jovem. Porém, como a Universidade não aceitava alunos menores de 16 anos, ele teve que permanecer na última série até 1821. Ele usou esse tempo para avançar seu conhecimento, mostrando interesse em todas as disciplinas, incluindo latim, grego, filologia, história e matemática. Durante esse período também fez suas primeiras tentativas de pesquisa, tentando resolver a equação quíntica por radicais.

Em 1821 Jacobi foi estudar na Universidade de Berlin, onde inicialmente dividiu sua atenção entre suas paixões por filologia e matemática. Em filologia participou dos seminários de Böckh, atraindo a atenção do professor com seu talento. Jacobi não frequentava muitas aulas de matemática na Universidade, pois o baixo nível de matemática da Universidade de Berlin naquela época as tornava muito elementares para ele. No entanto, continuou com seu estudo privado das obras mais avançadas de Euler, Lagrange e Laplace. Por 1823 ele percebeu que precisava tomar uma decisão entre seus interesses concorrentes e escolheu dedicar toda sua atenção à matemática. No mesmo ano se qualificou para ensinar em escola secundária e lhe foi oferecida uma posição no Joachimsthal Gymnasium em Berlin. Jacobi decidiu em vez disso continuar trabalhando em direção a uma posição universitária. Em 1825 obteve o grau de Doutor em Filosofia com uma dissertação sobre a decomposição em frações parciais de frações racionais defendida perante uma comissão liderada por Enno Dirksen. Ele seguiu imediatamente com sua Habilitação e ao mesmo tempo se converteu ao cristianismo. Agora qualificado para ensinar aulas universitárias, o Jacobi de 21 anos lecionou em 1825/26 sobre a teoria de curvas e superfícies na Universidade de Berlin.

Em 1827 Jacobi tornou-se professor e em 1829, professor catedrático de matemática na Universidade de Königsberg, e ocupou a cadeira até 1842. Sofreu um colapso por excesso de trabalho em 1843. Depois visitou a Itália por alguns meses para recuperar sua saúde. Ao retornar mudou-se para Berlin, onde viveu como pensionista real até sua morte. Durante a Revolução de 1848 Jacobi esteve politicamente envolvido e apresentou sem sucesso sua candidatura parlamentar em nome de um clube Liberal. Isso levou, após a supressão da revolução, ao corte de sua bolsa real – mas sua fama e reputação eram tais que logo foi retomada. Em 1836, havia sido eleito membro estrangeiro da Real Academia Sueca de Ciências.

Jacobi morreu em 1851 de uma infecção de varíola. Seu túmulo é preservado em um cemitério na seção Kreuzberg de Berlin, o Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde 61 Baruther Street. Seu túmulo fica próximo ao de Johann Encke, o astrônomo. A cratera Jacobi na Lua é nomeada em sua homenagem.

Contribuições científicas

Uma das maiores realizações de Jacobi foi sua teoria das funções elípticas e sua relação com a função theta elíptica. Isso foi desenvolvido em seu grande tratado Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum 1829, e em artigos posteriores no Crelle's Journal. As funções theta têm grande importância em física matemática por seu papel no problema inverso para fluxos periódicos e quase periódicos. As equações de movimento são integráveis em termos das funções elípticas de Jacobi nos casos bem conhecidos do pêndulo, o topo de Euler, o topo de Lagrange simétrico em um campo gravitacional e o problema de Kepler movimento planetário em um campo gravitacional central.

Ele também fez contribuições fundamentais no estudo de equações diferenciais e à mecânica clássica, notavelmente a teoria de Hamilton–Jacobi.

Foi no desenvolvimento algébrico que o poder particular de Jacobi residia principalmente, e ele fez contribuições importantes desse tipo em muitas áreas da matemática, como mostrado por sua longa lista de artigos no Crelle's Journal e em outros lugares a partir de 1826. Dizem que ele disse a seus alunos que ao procurar um tópico de pesquisa, deve-se 'Invert, always invert' 'man muss immer umkehren', refletindo sua crença de que inverter resultados conhecidos pode abrir novos campos para pesquisa, por exemplo invertendo integrais elípticas e focando na natureza das funções elípticas e theta.

Em seu artigo de 1835, Jacobi provou o seguinte resultado fundamental classificando funções periódicas incluindo elípticas: Se uma função univariada de valor único é multiplamente periódica, então tal função não pode ter mais de dois períodos, e a razão dos períodos não pode ser um número real. Ele descobriu muitas das propriedades fundamentais das funções theta, incluindo a equação funcional e a fórmula do produto triplo de Jacobi, bem como muitos outros resultados em séries q e séries hipergeométricas.

A solução do problema de inversão de Jacobi para o mapa de Abel hiperclíptico por Weierstrass em 1854 exigiu a introdução da função theta hiperclíptica e posteriormente a função theta de Riemann geral para curvas algébricas de gênero arbitrário. O toro complexo associado a um gênero g pela rede de períodos é referido como a variedade Jacobiana. Este método de inversão, e sua extensão subsequente por Weierstrass e Riemann para curvas algébricas arbitrárias, pode ser visto como uma generalização de gênero superior da relação entre integrais elípticas e as funções elípticas de Jacobi ou Weierstrass.

Jacobi foi o primeiro a aplicar funções elípticas à teoria dos números, por exemplo provando o teorema dos dois quadrados de Fermat e o teorema dos quatro quadrados de Lagrange, e resultados similares para 6 e 8 quadrados. Seu outro trabalho em teoria dos números continuou o trabalho de C. F. Gauss: novas provas de reciprocidade quadrática e introdução do símbolo de Jacobi; contribuições às leis de reciprocidade superior, investigações de frações contínuas e a invenção de somas de Jacobi.

Ele também foi um dos primeiros fundadores da teoria dos determinantes. Em particular, inventou o determinante Jacobiano formado a partir das n2 derivadas parciais de n funções dadas de n variáveis independentes, que desempenha uma parte importante em mudanças de variáveis em integrais múltiplas e em muitas investigações analíticas. Em 1841 reintroduziu a notação de derivada parcial ∂ de Legendre, que se tornaria padrão.

Ele foi um dos primeiros a introduzir e estudar os polinômios simétricos que agora são conhecidos como polinômios de Schur, dando a chamada fórmula bialternante para estes, que é um caso especial da fórmula de caractere de Weyl, e derivando as identidades de Jacobi–Trudi. Ele também descobriu a fórmula de Desnanot–Jacobi para determinantes, que fundamentam as relações de Plucker para Grassmanianos.

Alunos de campos vetoriais, teoria de Lie, mecânica Hamiltoniana e álgebras de operadores frequentemente encontram a identidade de Jacobi, o análogo da associatividade para a operação do colchete de Lie.

A teoria planetária e outros problemas dinâmicos particulares também ocuparam sua atenção de tempos em tempos. Enquanto contribuía para a mecânica celeste, introduziu o integral de Jacobi 1836 para um sistema de coordenadas sideral. Sua teoria do último multiplicador é tratada em Vorlesungen über Dynamik, editado por Alfred Clebsch 1866.

Carl Gustav deixou muitos manuscritos, porções dos quais foram publicados em intervalos no Crelle's Journal. Suas outras obras incluem Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem 1832, Canon arithmeticus 1839, e Opuscula mathematica 1846–1857. Seus Gesammelte Werke 1881–1891 foram publicados pela Academia de Berlin.

Curiosidade

O nome de Carl Gustav é ocasionalmente escrito como Carolus Gustavus Iacobus Iacobi em seus livros em latim, e seu primeiro nome às vezes é dado como Karl.