O que o caderno contém
O caderno perdido é dominado pelas funções teta 'mock' — objetos misteriosos que Ramanujan inventou nos seus últimos meses. Assemelham-se às funções teta da análise clássica, mas não satisfazem as mesmas propriedades de transformação. Ramanujan identificou-as numa carta a Hardy escrita semanas antes da sua morte. Durante 70 anos, ninguém entendeu o que eram. Em 2002, Sander Zwegers mostrou que são componentes de 'formas harmónicas de Maass' — uma estrutura profunda que se liga à teoria dos números moderna, à teoria das cordas e ao moonshine.
Congruências de partição
O caderno também contém resultados sobre congruências de partição — padrões no número de formas como os inteiros podem ser divididos em somas. Ramanujan tinha notado: o número de partições de 5n+4 é sempre divisível por 5; de 7n+5 por 7; de 11n+6 por 11. Não forneceu qualquer prova. As provas surgiram décadas mais tarde. A explicação mais profunda — a função tau de Ramanujan e a sua conexão com formas modulares — levou um século a ser totalmente compreendida.
Como ele sabia?
O enigma central do trabalho de Ramanujan é como ele derivou resultados que exigiam maquinaria matemática que não foi inventada até décadas após a sua morte. Hardy acreditava que Ramanujan tinha desenvolvido a sua própria teoria privada de formas modulares — desconhecida dos matemáticos ocidentais da época — através de uma combinação de intuição, experimentação numérica e instinto matemático que roçava o inexplicável.
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O que é o caderno perdido de Ramanujan?
O caderno perdido de Ramanujan é uma coleção de 138 páginas de fórmulas matemáticas escritas por Ramanujan no último ano da sua vida (1919-1920). Redescoberto em 1976, contém ~600 resultados, a maioria não provados, incluindo funções teta 'mock', congruências de partição e identidades de frações contínuas que os matemáticos ainda estão a verificar.
O que são funções teta 'mock'?
As funções teta 'mock' são funções misteriosas que Ramanujan inventou nos seus últimos meses, descritas numa carta a Hardy semanas antes da sua morte. Durante 70 anos a sua natureza foi obscura. Em 2002, Sander Zwegers mostrou que são componentes de formas harmónicas de Maass — objetos com conexões profundas à teoria dos números e à física moderna.
Ramanujan provou as suas fórmulas?
Na maioria, não. Ramanujan declarou resultados com confiança, mas forneceu provas apenas para uma fração. Afirmava que as suas fórmulas lhe surgiam em sonhos, enviadas pela deusa Namagiri. Hardy estimou que, dos ~3.900 resultados nos cadernos de Ramanujan, cerca de dois terços já eram conhecidos ou podiam ser provados; o terço restante era inteiramente novo e exigia nova matemática para ser verificado.