O postulado das paralelas de Euclides
O postulado das paralelas afirma: dada uma reta e um ponto que não pertença a ela, existe exatamente uma reta que passa pelo ponto e é paralela à reta dada. Isto parece óbvio. Mas, ao contrário dos outros postulados de Euclides, não é evidente por si só. Durante 2.000 anos, os matemáticos assumiram que poderia ser derivado dos outros. Não é possível.
A geometria hiperbólica de Lobachevsky
Lobachevsky (1829) e Bolyai (1832) mostraram independentemente que, se assumirmos que infinitas retas paralelas passam pelo ponto, obtemos uma geometria consistente — a geometria hiperbólica. No espaço hiperbólico, os ângulos de um triângulo somam menos de 180°, e a geometria é negativamente curva (como uma superfície de sela).
A extensão de Riemann
Bernhard Riemann (1854) generalizou ainda mais: também se pode ter zero retas paralelas (geometria esférica, onde os grandes círculos sempre se cruzam). E a geometria não precisa de ser plana nem mesmo em três dimensões — o próprio espaço pode curvar-se. Isto tornou-se a base matemática que Einstein usou para a relatividade geral 60 anos depois.
Vinte perguntas, oito minutos no relógio e um percentil medido contra todos os que já fizeram. Sem cadastro.
Fazer o teste de QI →Rejeição e reconhecimento
Lobachevsky publicou os seus resultados em 1829; foram ridicularizados e ignorados. O pai de Bolyai enviou o trabalho a Gauss, que respondeu que já tinha pensado em tudo isto anos antes (provavelmente verdade, mas ele nunca publicou). Lobachevsky morreu sem ver o seu trabalho aceite. O reconhecimento veio com a generalização de Riemann e, finalmente, com a confirmação de Einstein de que o espaço é genuinamente curvo.
Perguntas frequentes
O que é geometria não euclidiana?
A geometria não euclidiana é qualquer geometria que rejeita o postulado das paralelas de Euclides. Na geometria hiperbólica (Lobachevsky, Bolyai), múltiplas retas paralelas passam por um dado ponto; na geometria esférica (Riemann), nenhuma passa. Ambas são internamente consistentes e descrevem espaços físicos reais.
Quem inventou a geometria não euclidiana?
Nikolai Lobachevsky (Rússia, 1829) e János Bolyai (Hungria, 1832) descobriram independentemente a geometria hiperbólica não euclidiana. Gauss afirmou mais tarde que a tinha descoberto independentemente, mas nunca a publicou. Riemann generalizou todas elas em 1854.
Como é que a geometria não euclidiana se relaciona com Einstein?
A relatividade geral de Einstein (1915) usa a geometria riemanniana para descrever a gravidade como a curvatura do espaço-tempo de quatro dimensões. Objetos massivos curvam a geometria do espaço; o que sentimos como atração gravitacional é o movimento ao longo de geodésicas curvas. Sem a geometria não euclidiana, a relatividade geral não teria linguagem matemática.