O Problema de Monty Hall: O enigma das três portas que recebeu 10.000 cartas

As regras que fazem a troca ser correta

O enigma é curto. Um carro está atrás de uma das três portas e cabras atrás das outras duas. Você escolhe uma porta. O apresentador, que sabe onde está o carro, abre uma das portas que você não escolheu e mostra uma cabra. Ele então oferece a chance de você mudar para a última porta fechada. Você deveria?

A resposta depende de três regras, e a versão padrão define todas elas:

• O carro foi colocado aleatoriamente, então cada porta começa com uma chance de 1 em 3.
• O apresentador sempre abre uma porta que você não escolheu, e ela sempre esconde uma cabra.
• O apresentador sempre oferece a troca, independentemente do que você escolheu.

Sob essas regras, trocar dobra suas probabilidades, de um terço para dois terços. Mude qualquer regra e a resposta pode mudar com ela, e é por isso que o problema ainda preenche periódicos mais de 30 anos depois de ter chegado ao público em geral.

A coluna que recebeu 10.000 cartas

A pergunta chegou Marilyn vos Savant de um leitor, Craig F. Whitaker, e foi publicada em sua coluna "Pergunte à Marilyn" na Parade em 9 de setembro de 1990. Ela respondeu que o participante deveria trocar. Os leitores se revoltaram.

Segundo sua estimativa, a revista recebeu cerca de 10.000 cartas, e cerca de 1.000 delas continham assinaturas com doutorados, de acordo com a reportagem de capa de John Tierney no New York Times em 21 de julho de 1991. A maioria insistiu que ela estava errada. "Você está totalmente incorreta", escreveu E. Ray Bobo, professor de matemática na Universidade de Georgetown. O número de quase 1.000 doutores é dela, não uma contagem auditada, e deve ser citado dessa forma.

Tierney levou o problema a Monty Hall, o apresentador de Let's Make a Deal. Em sua mesa de jantar, Hall jogou dez rodadas nas quais o participante nunca trocou: quatro carros, seis cabras. Depois dez rodadas trocando: oito carros, duas cabras. "Então a resposta dela está certa: você deveria trocar", disse Hall.

O enigma não era novo. Steve Selvin, um estatístico, o propôs em uma carta de 1975 para The American Statistician e deu a ele o nome de Hall. Martin Gardner havia publicado um enigma equivalente, o problema dos três prisioneiros, na Scientific American em 1959. Paul Erdős, um dos matemáticos mais prolíficos do século XX, teria ficado convencido apenas quando um colega lhe mostrou uma simulação de computador.

A matemática, caso a caso

Digamos que você escolha a porta 1. É igualmente provável que o carro esteja atrás de qualquer uma das três portas. Liste os casos e a resposta aparece.

A palavra-chave é "forçado". Em dois dos três casos, o apresentador não tem escolha: uma de suas portas esconde o carro, então ele deve abrir a outra. A sua ação diz-lhe onde o carro está duas em cada três vezes. Ficar ignora essa informação. Mudar utiliza-a.

A regra de Bayes dá o mesmo resultado. Suponha que o apresentador abre a porta 3. Se o carro está atrás da porta 1, ele abre a porta 3 metade do tempo. Se está atrás da porta 2, ele abre a porta 3 sempre. As ponderações são 1/3 x 1/2 contra 1/3 x 1, ou 1 para 2. A porta 2 detém agora dois terços da probabilidade.

Jogámos um milhão de vezes

Argumentos convencem poucas pessoas. Contar convence mais. Escrevemos uma breve simulação em Python que coloca o carro ao acaso, escolhe uma porta ao acaso e faz com que um apresentador siga as regras padrão. Semente aleatória fixa, 1.000.000 de jogos por estratégia.

A última fila é a que mais importa. Quando o apresentador não sabe onde o carro está e apenas revela uma cabra por acaso, a vantagem desaparece. A vantagem de dois terços vem do seu conhecimento, não das portas.

Porque é que as pessoas inteligentes se enganam

O erro habitual é ver duas portas fechadas e atribuir a cada uma 50 por cento de probabilidade. Esse raciocínio trata a escolha do apresentador como aleatória. Não o é. Ele está impedido de abrir a sua porta e impedido de mostrar o carro, pelo que o seu movimento transmite informações sobre as outras portas e nenhuma sobre a sua.

O estatístico Persi Diaconis disse ao Times em 1991: "Os nossos cérebros não estão ligados para resolver muito bem problemas de probabilidade, por isso não me surpreende que tenha havido erros."

A cura mais limpa é aumentar a escala. Imagine 100 portas. Você escolhe uma. O apresentador, que sabe tudo, abre 98 outras e mostra 98 cabras, pulando apenas uma porta. Poucas pessoas ficariam com a sua primeira escolha em 1 em 100. O jogo das três portas segue a mesma lógica com números menores.

Quebra-cabeças de probabilidade deste tipo situam-se perto das questões de raciocínio em testes de inteligência, o que é uma razão pela qual aparecem em coleções de perguntas e respostas de testes de QI. Eles premiam a contagem lenta e explícita em vez de um palpite rápido, o mesmo hábito que decifra o enigma de Einstein.

As regras do apresentador decidem tudo

O próprio Monty Hall levantou a objeção mais forte. No programa real, disse ele a Tierney, ele não tinha de oferecer uma troca, e podia tentar os concorrentes com dinheiro para manterem a sua porta. Um apresentador que oferece a troca apenas quando você já tem o carro transforma a mudança numa perda garantida. "O meu único conselho é, se você conseguir que eu lhe ofereça 5.000 dólares para não abrir a porta, aceite o dinheiro e vá para casa", disse ele.

Os estatísticos têm discutido sobre a formulação desde então. Um artigo de 1991 por J. P. Morgan e colegas em The American Statistician mostrou que se o apresentador tem uma preferência entre duas portas com cabras, as probabilidades após a abertura de uma porta específica podem variar de um meio até à certeza. A resposta de Vos Savant é válida para as regras padrão, que é a forma como quase todos os manuais apresentam agora o problema. Trate o quebra-cabeça como uma lição de modelagem: antes de calcular uma probabilidade, escreva exatamente como a informação foi produzida. Essa habilidade também sustenta a teoria dos jogos.

Dez variantes para praticar, com respostas detalhadas

Cada item abaixo é a nossa própria variante. Assuma as regras padrão, a menos que o item as altere. Verificamos cada resposta numérica por simulação ou contagem exata.

1. O original. Três portas, um apresentador que sabe e mostra sempre uma cabra. Ficar ou mudar?
   Resposta: Mudar, 2/3 contra 1/3. A sua porta ganha apenas se o seu primeiro palpite estava correto, um evento de 1 em 3.
2. Quatro portas. Um carro, três cabras. O apresentador abre uma porta de cabra e deixa-o passar para qualquer uma das outras duas portas fechadas. Qual é a probabilidade para uma delas?
   Resposta: 3/8 cada, contra 1/4 por ficar. A probabilidade de 3/4 de que o carro esteja noutro lugar divide-se equitativamente por duas portas.
3. Cem portas. O apresentador abre 98 portas de cabras. Mudar?
   Resposta: Sim. Mudar ganha 99 vezes em 100; medimos 99,02 por cento.
4. O apresentador ignorante. O apresentador abre uma das suas duas portas não escolhidas ao acaso, e por acaso mostra uma cabra. Deve mudar?
   Resposta: Não importa: 1/2 cada. Uma cabra aparece sempre quando você tem o carro, mas apenas metade das vezes quando não tem, o que cancela a probabilidade prévia de 1 para 2.
5. O apresentador com uma porta favorita. Você escolhe a porta 1. Sempre que pode, o apresentador abre a porta 2. Desta vez, ele abre a porta 3. Mudar?
   Resposta: Mude e ganhe com certeza. Ele pulou a sua favorita, então a porta 2 deve esconder o carro. Se ele tivesse aberto a porta 2, as probabilidades seriam de 1/2.
6. O apresentador rancoroso. Ele oferece uma troca apenas quando a sua primeira escolha é o carro. Ele oferece. O que fazer agora?
   Resposta: Ficar. A oferta em si prova que você tem o carro.
7. Dois carros, duas cabras. Quatro portas. O apresentador abre uma porta de cabra entre as três que você não escolheu, e você passa para uma das duas restantes ao acaso.
   Resposta: Trocar ganha 3/4; ficar ganha 1/2. Se você começou com uma cabra, ambas as portas restantes escondem carros.
8. Os três prisioneiros. Um dos três prisioneiros, A, B ou C, será perdoado aleatoriamente. O carcereiro diz a A, com veracidade, que B será executado. Qual é a chance de A agora, e a de C?
   Resposta: A permanece em 1/3; C sobe para 2/3. O carcereiro nunca poderia nomear A, então A não aprende nada sobre seu próprio destino.
9. A caixa de Bertrand (1889). Três caixas contêm duas moedas de ouro, duas de prata e uma de cada. Você tira uma moeda de ouro de uma caixa aleatória. Qual é a chance de que a outra moeda nessa caixa seja de ouro?
   Resposta: 2/3, não 1/2. Há três moedas de ouro que você poderia ter tirado, e duas delas estão na caixa ouro-ouro. Nossa simulação retornou 66,6 por cento.
10. O programa dos maletins. Vinte e seis maletins lacrados, um prêmio máximo. Você mantém um maletim e abre outros 24 sozinho, aleatoriamente, e nenhum contém o prêmio máximo. Você deveria trocar pelo último maletim?
    Resposta: 1/2 em ambos os casos. Ninguém com conhecimento dirigiu as aberturas, então este é o jogo do apresentador ignorante, não o Monty Hall.

A prática desenvolve familiaridade com um formato. Não aumenta a inteligência. Nosso teste de QI gratuito é um rastreador de prática, não uma medição clínica.

Marilyn vos Savant e a figura de 228

Parte da fúria em 1990 veio da cobrança da colunista. O Guinness listou vos Savant sob "QI mais alto" de 1985 a 1989, citando uma pontuação de infância de 228. Segundo seu relato, ela fez o Stanford-Binet de 1937 em setembro de 1956, aos 10 anos, e sua idade mental foi medida em 22 anos e 10 meses. Idade mental dividida pela idade real, vezes 100, dá 228.

Isso é um QI de razão, uma fórmula antiga que infla nos extremos. Testes modernos usam QI de desvio, com média de 100 e desvio padrão de 15, e param perto de 160. Nossa página sobre um QI de 228 mostra por que a figura não pode existir nas escalas de hoje, e o Guinness retirou a categoria em 1990. Nosso perfil de QI de Marilyn vos Savant cobre o registro completo.

O episódio de Monty Hall é um anúncio melhor para seu raciocínio do que qualquer número. Ela manteve uma posição correta contra milhares de objeções, muitas assinadas por especialistas credenciados. Para saber como as pontuações são construídas e o que significam, comece com nossos guias de QI e o que conta como um QI alto.

Padrão editorial: números de QI para figuras históricas são estimativas retrospectivas e são rotulados como tal; pontuações para pessoas vivas aparecem apenas quando a pessoa as divulgou ou um veículo respeitável as relatou. Correções: entre em contato com os editores.